La continuité
Bonjour
Je m'interroge sur la question de la continuité d'une fonction qui nous est si familière aujourd'hui.
Je n'arrive pas à comprendre ce qui a pu permettre de passer de l'idée " je trace une courbe sans lever le crayon " à la définition avec les epsilons. Car cette définition représente un saut vers l'abstraction que je considère inouï.
Est-ce que l'on peut m'aider à comprendre ce qui a favorisé cette rupture épistémologique qui d'ailleurs n'est pas un cas isolé dans l'histoire des mathématiques puisque ces sauts fécondent l'activité mathématiques de la manière la plus surprenante.
Merci de m'aider à y réfléchir.
Je m'interroge sur la question de la continuité d'une fonction qui nous est si familière aujourd'hui.
Je n'arrive pas à comprendre ce qui a pu permettre de passer de l'idée " je trace une courbe sans lever le crayon " à la définition avec les epsilons. Car cette définition représente un saut vers l'abstraction que je considère inouï.
Est-ce que l'on peut m'aider à comprendre ce qui a favorisé cette rupture épistémologique qui d'ailleurs n'est pas un cas isolé dans l'histoire des mathématiques puisque ces sauts fécondent l'activité mathématiques de la manière la plus surprenante.
Merci de m'aider à y réfléchir.
Réponses
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Pendant longtemps il y eu un flottement entre les définitions de la dérivation et de la continuité... il semble que l'abstraction fut nécessaire à la clarification de ce point.
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Bonjour
Il n'y a pas vraiment de $\epsilon$ dans la définition de la continuité.
C'est dans la définition de la limite qu'il y a des $\epsilon$.
J'ignore si la notion de limite a été dégagée avant celle de continuité. (je pense que oui) -
Quelle définition a été « la première » entre la définition dans les espaces espaces vectoriels normés, dans les espaces métriques et dans les espaces topologiques ?
Certes déjà on est dans $\mathbb R$ pour cette question. Puisqu’on parle d’une vision empirique. -
Le « sans lever le crayon » est l’idée intuitive. Pour pouvoir faire des mathématiques, il faut lui trouver une traduction mathématique, se mettre d’accord sur une définition. Sinon, ben, on ne fait pas de maths, c’est tout.
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Salut,
Les réponses à cette abstraction sont dans la topologie. En fait, l'analyse, c'est de la topologie + de l'algèbre. La topologie est elle même de la théorie des ensembles qui fait intervenir dans certains cas des epsilons pour décrire des propriétés de ces ensembles. C'est de là que viennent ces epsilons.
En fait, tout découle vraiment des propriétés des ensembles sur lesquels on travaille, tous ces epsilons dans les fonctions ne sont que la conséquence des epsilons dans les ensembles.
Dans ton cas par exemple on regarde dans ces fonctions celles qui conservent des propriétés des ensembles. Ainsi, la continuité traduit le fait que l'antécédent d'un ouvert est un ouvert. Dans les espaces métriques, les ouverts se caractérisent avec des epsilons. Tu traduis directement ça, tu trouves la définition d'une fonction continue habituelle avec les epsilons.
Après si ce que tu demandes est plus sur l'historique de cette abstraction, je crois que la topologie est postérieure à cette définition de la continuité, qui dans ce cas découle simplement d'un travail de réflexion dicté par la nécessité de cette notion. -
Au passage, cette histoire de ’’sans lever le crayon’’ amène parfois les élèves à affirmer par exemple que la fonction inverse n’est pas continue...
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Elle ne l’est pas sur $\mathbb R$ 8-)
Une remarque : la fonction $f(0)=0$ et $f(x)=x\sin \big( \frac{1}{x} \big)$ pour les $x$ réels non nul est continue.
Mais pour tracer sa courbe sans lever le crayon entre $0$ et $1$, c’est long... -
Dom
Je me doutais que tu allais faire cette remarque.:-D
Même en précisant ’’sur son domaine de définition’’ les élèves te répondent : je lève mon stylo donc elle n’est pas continue... -
Bonjour.
Elle a été très longue à se faire, car elle est liée à la notion de fonction. Le mieux pour toi est de lire quelques bouquins d'histoire de l'analyse (histoire des maths) sur la période dix-septième siècle au dix-neuvième siècle. Et tu verras comment on est passé d'une idée très intuitive de limite à la définition précise de Cauchy (encore mal maîtrisée), puis comment l'étude des séries trigonométriques (séries de Fourier) a imposé de définir plus clairement la notion de fonction et voir que la continuité est un cas très particulier.Blanc a écrit:Est-ce que l'on peut m'aider à comprendre ce qui a favorisé cette rupture épistémologique
Tu verras alors que ce ne fut pas une rupture, mais une évolution par tout petits sauts, avec une vraie rupture par contre sur l'idée de fonction.
Cordialement. -
biely,
En fait je viens de comprendre ce que tu dis.
D’ailleurs la continuité sur des ouverts, c’est peu « physique » aussi.
Je veux dire qu’en bricolant et en tranchant des traits, on est plutôt sur des segments (des intervalles fermés et bornés).
Oui, bon, je me comprends... -
Il semble que les premiers couples $\varepsilon-\delta$ apparaîssent dans le cours d'analyse de Cauchy.
Je pense que le concept de limite est plus ancien que celui de continuité, parce que plus simple.
Le concept de limite une fois acquis, celui de continuité suit assez naturellement :
une fonction est continue si elle commute avec la limite :
$$
\lim_{x\to a} f(x) = f\big( \lim_{x\to a} x \big).
$$ -
Bonjour Soland.
En fait, la notion de continuité est plus ancienne que la notion de limite (dont l'absence a amené les indivisibles de Cavalieri, puis les infiniment petits de Leibnitz). Les fonctions du dix-septième siècle sont continues, et même, au dix-huitième, avec l'utilisation des séries (sans considération de convergence), analytiques. Ce n'est que lorsqu'on s'intéresse à la convergence des séries (Laplace, [large]G[/large]auss, Cauchy et al) que la notion de limite devient une notion fondamentale, demande une définition (jusque là restée très intuitive : "quand x se rapproche de 2, f(x) se rapproche de 0"), et qu'apparaît la préoccupation de la continuité et de la continuité uniforme.
À noter : le fondamental de l'époque, c'est la géométrie. Euclidienne, bien sûr.
Cordialement. -
Lu avec intérêt
Ch.S. -
Je m'en doutais ;-)
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La fonction qui à $x$ associe $x$ lorsque $x$ est rationnel et qui à $x$ associe $0$ lorsque $x$ est irrationnel est continue 0.
Par contre, je me suis fait un tennis-elbow en la traçant, je n'arrête pas de lever le crayon.Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
Ha moi j’y arrive !
Je ne la trace qu’en $0$, puisqu’il n’y a que là qu’elle est continue, c’est à dire que je fais un point avec mon (gros) crayon. -
(:DKarl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
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mais surtout la définition du "sans lever le crayon est fausse"!
Il suffit de tracer sur un graphique par exemple la fonction (x²-2x+1)/(x-1) pour s'en rendre compte. -
Sans compter qu'il y a plein de choses continues qu'on ne peut pas dessiner, comme les fonctions continues nulle part dérivable ou les courbes remplissantes.
Honnêtement ce n'est pas une très bonne vision de la continuité. -
Hum...Pourquoi placebooo ?
La fonction dont tu parles n’est pas continue (car pas définie partout) si j’imagine bien les ensembles de départ et d’arrivée...
Ou alors tu l’identifies à une fonction continue en tant que fonction rationnelle.
Et dans ce cas, certes c’est une droite et personne ne peut « la tracer entièrement » mais à part ça ? -
"Sans lever le crayon" me semble adapté à une première approche. Comme toute approche intuitive, avec, rapidement, ses limites.
En réponse aux élèves sagaces qui remarquent que ça ne marche pas pour les fractions rationnelles avec pôles (la fonction inverse ou autre), il me semble tout aussi adapté de dire "oui, c'est pour ce genre de raison qu'en math, l'intuition ne suffit pas, il faut des definitions propres et sans ambiguïté". De là, donner ou pas la définition, selon le contexte (niveau etc). Non ? -
Bon, chacun sait qu’une courbe n’a pas d’épaisseur et donc ne peut pas être tracée fidèlement.
Éventuellement, dans ce sens, « on ne peut pas » même tracer un segment.
C’est pour cela que je préfère « représenter » au lieu de « tracer ». -
Ha ok. Comme on parlait de tracer les fonctions continues je n’avais pas saisi.
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Bonjour à tous,
Certains se sont essayés à refonder l'analyse "sans epsilon", voir par exemple le "fameux" Calculus Unlimited
Sinon, pour rebondir sur les derniers propos de Dom, je me souviens de mon prof de sup' qui nous disait que l'on ne pouvait pas/savait pas tracer autre chose que des courbes de fonctions de classe Cinfini. -
La fonction valeur absolue n'est même pas C1 et pourtant on la trace sans problème. Bizarre ou alors je n'ai pas saisi ce que voulait dire ce prof.l'on ne pouvait pas/savait pas tracer autre chose que des courbes de fonctions de classe Cinfini.Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
Je n'ai pas rapporté exactement ses propos, l'idée est surtout de dire que quand on trace un trait, on trace naturellement une fonction Cinfini sauf en quelques points en lesquels on exagère volontairement la représentation.
Autrement dit : On ne peut pas représenter "fidèlement" sur un intervalle une fonction qui n'y est Cinfini en aucun point.
Le but du prof était surtout de nous faire comprendre que la classe de fonction Cinfini est la classe "naturelle" (du point de vue de l'oeil humain certainement) d'une courbe. -
L’idée que le crayon est « rond » peut-être et que cela ne va pas créer un angle ?
Ou alors c’est « on ne fait que des $C^{\infty}$ sauf en un nombre fini de points ». -
Il n'y rien de mal avec une approche intuitive en maths quand on introduit une notion pour la première fois. Personne n'apprend la théorie de Galois en cm1 ou terminale. Est-ce alors un délit vouloir introduire de manière intuitive une notion compliquée comme la continuité au lycée ? Le délit serait de continuer cet approche intuitive dans les classes supérieures (L1-L3, M1-M2) mais pas en terminale, d'autant plus que les élèves n'ont pas les outils conceptuels nécessaires pour comprendre l'existence de fonctions continues nulle part dérivables ou même d'étudier des fonctions continues sur des ensembles qui ne sont pas des intervalles ou réunion finis d'intervalles. D'autre part c'est difficile de faire comprendre aux élèves que la continuité n'est pas une proprieté intrinsèque de la fonction mais de la structure topologique que l'on adopte sur R et donc que la continuité n'a rien à voir avec la possibilité de tracer la courbe représentative d'une fonction sans lever le crayon de la feuille de papier. Alors on doit leur faire un cours de topologie avant d'aborder la continuité en terminale ou première ?
Il ne faut par mettre à mort l'intuition, juste poser des balises qui indiquent clairement les limites de cette intuition et que pour aller au-delà il faut des outils plus compliqués hors de porté du niveau lycée. -
Il y a quand même une différence entre une notion intuitive et une notion fausse.
Dans les années 80 on ne parlait pas du tout de tracer sans lever le crayon, mais du fait qu'une fonction est continue en un point si elle admet une limite en ce point, ce qui est facilement généralisable à un intervalle. C'est à dire de considérer la continuité comme un corollaire de la limite.
Là on a vraiment une notion intuitive, qui n'est pas fausse, et qui permet sans difficulté d'envisager des définitions plus sophistiquées avec des voisinages etc."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Il n’est pas question de dire que « sans lever le crayon » est faux.
C’est juste non mathématique. C’est de l’intuition. Une mage mentale.
Comme de plier la feuille avec la symétrie axiale.
Je suis assez d’accord avec Serge.
Et il est bien entendu raisonnable que le professeur dise que ce n’est pas une définition mathématique, et que c’est juste une idée pour appréhender une notion. Et qu’il faudra en trouver une définition mathématique.
Une remarque, Serge :
C’est vrai que la structure topologique est arbitraire. Cependant, on est naturellement dans des espaces vectoriels et on les munit d’une norme. Ainsi, sur $\mathbb R$, c’en est presque « intrinsèque ». -
C'est faux parce qu'il y a confusion complète avec la dérivée. Donc ce n'est même pas "intuitif".
Et comme tu l'écris très bien Dom, ce n'est pas des maths. C'est du dessin, avec sans doute un peu de coloriage.
Mais bon, de nos jours on va pas chipoter."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Oui brian, c’est ça.
xax,
Et alors « la dérivée » ?
L’approche de la dérivée c’est plutôt « pas de point anguleux ».
Le graphe de la valeur absolue ou autres dents de scie sont aussi des approches intuitives pertinentes.
Tout le problème est de ne pas définir à des gens des choses comme ça.
Et d’ajouter à chaque fois « il existe des définitions mathématiques alors on ne se fie pas qu’à l’idée intuitive ». -
Dom quand tu "traces" physiquement c'est une dérivée que tu fais. Lorsqu'il y a un point anguleux avec une valeur absolue par exemple, on lève le crayon pour réajuster la règle. C'est pour ça que ça me parait bien discutable comme "notion intuitive" surtout évidemment que c'est ça qui va être retenu.
Mais bon comme je disais, on va pas chipoter, je commence à connaître la musique qui est la même dès le primaire où les enfants passent 2 ans à regarder des figures coupées en morceaux pour apprendre "intuitivement" les fractions avec le résultat que l'on sait."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Voilà ci-jointe ce qu'on peut appeler véritablement une notion intuitive de la continuité qui aborde pour le même prix le voisinage et la discontinuité. Je ne trouve pas ça excessivement difficile, même pour un élève d'aujourd'hui."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
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Bonjour à tous
SERGE_S : d'accord en tous points avec toi.
Bonne journée à tous. -
Mais non xax, voyons, quand tu traces un carré à main levée, tu représentes bien des segments et des points anguleux. Lèves-tu nécessairement le crayon ?
Pour la valeur absolue c’est la même chose.
Et quand tu lèves le crayon c’est seulement pour des soucis de précision, de perfection, d’esthétique...
Pour t’enquiquiner, pour la valeur absolue, je laisse mon crayon en $(0,0)$ et c’est la règle que je déplace :-D
Mais bon, bref, tout à été dit semble-t-il.
C’est en fait plus général que cela : pour n’importe quelle notion, on introduit de l’intuition, des images mentales, etc., puis on formalise. Les questions sont « quand jouer ? jusqu’à quand ? et quand formaliser ? » ou encore « faut-il griller des étapes ? ».
J’ai quelques exemples où ceux qui me disaient « formaliser brutalement » finissaient par lassitude à proposer de l’intuition face à la question serinante « mais j’comprends pô ce que ça veut dire ».
Pour plein de sujets... -
physicius le problème c'est que 95% des élèves, ingénieurs compris, ne seront absolument pas concernés parce que SERGE_S raconte, donc on revient à la case départ : on apprend sous couvert d'intuition des choses fausses alors qu'on pourrait, comme cela se faisait quand on apprenait un peu de maths au lycée, donner proprement sous une forme simple les bonnes intuitions.
Il ne faut pas s'étonner de l'effondrement des maths dans ces conditions. Je suis un peu surpris que les enseignants cherchent à justifier des conneries tout en disant que "c'est pas grave on verra plus tard" ce qui est également faux.
Edit : Dom, ne me dis pas que la présentation intuitive de Warusfel que j'ai postée est incompréhensible... On pourrait à la rigueur faire encore plus simple en prenant 2 exemples séparés, un droite 2x simple et dire voilà 2(x+a) c'est proche de 2x, et enrichir dans un second temps avec l'autre exemple.
En fait la pédagogie des maths ces dernières années a consisté à donner à voir des choses fausses, ou qui peuvent très rapidement s'interpréter faussement (quelle blague de supposer que "juste poser des balises qui indiquent clairement les limites de cette intuition" est d'une quelconque efficacité), plutôt que de faire l'effort de présenter proprement des exemples simples mais vrais pour amener à des choses progressivement plus complexes.
Quelle misère."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
C’est amusant parce que l’auteur a illustré cela avec une figure « pour mieux comprendre », certainement.
J’enfonce le clou sur le ton de la plaisanterie : il semble vouloir parler de continuité en montrant un exemple qui ne l’est pas.
Sans image mentale, je t’assure, ce n’est pas simple de « penser ». -
C'est quand même hyper clair Warusfel; question image aussi, il va jusqu'à prendre des valeurs numériques. À part la mode contestable de ne pas prendre d'axes orthonormé ... À l'époque on faisait aussi continuité de la fonction puis limite comme corollaire, c'est peut-être plus proche de ce qui vient directement dans le supérieur."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
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Une autre façon de l'aborder avec 2 cas séparés cette fois (manuel 1ere A et B 1974 Aleph1). On est très très loin de la notion "intuitive" actuelle..."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
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Tu as ouvert ton sillon « ce n’est pas bien de parler du crayon » et tu ne sortiras pas. Comme dans d’autres discussions. Ça te caractérise je trouve. Bon, je te dis cela sans agressivité.
Ma question serait alors « mais pourquoi donc on utilise le terme ”continue” pour dire ”quand on est voisin de ... patati” ? ».
Qui a eu cette idée saugrenue ? Faut vraiment être bizarre d’appeler des choses avec des mots qui existent déjà dans le dictionnaire courant.
Vas-tu te forcer à rester dans ton sillon idéologique en t’interdisant de parler du crayon ? -
Dom, j'ai juste pris la peine de regarder comment on présentait les choses "avant", en l’occurrence comment Warusfel faisait, et effectivement les premières notions topologiques viennent naturellement.
Je n'ai pas dis que ce n'était pas bien de parler de tracer sans lever le crayon, j'ai dis que ça amène naturellement à penser des choses fausses ou à faire des confusions. Après on peut comme cela a été écrit par SERGE_S faire un travail particulier pour éviter cela, mais très franchement, je suis septique sur la faisabilité réelle et le résultat."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Penser des choses fausses, faire des erreurs, c’est un passage nécessaire bien souvent...
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Ok xax.
Par contre attention à l’immense biais que tu sembles oublier.
Warusfel propose un texte sans parler de crayon, ok.
Mais quid de son enseignement à des lycéens ? N’a-t-il jamais utilisé cette idée du crayon face à des lycéens quand il enseignait au lycée ? Quel professeur partage ses outils langagiers de vulgarisation ?
Pour ma part, je me souviens que l’idée « sans lever le crayon » m’a été initiée en DEUG 1 (actuel L1) avec les précautions d’usage.
Ainsi, je ne crois pas qu’un quelconque problème n’existe a présenter les choses comme ça. Bah oui, une fois dit cela, c’est une définition propre qui est arrivée dans le cours.
Je ne me souviens pas si au lycée on me l’a présentée ainsi (la continuité).
Je me souviens parfaitement qu’au lycée je ne savais pas ce qu’était la continuité pourtant utilisée dans des phrases toutes faites. Mes profs ont certainement proposé quelque chose mais je n’en ai aucun souvenir. -
Dom j'ai un vague souvenir de terminale si deux points sont proches alors leurs images aussi, un peu comme le premier exemple mais avec $x^2$, en DEUG c'était du même tonneau avec des éléments de topologie, le tracé par contre je ne m'en souviens pas. Du cours de première où on commençait à aborder cela et la dérivation, je ne m'en souviens pas. Si c'était le cas, le fait que ce soit dit avant l'approche intuitive calculée ne pose pas de problème. En terminale et en DEUG j'ai eu des normaliens qui ne plaisantaient pas avec l'orthodoxie :-)
Kioups je suis bien d'accord, mais ce que je voulais dire c'est qu'il y a quand même danger à confondre avec la dérivée (on longe une courbe conceptuelle quand on trace), ou à se trouver un peu con dès qu'on a des trucs pathologiques comme les fonction avec trop de secteurs non dérivables qui ne sont pas traçables, ou avec trop de variations, ou des valeurs différentes si rationnels, algébriques, et le reste style 1, 0, -1 etc ou là en fait on est obligé de tracer des droites parallèles en pratique."J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert -
Ça aussi, c'est une erreur de conception de la continuité. La fonction $x\mapsto \frac{\sin(\frac 1 x)}x$ est continue sur $]0,+\infty[$ mais ne vérifie pas cette condition au voisinage de 0.Xax a écrit:si deux points sont proches alors leurs images aussi,
Mes profs de lycée ont toujours insisté sur l'idée fondamentale : "si deux points sont suffisamment proches alors leurs images sont aussi proches qu'on l'a demandé à l'avance". Et pourtant on étudiait en première (toutes les premières !) les limites par $\varepsilon ,\ \eta$.
Et quand j'ai eu à enseigner ou à faire sentir (suivant les classes) la continuité, je l'ai utilisée, pour préciser le tracé sans lever le crayon et l'idée que la courbe "passe par chacun de ses points", présentée oralement. -
Je trouve la notion de " tracer une courbe sans lever le crayon" particulièrement parlante.
On reconnait une fonction continue à ce que le crayon reste collé au papier sur lequel on a tracé sa représentation graphique.
Une fonction continue, un papier, un crayon.
C'est un peu coûteux, mais très pratique comme critère.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Aujourd'hui la continuité au lycée c’est je vois une flèche qui monte ou qui descend dans un tableau de variation donc c’est continue:)o
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