Base d'un triangle isocèle

Arturo · May 2021

Bonjour,

1) comment définissez-vous la base d'un triangle isocèle en 6ème ?
On peut dire "côté qui n'a pas la même longueur que les deux autres.". (*)
Mais dans un triangle équilatéral, qui est un triangle isocèle particulier, cette définition ne tient plus...
Sauf si on précise : "côté qui n'a pas la même longueur que les deux autres dans le cas d'un triangle isocèle qui a exactement de côtés de la même longueur."

2) Par ailleurs, je m'interroge sur la définition d'un triangle isocèle : "Triangle qui a (au moins) deux côtés de la même longueur.".
Certains ne font pas apparaître le 'au moins', d'autres si.
Je n'arrive pas à trancher car, par exemple avec la définition (*) ci-dessus, cela pose problème.
Je pars du principe que si je parle d'un triangle "isocèle", c'est que de fait, il est exclu qu'il soit équilatéral, sinon j'aurais dit directement qu'il était équilatéral : c'est ce qu'ils font dans les exercices des manuels.
Mais cet argument peut aussi s'effondrer si dans un exercice, on parle d'un triangle isocèle et qu'on découvre que, finalement, le troisième côté à la même longueur que les deux autres.
Bref, comment faire pour faire "bien" ?

Merci pour vos retours.

Dom · May 2021

Alors on reprend :

Isocèle : avoir au moins deux côtés de la même longueur.

Quand on oublie le « au moins » ça signifie tout de même qu’il y est.
Moi je préfère écrire le « au moins deux côtés ». En effet je ne voudrais pas que certains croient qu’il s’agit de « exactement deux côtés ».

Attention, le mot « base » est utilisé pour plusieurs choses différentes.
Base de triangle isocèle, formule « base $\times$ hauteur » (pour l’aire dès parallélogramme), équivalent pour l’aire des triangles (avec la base que l’on veut), puis pour les solides etc.

Ici, « base d’un triangle isocèle » : côté opposé au sommet principal
« Sommet principal d’un triangle isocèle » : sommet commun aux* deux côtés de même longueur.
Cela évite la négation et le cas du triangle équilatéral.

*on peut dire aussi : sommet commun à deux côtés de même longueur mais là je préfère « aux ».

lourrran · May 2021

Question. As-tu 2 € sur toi ?
Oui, j'ai 2€. Et peut-être même que j'ai 3€.

Y a-t-il 2 gauchers dans la classe : Oui, il y a X et Y ... et peut-être d'autres.

Le "au-moins" n'est pas dit explicitement, ni dans la question, ni dans la réponse. Mais il est là.

Combien y a-t-il de gauchers dans la classe ? réponse 2. Et là, piège, ça ne veut plus dire au moins 2, mais exactement 2.

Je pense qu'il ne faut pas hésiter à se transformer en prof de français, et leur dire que des fois, ils vont tomber sur des exercices où c'est écrit "au moins 2", ou d'autres exercices ou c'est écrit "2" ... et qu'en fait, sauf contexte très explicite (combien y a-t-il de ...), ces 2 formulations veulent dire la même chose.
Et surtout, leur dire que ce n'est pas uniquement dans les cours de maths qu'ils tomberont sur cette ambiguïté, mais en permanence dans la vie courante.

gerard0 · May 2021

Bonjour Artuto.

Toujours ta volonté qu'un mot serve à une seule chose qui bute sur la réalité. Un triangle a trois "bases", même s'il est isocèle. Donc dire "la base" n'a pas de sens, il vaut mieux éviter. Tu éviteras de perturber certains élèves lorsque le triangle ABC avec AB=AC$\neq$ BC a son côté AC horizontal et B au dessus (pour eux, la base est le côté "d'en bas").

Si tu y tiens, définis des triangles isocèles non équilatéraux avec un sommet principal et la base, et des triangles isocèles équilatéraux avec trois sommets principaux et trois bases. Mais est-ce utile ?

Cordialement.

Arturo · May 2021

Merci pour vos réponses.

Je suis d'accord que le "au moins" est important.
Donc si je comprends vos réponses, le problème vient de ma définition de "base", c'est ça ?
Ou, avec cette définition (la mienne), c'est moi qui en voit un où il n'y en a pas ?

@Dom : qu'est-ce que le côté opposé à un point dans un triangle ?
Y a-t-il une définition générique du côté opposé à un côté / à un point dans un polygone qui permet de l'appliquer en particulier dans un quadrilatère (côtés opposés parallèles dans un parallélogramme) ou dans un triangle (côté opposé à un point) ?

@Gérard : tous les côtés d'un triangle sont des bases ?
Je ne le savais pas...

lourrran · May 2021

Dans un triangle, il n'y a pas un côté qui est privilégié, et les autres côtés qui seraient secondaires. Les rôles sont interchangeables.

Si tu découpes un triangle dans du carton, et que tu poses ce triangle devant toi sur une table, selon la façon dont tu l'orientes, tu auras envie de dire que tel ou tel côté devient la base. Et du coup, quand on a choisi de privilégier ce côté précisément, , alors on a aussi choisi de privilégier une des hauteurs, qui devient LA hauteur du triangle.

Mais que tu choisisses d'orienter ton triangle en carton d'une façon ou d'une autre, la surface ne changera pas. La surface d'un triangle, c'est quelque chose de parfaitement défini ; sa base, ou sa hauteur, c'est un choix qui peut être remis en question à tout moment.

En cours de maths, c'est pareil.

Tous les côtés de sont pas des bases simultanément. Mais tous les côtés peuvent être choisis comme base.

Bien entendu, si on a un triangle bien particulier avec un coté horizontal, et que ce côté est 'en bas' du dessin, on sera très incité à dire que ce côté horizontal est la base du triangle.
Mais c'est du conformisme, ce n'est pas une obligation mathématique.

gerard0 · May 2021

Arturo a écrit:

@Gérard : tous les côtés d'un triangle sont des bases ?
Je ne le savais pas...

Tu ne connais pas la formule de calcul de l'aire d'un triangle ? Dans le triangle ABC, "la" base, c'est qui ?

Dom · May 2021

« Côté opposé à un sommet » c’est presque clair, non ?
Si le triangle est ABC, le côté opposé à A est [BC].

Ce n’est pas « côté opposé à un point ».
Pour les polygones de plus de trois côtés, je ne sais pas s’il existe une définition consensuelle.

« Plusieurs bases » : bah oui, Arturo, je l’ai écrit plus haut.

Arturo · May 2021

@Gérard : Merci pour ta réponse... Je ne m'en étais pas rendu compte que tout côté était une base.

Je pensais que le terme "base" était seulement associé aux triangle isocèles comme étant LE côté opposé au sommet principal.
Ce que je veux dire est qu'il n'y a (pour moi) qu'une base dans un triangle isocèle : LA base.

S'il y a trois bases dans un triangles, pourquoi ne pas dire que la formule de l'aire d'un triangle est : hauteur * côté relative à cette hauteur / 2 plutôt que "base" ?
En d'autres termes, qu'apporte le mot "base" par rapport au mot "côté" dans un triangle ?

Merci pour cet échange.

Mathurin · May 2021

Bonjour,
le mot "base" est simplement plus court que "côté perpendiculaire à la hauteur", mais il a exactement le même sens. En privilégiant une hauteur, on privilégie une base et réciproquement.
Cordialement

Dom · May 2021

C’est peut-être lié à la vision « hauteur » du langage courant.
Hauteur par rapport à quoi ? On dit même « le pied de la hauteur ».

Tous ces mots sont empruntés à dessein au langage courant je pense.
Je prends un triangle, en bois par exemple.
Je cherche « sa » hauteur. Faut-il encore que je le pose horizontalement pour pouvoir la mesurer perpendiculairement au sol, à la base...

Voilà. C’est une idée. Une image mentale.

gerard0 · May 2021

Tu te tortures l'esprit pour pas grand chose, Arturo. Non seulement tu voudrais que chaque chose ait un mot, mais qu'un mot ait une seule chose.
Une base c'est plein de choses, jusqu'à un produit chimique !

Cordialement

Base d'un triangle isocèle

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