Arithmétique niveau cinquième

Petit Gaulois
Petit Gaulois
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,
Je demande à mon fils de résoudre des exercices de Lebossé-Hémery niveau cinquième de 1963. Je ne suis cependant parfois pas certain de la solution des exercices. Ici le numéro 157 (arithmétique chapitre 7 concernant la division des nombres entiers).
Je pensais à un raisonnement par l’absurde en prenant comme point de départ « dividende inférieur ou égal au double du reste » ce qui entraine d’avoir le « diviseur multiplié par quotient » d’être inférieur ou égal au « reste » alors que normalement le reste est par définition inférieur au diviseur. C’est donc absurde et par conséquent le dividende doit être supérieur au double du reste.
Cela vous paraît-il correcte. Autres pistes à étudier ?

PS : n’ayant pas fait de math depuis plus de 25 ans, je redécouvre en même temps que mon fils ;-)
PPS : le 156, je ne sais pas comment le montrer, si vous avez une piste de départ ou de réflexion, je prends également

C’est du niveau cinquième, j’espère ne pas polluer le forum…et dois-je poser la question ici ou sur « Arithmétique »119238

Réponses

  • zeitnot
    zeitnot
    Une proposition :

    On prend $a$ et $b$ deux entiers naturels, avec $a\geq b$.
    On considère la division euclidienne de $a$ par $b$, il existe $q$ et $r$ entiers naturels tels que :
    $a=bq+r,\ $ avec $0\leq r<b$ et $q\geq 1$ car $a\geq b$.
    Comme $0\leq r<b$ et $q>0$, on a $rq<bq$ et donc $a>rq+r$ ou encore $ a>r(q+1)$.
    Comme $q\geq 1$, $a$ est supérieur au double du reste.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Dom
    Dom
    En effet mais avec $a\neq 0$ et $a<b$ ça devient faux car alors $a=r$.

    « Dans une division », dans ce manuel, cela signifie-t-il que $a$ est strictement supérieur à $b$ ?
  • zeitnot
    zeitnot
    En effet, c'est faux pour $a<b$. J'ai donc supposé qu'il fallait prendre a plus grand que b, j'imagine que c'est une condition qui doit être donnée dans le bouquin.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Petit Gaulois
    Petit Gaulois
    @Zeitnot merci pour la réponse

    @Dom
    Ce n'est pas écrit noir sur blanc mais tous les exemples du chapitre sont toujours avec a strictement supérieur à b
  • Dom
    Dom
    Oui ce doit être ça.
    Les divisions euclidiennes avec $a<b$ sont très peu intéressantes.
  • lourrran
    lourrran
    Pour le 156:
    Soit n le plus petit nombre de 0 qu'il suffit d'écrire à droite du diviseur $b$,pour obtenir un nombre supérieur au dividende $a$.
    (Je commence par n , et pas par le quotient , mais je n'arrive pas à formuler pourquoi)
    Cela siginifie que $a < b * 10^n$, mais que $b* 10^{n-1} \le a $

    Donc $a/b$ est un nombre compris entre $ 10^{n-1}$ et $10^n$ exclu
    Donc $a/b$ est un nombre à $n$ chiffres.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Dom
    Dom
    J’ai fait comme ça aussi.
  • Petit Gaulois
    Petit Gaulois
    Merci, superbe...je sentais bien une histoire d'avoir à mettre la question sous forme de dix puissances n mais je n'y arrivai pas...je suis vraiment rouillé, un vrai plaisir ces exercices en fait....
  • lourrran
    lourrran
    Il y a une petite arnaque dans ma démonstration.
    $a/b$ est compris entre $10^{n-1}$ et $10^n$
    Donc la partie entière de $a/b$ est aussi dans cet intervalle, puisque $10^{n-1}$ et $10^n$ sont des entiers (c'est ça qui manquait, cette notion de partie entière)
    Et comme la partie entière de $a/b$, c'est le quotient ... cqfd.

    Mais parler de 10^n, en 5ème, ça va poser des problèmes. Il va donc falloir trouver d'autres formulations, des contournements, et ça va être bien compliqué.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Petit Gaulois
    Petit Gaulois
    Le chapitre qui précède parle du ”produits de plusieurs facteurs” notamment avec les 10x10x10…écrit sous forme de puissance mais sans « 10 » puissance zéro, et avec des n positifs. Quand je lui demande 10 puissance 2, 3, 4… il répond sans soucis, et la notion plus abstraite de l’utilisation d’une lettre, ça commence à rentrer compte tenu du nombre d’exo dans le bouquin qui généralise finalement assez bien. Il y a beaucoup d’équations à une ou 2 inconnus et autres identités remarquables qui ne disent pas leur nom à « montrer » en utilisant des petits carrés/rectangles (Ça c’est vraiment sympa, utiliser la géométrie pour ces trucs, c’est super plaisant à faire avec un gamin, je découvre une partie que j’avais totalement oublié – ou jamais étudié d’ailleurs)

    De toute façon, je suis surtout intéressé d’essayer de lui transmettre la notion de réflexion sur un exo, le chercher, ne pas le trouver, explorer a son niveau en traduisant avec des nombres qui lui parle et de voir s’il trouve une solution…d’arrêter et d’y revenir plus tard…Je veux surtout éviter le syndrome du « je copie une formule » ou « donnes moi le truc »…J’aime aussi l’idée de ne rien comprendre et après en avoir bouffé, de trouver cela totalement évident.

    Bon bref, c’est jouable…j’essaye avec lui et au pire nous y reviendrons dans quelques mois…
  • zeitnot
    zeitnot
    Je trouve ton approche et ta façon d'aborder ces problèmes très saine.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
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