Contraposée du théorème de Thalès
Bonjour,
1) Réciproque :
* rapports égaux
* points alignés
Donc droites parallèles.
2) Contraposée :
* rapports non égaux
* points alignés
Donc droites non parallèles.
Mes collègues m'ont fait remarquer que, dans la contraposée, faire écrire l'alignement des points était inutiles puisque les rapports sont différents.
Or, pour appliquer la contraposée, il me semblait que cela était important.
J'ai un doute.
Par ailleurs, si cela s'évère vraiment inutile, le fait d'écrire l'alignement des points permet aux élèves, me semble-t-il, d'avoir une "méthode à retenir" (celle du 1) et 2)).
Qu'est-ce que vous en pensez ?
Comment faites-vous ?
Merci pour cet échange.
1) Réciproque :
* rapports égaux
* points alignés
Donc droites parallèles.
2) Contraposée :
* rapports non égaux
* points alignés
Donc droites non parallèles.
Mes collègues m'ont fait remarquer que, dans la contraposée, faire écrire l'alignement des points était inutiles puisque les rapports sont différents.
Or, pour appliquer la contraposée, il me semblait que cela était important.
J'ai un doute.
Par ailleurs, si cela s'évère vraiment inutile, le fait d'écrire l'alignement des points permet aux élèves, me semble-t-il, d'avoir une "méthode à retenir" (celle du 1) et 2)).
Qu'est-ce que vous en pensez ?
Comment faites-vous ?
Merci pour cet échange.
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Réponses
Peux-tu écrire vraiment le théorème tel que tu l'utilises, qu je puisse comprendre quelle est la contraposée ? A priori, pour moi, la configuration de Thalès, c'est deux droites coupées par 3 parallèles, avec le cas particulier où il n'y a pas trois droites, mais on utilise l'intersection des deux premières droites. La conclusion est que des rapports sont égaux. La contraposée est que si les rapports sont inégaux, on n'a pas la configuration. Donc pas nécessairement des sécantes non parallèles.
Cordialement.
Pour la contraposée c’est inutile.
L’usage étant de proposer un seul modèle de rédaction pour faciliter les choses.
1) le théorème dit :
Si deux droites sécantes coupent deux droites parallèles, alors avec les points ... on a :
AB/AM=AC/AN
Et, en prime, on a même l’égalité avec BC/MN.
Mais ça, en gros ça se démontre après.
C’est une des raisons pour laquelle on n’en parle pas ni dans la contraposée ni dans la réciproque.
2) la contraposée dit alors :
Si deux droites sécantes coupent deux droites, et si AB/AM$\neq$AC/AN, alors ces droites là ne sont pas parallèles.
On se fout de l’ordre des points (enfin, ils sont sur les droites dont on parle... et pas n’importe où).
3) la réciproque dit :
Si AB/AM=AC/AN et [...]
alors les droites sont parallèles.
Mais attention, on peut trouver des situations (qui sautent aux yeux en général, et on ne se poserait même pas la question, d’ordinaire) ou les droites peuvent en couper deux autres sans que ça ne suffise à avoir du parallélisme.
Ainsi dans le [...] on dit bien parler de l’ordre des points.
Enfin :
On peut avoir AB/AM=BC/MN et le bon alignement des points sans que les droites soient parallèles.
C’est en les écrivant proprement qu’on peut réfléchir.
C’est une vulgaire fraude.
L’usage, le manque de temps, la course au programme... n’arrangent rien.
Cordialement.
« Parallèles » => « AB/AM=AC/AN=BC/MN »
Devrait être
« AB/AM=AC/AN=BC/MN » => « Parallèles »
Et déjà, là, on voit le sabotage. Personne ne vérifie les trois rapports... et même dans les sujets on ne pourrait pas appliquer ce théorème. Le passage « si on a deux égalités alors on a les autres » est escamoté, parfois totalement non évoqué.
Je le répète, je ne jette pas la pierre aux profs du secondaire.
L’usage et le « pfff de toute manière.... » ont raison des scrupules.
remarque : c’est beaucoup plus propre avec Pythagore.
Pour la contraposée : même si écrire l'alignement des points est inutile, cela permet aux élèves de ne retenir qu'un modèle de rédaction (en lien avec celle pour la réciproque).
Donc les deux (avec indication de l'alignement des points et sans indication de l'alignement des points) sont corrects ou vous avez une préférence pour l'une d'entre elles ?
Le sens direct dit que :
si on a deux alignements,
et
si on a des parallèles,
alors on a des rapports égaux.
Quelle peut bien être la contraposée de cette proposition ?
Si l'on demande aux élèves de démontrer que l'on n'a pas de parallèles, de quoi a-t-on besoin ?
Si l'on demande aux élèves de démontrer que l'on n'a pas deux alignements, de quoi a-t-on besoin ?
Mais bien sûr, étrangement, on ne pose jamais la deuxième question...
Et, au cas où ce ne serait pas clair, je ne suis pas d'accord avec ce qu'a écrit Dom plus haut.
tu poses sans arrêt des questions sur des précisions de mots, et là, tu restes complètement dans le flou sur un proposition à contraposer, tu te refuses à répondre à la question "Peux-tu écrire vraiment le théorème tel que tu l'utilises ?". Tu es quand même un peu léger !! Serais-tu assez niais pour croire qu'il n'y a qu'une seule écriture de ce que tu appelles "théorème de Thalès" ?
En effet, c’est de la récitation sans comprendre.
Par contre, attention, si l’élève choisit une rédaction non préconisée, et si elle est juste, le prof doit le savoir et doit valider ce qui est juste même si ce n’est pas « son modèle ».
Le sens direct dit que :
si on a deux alignements,
et
si on a des parallèles,
alors on a des rapports égaux.
Quelle peut bien être la contraposée de cette proposition ?
Si les rapports ne sont pas égaux alors
il n'y a pas de parallèles
ou
il n'y a pas deux alignements.
Il faut un poil d'imagination (mais un petit poil) et une seconde de réflexion pour concevoir une figure avec rapports différents et parallèles (et bien sûr il va manquer un alignement).
Comme ici (image clickable, tiré du cahier d’exercices de Sésamath de troisième) :
-- Schnoebelen, Philippe
Et d'ailleurs, je pense que Arturo ou ses collègues ne pensent même pas aux alignements (qui je suis prêt à parier leur semblent évident), mais en fait à la position relative des points sur les alignements.
Effectivement, si on a les alignements et que les rapports ne sont pas égaux, alors il n'y a pas de parallèles et on a envie de dire qu'il est inutile de parler de position relative des points. Et Dom d'ajouter qu'on ne le fait que pour avoir une rédaction uniforme. Sauf que le problème me semble un poil plus intéressant qu'un bête conformisme.
"On" ne commence pas par calculer deux rapports sans aucune rédaction, pour constater qu'ils sont égaux ou différents et ensuite rédiger les alignements et un éventuel parallélisme. "On" commence par rédiger les alignements, constater que la position relative des points sur ces alignements est correcte (puisque les mesures algébriques ont disparue), et seulement arrivé là, écrire des rapports pour se demander s'ils sont égaux à un sens. Écrire des rapports sans préciser au préalable les alignements et les positions relève de l'absurde. Bien sûr, jamais sanctionner sur une copie, surtout une copie d'examen. Père Ubu est au pouvoir.
La "contraposée" du théorème de Thalès n'est rien d'autres que celle que l'on apprend en 3ème et ce, depuis plusieurs années.
Contraposée :
Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les droites A, N et C
et si AM / AB différents de AN / AC
Alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Pour information,
* la réciproque :
Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les droites A, N et C
et si AM / AB = AN / AC,
Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
* le théorème :
Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
ALORS AM / AB = AN / AC = MN / BC.
En effet, l'alignement des points est un "point" important dans la réciproque (la contraposée) donc, pour "faciliter" l'apprentissage des élèves dans cette notion, on peut aussi faire référence à l'alignement des points dans le théorème il me semble.
Cf. une copie du théorème dans un manuel de 3ème.
La rédaction n'est pas représentative des autres manuels.
Les points A, B, C d’une part et A, M, N d’autre part sont alignés dans cet ordre.
Calculs ou autres permettant de savoir si les deux quotients sont égaux
Et à partir de là,
égalité => parallèles (grâce à la réciproque)
non égalité => non parallèles (grâce à la contraposée)
Remarque : tous les cas bizarres sont certainement à étudier mais parfois les profs courent après le temps.
Il y a une précision à apporter quand tu dis « il y a des rapports égaux ».
En effet, s’il y en a trois, alors la contraposée et la réciproques devraient en contenir trois aussi.
C’est l’autre « problème » de ces termes « théorème, réciproque et contraposée » dans ce cas d’espèce mal fichu.
Si le théorème était (en partie) démontré dans les ouvrages scolaires actuels (guère plus que ce qui était fait il y a 60 ans), son énoncé ne serait pas un "problème" comme tu le dis.
Le vrai problème entre sens dit direct et sens dit réciproque est cette histoire de position relative des points, prix à payer pour la disparition des valeurs algébriques.
On est d’accord, c’est ce que je disais là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2211392,2211536#msg-2211536
Je suis d’accord aussi avec la suite de ton message.
j'espère qu'on n'enseigne pas vraiment ce que tu as écrit : (c'est moi qui ai mis en gras).
En tout cas, ce n'est en rien une contraposée du théorème que tu cites :
"Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
ALORS AM / AB = AN / AC = MN / BC.
dont la contraposée est
"Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
S'il est faux que AM / AB = AN / AC = MN / BC,
ALORS il est faux que :
les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Tu peux essayer de le retraduire comme tu veux, ça ne donnera jamais ton théorème, même réécrit correctement. Ton théorème est en fait une conséquence de cette contraposée.
Tu es sûr que c'est au programme avec ce nom (contraposée) ? Si c'est vrai, les concepteurs du programme sont devenus fous. Si c'est seulement dans un bouquin, le bouquin est à jeter.
http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/Groupe_logique/Logique au collège_V16.pdf
pourquoi dis-tu "les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les droites A, N et C" que ceci ne convient pas ?
Je suis d'accord avec le reste et je comprends toutes tes remarques.
Je le dis d'ailleurs aux élèves, les termes "réciproques" et "contraposée" sont des abus de langage.
Dom : moi, je suis preneur d'une rédaction claire (et rigoureuse), que ce soit du théorème, de sa "réciproque" et de sa "contraposée" et je veux bien passer du temps à expliquer les choses si elle sont justes et tiennent debout mathématiquement.
MAIS je n'ai jamais vu une une rédaction d'une réciproque du théorème de Thalès ou de sa contraposée qui corresponde à la définition même d'une réciproque" (au sens si A => B, alors réciproque B => A)) ou d'une contraposée (Non B => Non A).
Tellement c'était "évident" que l'erreur ne m'avait pas sauté aux yeux.
Je fais partie, comme toi, de ces gens qui, comme tu le dis, préfère nommer les choses.
"Réciproque" et "contraposée" ne sont utilisées, pour moi que pour le théorème de Pythagore et Thalès.
@Gérard : tu es taquin quand même, tu m'avais compris.
@Stefann : merci pour ce document.
Je me suis déjà posé la question en effet : qu'est-ce que le "contexte", qu'est-ce qui est supposé.
Dans le théorème de Pythagore, le contexte est "triangle".
L'hypothèse sur ce triangle est "rectangle".
Pourtant, on cite "Si un triangle est rectangle, ..." : on fait du "deux en un".
Il paraît, je pense, important de dissocier les deux.
On pourrait imaginer :
* "Dans n'importe quel triangle, SI celui-ci est rectangle, ALORS..."
ou, avec des lettres
* "Dans n'importe quel triangle ABC, SI celui-ci est rectangle en A, alors BC² = BA² + AC²".
1) je t'ai dit que j'avais compris (" ... ton théorème, même réécrit correctement"). J'ai mis en gras ce qui posait problème, même sans être taquin, le fait que tu le lises en fonction de ce que tu voulais écrire et pas en fonction de ce qui est écrit est un peu inquiétant.
2) "Je fais partie, comme toi, de ces gens qui, comme tu le dis, préfère nommer les choses". Alors nomme-les correctement. Si ce n'est pas une contraposée, ne l'appelle pas "contraposée". Toi qui demandes toujours à ce que les mots aient un sens précis (et unique), tu devrais y être sensible.
3) Dire aux élèves que c'est un abus de langage est rajouter une couche de confusion à une erreur ... Pour quoi donner des noms faux pour ensuite dire qu'ils sont faux ?
4) Il vaudrait mieux apprendre aux élèves à raisonner. "Dans cette situation, si les droites sont parallèles, alors ... mais c'est faux, donc les droites ne sont pas parallèles. Libérer la mémoire au profit de l'intelligence.
Cordialement.
Mais que faire avec la "réciproque" du théorème de Thalès qui n'en est pas non plus une ?
Comment énonces-tu chacun d'eux en collège ?
Un théorème réciproque (phrase de français courant, dite dans le domaine des maths) est un théorème qui "marche dans l'autre sens"; exemple : le théorème réciproque de Thalès.
Tu perds un temps fous à croire qu'un mot n'a qu'un seul sens, indépendamment de la façon dont on l'emploie. Tu dois avoir des problèmes tous les jours dans ta vie pratique (chez le boulanger, c'est une flûte ou un pain parisien ? Une chocolatine ou un pain au chocolat ?).
Cordialement.
Je ne critique pas la vulgarisation, entendons-nous bien et parler de propriété vraie ou de propriété fausse ne me dérange pas non plus. Et il y a d’autres petits détails qui m’embêtent (comme relevé par Éric).
Mais surtout :
Il dit « la propriété de départ n’admet pas de réciproque » au lieu de dire, par exemple, « la réciproque de la propriété de départ est fausse ».
Dès le départ d’ailleurs on le sent venir car il dit « est-ce que cette propriété admet une réciproque ? ».
C’est bizarre quand même.
Mettre dans la tête des gens (jeunes évidemment...) que des propriétés de la forme A=>B peuvent ne pas avoir de réciproque, c’est presque irresponsable.
Tu pourrais me donner, s'il te plaît, un exemple concret ?
P.S. : je ne vais pas chez le boulanger, cela m'évite les problèmes.
Tant pis !
Il dit que « s’il pleut alors le sol est mouillé » n’a pas de réciproque.
Il dit que « si ABCD est un rectangle alors ABCD a des diagonales de même longueur » n’a pas de réciproque.
C’est évidemment faux !
Je me demande s’il le sait d’ailleurs...
Et que ce soit dit à des 4e, je trouve ça étrange (enfin a n’importe qui d’ailleurs).
Ma question : s’il sait que c’est faux, pourquoi le faire exprès ?
Remarque : je ne sais pas s’il on peut rédiger un commentaire, s’il faut « s’inscrire » etc.
Monka est agrégé et jamais il a dit sur cette vidéo que ’’si il pleut alors le sol est mouillé’’ n’a pas de réciproque. Je pense qu’il dirait que la réciproque est fausse et non qu’elle n’existe pas. Le problème est dans la définition du mot propriété. Il parle bien (et il l’écrit même) de l’existence ou non de la propriété réciproque même si effectivement le mot propriété est parfois oublié. C’est loin d’être aussi facile que cela d’expliquer proprement. Il ’’inverse’’ les ’’si’’ et ’’alors’’ donc il considère bien que la réciproque existe toujours mais il précise bien à 2:46 ’’si la propriété réciproque existe’’.
Bon, d’abord, agrégé ou pas agrégé, l’erreur est humaine.
Alors pour lui, tu crois que « propriété » signifie « chose vraie » ?
Du coup parlerait-il de « propriété fausse » ?
Le terme « réciproque » n’en a que faire que ce soit vrai ou faux.
Enfin, dans la tête d’un élève, comment on ne maîtrise rien, tout est flou, et je suis certain qu’on entend « certains ”si... alors... ” n’ont pas de réciproque ».
C’est fâcheux.
Remarque : quand je disais « il pleut... » c’était une métaphore et juste en dessous j’ai vite la « propriété » utilisée dans le texte. Il ne laisse jamais penser qu’une réciproque existe toujours.
Édit : quant à la facilité d’expliquer cette notion... si, si, c’est assez simple. Son exemple me va bien d’ailleurs.
Tout le monde fait ça : écrire en couleur l’hypothèse et en une autre couleur la conclusion, puis « l’échange », etc.
L’échange brut pose d’ailleurs parfois problème mais ça c'est autre chose.
Oui, je pense que pour lui ’’propriété’’ signifie "chose vraie’’ et pour le coup je ne suis pas sûr que mettre dans la tête d’un collégien qu’une propriété peut être vraie ou fausse soit une bonne idée car cela risque de mettre le bazar et le doute quand dans leurs cours ou manuels il est écrit ’’propriété: blablabla’’.
1) « La propriété réciproque, si elle existe, attention, [...] »
2) « Vérifions si cette propriété est vraie »
Dans ces deux phrases 1) et 2), ce n’est donc pas le même sens du mot « propriété ».
3) « Vérifions si la propriété de départ admet effectivement une réciproque. »
Hum... c’est au mieux confus tout ça.
Non, on n'a pas la réciproque, elle est fausse.
Que faudrait-il pour avoir la réciproque, rajouter se coupent en leur milieu.
Alors la réciproque est vraie. On a la réciproque.
De mon temps cela passait super bien
il me semble.
Alors qui complique, qui simplifie?
.
B=>A s’appelle la réciproque de A=>B.
Et je me fous de ce qui est vrai ou de ce qui est faux.
Je ne crois pas que l’on puisse faire plus simple.
Et à enseigner ce n’est pas plus simple ou moins simple. Là n’est pas la question.
Là, on discute de l’idée que certains assertions n’auraient pas de réciproques, ha si, pardon, des réciproques fausses... bref.
La phrase d’ailleurs est amusante : « on n’a pas la réciproque, elle est fausse ».
C’est qui ce « elle » qui est fausse mais qu’on n’a pas ? :-D
On est libre d’écrire des trucs faux en maths (par exemple quand on raisonne par l’absurde) ou même d’écrire n’importe quoi (au risque de ne pas être compris).
Et en plus, le mot de propriété est polysémique, ça n’arrange pas les choses (propriété mathématique, propriété d’un objet mathématique).
-- Schnoebelen, Philippe
Là j’en parle car je trouve ça très insolite, dans ce fil.
Mais il ne m’arrivera pas de fanfaronner, qui plus est par plaisir, en dénonçant tel ou tel propos d’une vidéo de ce genre.
C’est trop facile d’ailleurs. Que l’on trouve des coquilles, surtout dans le langage, c’est évident.
Le plus triste, c’est la liste des commentaires qu’on peut lire (du genre « merci car mon prof est nul ») . Mais c’est un autre sujet.