Exercice ouvert

Convexes ?

L'un pourra et 999 autres non.

Je ne sais pas ce que tu entends par "cette formule", mais la seule formule que les collégiens connaissent sur les aires de polygones, c'est que l'aire d'un triangle est égale à $\frac{1}{2}\times\mbox{ base }\times\mbox{ hauteur }$. On ne fait plus beaucoup de géométrie au collège en dehors de Pythagore et Thalès. Sans l'indication de la figure suivante je ne vois pas comment plus d'un collégien sur 1000 serait capable de trouver la réponse.

Euh bon j'ai exagéré, l'aire d'un carré, d'un rectangle et d'un disque sont quand même connus, je ne suis pas sûr pour le trapèze.

Pourquoi pas si ça commence par une partie expérimentale sur GeoGebra. On peut imaginer un fichier préparé avec un curseur pour l'angle des diagonales. Peut-être commencer par un parallélogramme plutôt que par un quadrilatère quelconque ? La solution "losange" devrait être trouvée par beaucoup.

Bonjour

Je ne suis pas au collège, et j'ai bien sué pour trouver une solution. Je ne comprends pas l'indice de JLT.

Par contre je connais un algorithme de calcul de l'aire signée d'un polygone.
Je prends donc 4 points :
P1 (x1;y1)
P2 (x2;y2)
P3 (x3;y3)
P4 (x4;y4)

Pour simplifier le calcul, je pose P1 au centre du repère. P1(0;0). Et son vis-à-vis de diagonale au point P3(0;1).
Soit $\mathbb{A}$ l'aire signée du quadrilatère.
$\displaystyle 2\mathbb{A}=\sum_{i=1}^{4} x_i (y_{i+1} - y_{i-1})$

P4 (x4;y4)
P1 (0;0)
P2 (x2;y2)
P3 (1;0)
P4 (x4;y4)
P1 (0;0)

Par suite : $\displaystyle \mathbb{A}=\frac 1 2 (y4-y2)$
On s'arrangera pour choisir P2 en dessous de l'axe des abscisses et P4 au dessus pour avoir l'aire signée positive, et le sens direct du parcours des sommets.

D'autre part, une diagonale mesure 1 et l'autre mesure $\displaystyle\sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$.
Donc le demi-produit vaut $\displaystyle\frac 1 2 \sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$

On obtient l'équation :
$\frac 1 2 (y4-y2)=\frac 1 2 \sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$
$(y4-y2)=\sqrt{(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2}$
$(y4-y2)^2=(x_2-x_4)^2+(y2-y4)^2$ car tout est positif.
$(x_2-x_4)^2=0$
$x_2=x_4$

P2 et P4 sont à la verticale l'un de l'autre. Et les diagonales sont perpendiculaires. Ce n'est pas forcément un losange.
Le problème n'était pas tellement de trouver un cas qui marche, mais de s'assurer que d'autres cas ne marcheraient pas aussi.

Merci JLT.