Continuité sur un intervalle
Bonjour,
Si $f:\R\to\R$ est une fonction, dire $f$ est continue sur l'intervalle $I$, ce n'est pas la même chose que de dire la restriction de $f$ à $I$ est continue n'est-ce-pas ?
Par exemple, la fonction indicatrice de $\R_+$ n'est pas continue sur $\R_+$, mais seulement sur $\R_+^*$, c'est bien ça ?
(la discontinuité en 0 "contamine" $\R_+$, même si on ne la voit pas sur la restriction de $f$ à $\R_+$)
Si $f:\R\to\R$ est une fonction, dire $f$ est continue sur l'intervalle $I$, ce n'est pas la même chose que de dire la restriction de $f$ à $I$ est continue n'est-ce-pas ?
Par exemple, la fonction indicatrice de $\R_+$ n'est pas continue sur $\R_+$, mais seulement sur $\R_+^*$, c'est bien ça ?
(la discontinuité en 0 "contamine" $\R_+$, même si on ne la voit pas sur la restriction de $f$ à $\R_+$)
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Réponses
Ou bien tout le monde n'est pas d'accord, et on fait comme on veut, selon le courage qu'on a à expliquer des trucs tordus à nos élèves ?
Certains font la distinction comme toi (typiquement en France où souvent continue sur $I$ veut dire continue en tout point de $I$), d'autres considèrent (avec ses avantages et ses inconvénients) que continue sur $I$ veut dire par définition que la restriction à $I$ est continue, ce qui est effectivement différent.
Je laisse le débat se réinstaller à présent B-)-
Ensuite, je me suis pris de sueurs froides en pensant que j'avais raconté de grosses bêtises !
Mais bon, si ce n'est pas grave, parce que, à chacun son opinion, alors, ce n'est pas grave !
Désolé de ne pas t'avoir rassuré 8-)
Enfin, bon ! La rigueur et moi... J'ai toujours eu l'impression que la rigueur mathématique, c'était surtout des formules de politesse, et que, franchement, on s'en passerait bien !
Quand il y a un vrai problème, c'est bien de le faire remarquer, mais quand il n'y en a pas, on devrait arrêter de casser les pieds de tout le monde.
Mon idée à moi, c'est que les deux se tiennent, et que, à part s'il y avait un très improbable enjeu crucial sur cette distinction, mieux vaut économiser sa salive pour parler de choses moins bureaucratiques et plus intéressantes.
Pour moi « $f$ continue sur $J$ » signifie « $f$ continue en tout point de $J$ »
et ce n’est pas la même chose que « $f_{|J}$ est continue sur $J$ ».
Il n'y a ni accord ni désaccord, juste deux conventions différentes, et chacun a toujours une bonne raison de défendre la sienne.
J’ai déjà vu sur ce forum des gens défendre les deux points de vue, selon que cela les arrange.
On a le droit cependant de ne pas prêter attention à ces gens là ;-)