Arithmétique niveau cinquième
Bonjour,
Je demande à mon fils de résoudre des exercices de Lebossé-Hémery niveau cinquième de 1963. Je ne suis cependant parfois pas certain de la solution des exercices. Ici le numéro 157 (arithmétique chapitre 7 concernant la division des nombres entiers).
Je pensais à un raisonnement par l’absurde en prenant comme point de départ « dividende inférieur ou égal au double du reste » ce qui entraine d’avoir le « diviseur multiplié par quotient » d’être inférieur ou égal au « reste » alors que normalement le reste est par définition inférieur au diviseur. C’est donc absurde et par conséquent le dividende doit être supérieur au double du reste.
Cela vous paraît-il correcte. Autres pistes à étudier ?
PS : n’ayant pas fait de math depuis plus de 25 ans, je redécouvre en même temps que mon fils ;-)
PPS : le 156, je ne sais pas comment le montrer, si vous avez une piste de départ ou de réflexion, je prends également
C’est du niveau cinquième, j’espère ne pas polluer le forum…et dois-je poser la question ici ou sur « Arithmétique »
Je demande à mon fils de résoudre des exercices de Lebossé-Hémery niveau cinquième de 1963. Je ne suis cependant parfois pas certain de la solution des exercices. Ici le numéro 157 (arithmétique chapitre 7 concernant la division des nombres entiers).
Je pensais à un raisonnement par l’absurde en prenant comme point de départ « dividende inférieur ou égal au double du reste » ce qui entraine d’avoir le « diviseur multiplié par quotient » d’être inférieur ou égal au « reste » alors que normalement le reste est par définition inférieur au diviseur. C’est donc absurde et par conséquent le dividende doit être supérieur au double du reste.
Cela vous paraît-il correcte. Autres pistes à étudier ?
PS : n’ayant pas fait de math depuis plus de 25 ans, je redécouvre en même temps que mon fils ;-)
PPS : le 156, je ne sais pas comment le montrer, si vous avez une piste de départ ou de réflexion, je prends également
C’est du niveau cinquième, j’espère ne pas polluer le forum…et dois-je poser la question ici ou sur « Arithmétique »
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Réponses
On prend $a$ et $b$ deux entiers naturels, avec $a\geq b$.
On considère la division euclidienne de $a$ par $b$, il existe $q$ et $r$ entiers naturels tels que :
$a=bq+r,\ $ avec $0\leq r<b$ et $q\geq 1$ car $a\geq b$.
Comme $0\leq r<b$ et $q>0$, on a $rq<bq$ et donc $a>rq+r$ ou encore $ a>r(q+1)$.
Comme $q\geq 1$, $a$ est supérieur au double du reste.
« Dans une division », dans ce manuel, cela signifie-t-il que $a$ est strictement supérieur à $b$ ?
@Dom
Ce n'est pas écrit noir sur blanc mais tous les exemples du chapitre sont toujours avec a strictement supérieur à b
Les divisions euclidiennes avec $a<b$ sont très peu intéressantes.
Soit n le plus petit nombre de 0 qu'il suffit d'écrire à droite du diviseur $b$,pour obtenir un nombre supérieur au dividende $a$.
(Je commence par n , et pas par le quotient , mais je n'arrive pas à formuler pourquoi)
Cela siginifie que $a < b * 10^n$, mais que $b* 10^{n-1} \le a $
Donc $a/b$ est un nombre compris entre $ 10^{n-1}$ et $10^n$ exclu
Donc $a/b$ est un nombre à $n$ chiffres.
$a/b$ est compris entre $10^{n-1}$ et $10^n$
Donc la partie entière de $a/b$ est aussi dans cet intervalle, puisque $10^{n-1}$ et $10^n$ sont des entiers (c'est ça qui manquait, cette notion de partie entière)
Et comme la partie entière de $a/b$, c'est le quotient ... cqfd.
Mais parler de 10^n, en 5ème, ça va poser des problèmes. Il va donc falloir trouver d'autres formulations, des contournements, et ça va être bien compliqué.
De toute façon, je suis surtout intéressé d’essayer de lui transmettre la notion de réflexion sur un exo, le chercher, ne pas le trouver, explorer a son niveau en traduisant avec des nombres qui lui parle et de voir s’il trouve une solution…d’arrêter et d’y revenir plus tard…Je veux surtout éviter le syndrome du « je copie une formule » ou « donnes moi le truc »…J’aime aussi l’idée de ne rien comprendre et après en avoir bouffé, de trouver cela totalement évident.
Bon bref, c’est jouable…j’essaye avec lui et au pire nous y reviendrons dans quelques mois…