Exercice ouvert
Bonjour,
je me demande si on peut proposer l'exercice ouvert suivant à des élèves de collège (à quel niveau ?)
trouver et classer les quadrilatères ABCD dont l'aire A vaut la moitié du produit des diagonales.
Bien cordialement.
kolotoko
je me demande si on peut proposer l'exercice ouvert suivant à des élèves de collège (à quel niveau ?)
trouver et classer les quadrilatères ABCD dont l'aire A vaut la moitié du produit des diagonales.
Bien cordialement.
kolotoko
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Réponses
un élève de collège peut-il trouver , sans indication, cette réponse ?
Bien cordialement.
kolotoko
tu n'es pas trop optimiste JLT.
En donnant quelques indications du genre '' regardez si on vérifie cette formule pour les quelques quadrilatères que vous connaissez '' , on doit pouvoir débloquer la situation, non ?
Bien cordialement.
kolotoko
de mon temps, on savait aussi l'aire d'un carré c x c, l'aire d'un rectangle L x l, l'aire d'un trapèze, l'aire d'un disque.
Il semble donc que cet exercice ouvert doit être abandonné .
Bien cordialement.
kolotoko
Trapèze, est-ce que je connais ? non, à quoi ça ressemble ? .. ok donc rectangle plus ou moins 2 triangles ok. Donc ah oui , ça me revient (base1 + base2)* hauteur /2
Je retrouve la formule en quelques secondes, mais je ne peux pas dire que je la connais par coeur.
A propos de l'exercice, si on donne quelques questions intermédiaires, si on propose le dessin fait par JLT, et quelques indications, on va avoir des bonnes réponses.
Mais en tant qu'exercice ouvert, sans la moindre indication, inenvisageable au collège. Et même au lycée.
Ou alors, on est dans des épreuves type IREM pour Lycéen, et on veut des exercices qui seront trouvés par 5% ou 10% des élèves.
Pour le trapèze et le triangle, n'est-ce pas simplement possible d'évoquer la construction qui, à partir de deux éléments identiques, permet de former sans peine un parallélogramme qui, astucieusement découpé, conduit à un magnifique rectangle ?
Les formules s'en déduisent comme de l'eau qui coule.
À bientôt.
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Je ne suis pas au collège, et j'ai bien sué pour trouver une solution. Je ne comprends pas l'indice de JLT.
Par contre je connais un algorithme de calcul de l'aire signée d'un polygone.
Je prends donc 4 points :
P1 (x1;y1)
P2 (x2;y2)
P3 (x3;y3)
P4 (x4;y4)
Pour simplifier le calcul, je pose P1 au centre du repère. P1(0;0). Et son vis-à-vis de diagonale au point P3(0;1).
Soit $\mathbb{A}$ l'aire signée du quadrilatère.
$\displaystyle 2\mathbb{A}=\sum_{i=1}^{4} x_i (y_{i+1} - y_{i-1})$
P4 (x4;y4)
P1 (0;0)
P2 (x2;y2)
P3 (1;0)
P4 (x4;y4)
P1 (0;0)
Par suite : $\displaystyle \mathbb{A}=\frac 1 2 (y4-y2)$
On s'arrangera pour choisir P2 en dessous de l'axe des abscisses et P4 au dessus pour avoir l'aire signée positive, et le sens direct du parcours des sommets.
D'autre part, une diagonale mesure 1 et l'autre mesure $\displaystyle\sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$.
Donc le demi-produit vaut $\displaystyle\frac 1 2 \sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$
On obtient l'équation :
$\frac 1 2 (y4-y2)=\frac 1 2 \sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$
$(y4-y2)=\sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$
$(y4-y2)^2=(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2$ car tout est positif.
$(x_2-x_4)^2=0$
$x_2=x_4$
P2 et P4 sont à la verticale l'un de l'autre. Et les diagonales sont perpendiculaires. Ce n'est pas forcément un losange.
Le problème n'était pas tellement de trouver un cas qui marche, mais de s'assurer que d'autres cas ne marcheraient pas aussi.
$|ABCD|=|ABD|+|CBD|=\frac{1}{2}\times BD\times AH+\frac{1}{2}BD\times CK=\frac{1}{2}\times BD\times (AH+CK)$
donc $ABCD$ vérifie la condition de l'énoncé si et seulement si $AC=AH+CK$.
Or, $AC=AO+OC$ avec $AO\geqslant AH$ et $OC\geqslant CK$, donc la condition équivaut à ($AO=AH$ et $OC=CK$), ou encore $H=O=K$, c'est-à-dire que les diagonales sont perpendiculaires.