Signe d'un produit et calcul littéral
Bonjour,
- 3 * (- 4) = + 12
-> Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.
Pour n'importe quels nombres x et y, - x * (- y) = xy.
-> Ici, on ne peut pas dire que "le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif." car x et y ne sont pas forcément négatifs donc le signe de xy n'est pas forcément positif (puisqu'il dépend du signe de x et du signe de y).
Du coup, je m'interroge sur ce que dire à l'oral aux élèves pour expliquer qu'il y a plus de "-" devant le produit xy.
Merci pour vos réponses.
- 3 * (- 4) = + 12
-> Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.
Pour n'importe quels nombres x et y, - x * (- y) = xy.
-> Ici, on ne peut pas dire que "le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif." car x et y ne sont pas forcément négatifs donc le signe de xy n'est pas forcément positif (puisqu'il dépend du signe de x et du signe de y).
Du coup, je m'interroge sur ce que dire à l'oral aux élèves pour expliquer qu'il y a plus de "-" devant le produit xy.
Merci pour vos réponses.
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Réponses
tu peux leur dire que -x c'est -1*x et -y c'est -1*y du coup, (-x)*(-y) c'est (-1)*(-1)*xy (par commutativité) donc xy.
Cordialement
Et d’ailleurs $xy$ est une écriture sans « moins », mais peut désigner un nombre négatif.
Autre remarque : $\pi-10$ est négatif mais n’a pas de « moins » devant... et $-1+5$ désigne un nombre positif...
Un « - » devant ou pas, ça caractérise le signe dans les écritures décimales, mais j’ose dire « c’est tout ».
Bon, moi je pense qu’en 4e, il suffit d’envoyer le théorème :
Quels que soient les nombres* $a$ et $b$ :
$(-a)\times (+b)=-(ab)$
$(-a)\times (-b)=ab$
$(+a)\times (+b)=ab$
$(+a)\times (-b)=-(ab)$
J’ai déjà vu utiliser cela tel quel.
L’avantage c’est que le prof s’y réfère à chaque moment opportun.
« Quel est $a$, quel est $b$ dans ton cas ? » Etc.
Les élèves habitués aux lettres trouvent ce truc sobre et simple à comprendre utiliser.
Remarques :
On peut éventuellement enlever les $+$ superflus.
On peut éventuellement enlever les parenthèses du membre de droite « $-ab$ » (ça reste juste et peut faciliter la compréhension).
Ce théorème peut être vu comme un « théorème de simplification d’écriture ».
Par contre c’est bien assez vite de montrer que $a$ peut être négatif et que $-b$ peut être positif.
*positifs ou négatifs, ça n’a aucune importance
@Mathurin : c'est ce que je fais mais je cherchais une phrase à l'oral plutôt que de faire la démonstration à chaque fois.
@Dom : je leur ai donné ce théorème mais là aussi, pour y revenir, plutôt que de dire aux élèves : "C'est la propriété que nous avons vue l'autre fois." (et là, tout le monde se demande "Quelle propriété ?" puisque des propriétés, ce n'est pas ce qui manque en maths... Pas simple pour s'y retrouver).
C'est pourquoi je cherchais un argument à l'oral rapide et efficace.
Cordialement
Cordialement
Cordialement
Aujourd’hui c’est même devenu « moins et moins ça fait plus ? ».
Réponse à donner :
Je ne sais pas, cela dépend de quoi on parle.
Remarque :
Il y a au moins trois cas.
-2-5
-(-5)
-2x(-5)
Remarque : au passage pour le premier cas, ça fait bien « plus » mais ce n’est pas du signe que l’on parle mais de l’opération arithmétique sur les distances à zéro ;-)
Le produit de deux nombres (...) de mêmes signes est positif.
Le produit de deux nombres (...) de signes contraires est négatif.[/large]
J’ai à peu près tout vu (c’est pauvre finalement, c’est pour ça que je me permets de dire ça).
Les phrases écrites en français posent énormément de problèmes, sauf peut-être dans des établissements où la langue est correctement utilisée ou dans des établissements où la lecture est maîtrisée. Désignez-en moi... ? Ça existe ?
Justement, j’ai ajouté *positifs ou négatifs en note de bas de page pour cette raison.
D’une part, les lettres ne posent pas de problème (en commençant l’année avec...), d’autre part, même si l’élève croit que $a$ est forcément positif, il a tort mais ne se trompe pas quand même sur le signe du produit.
Enfin, j’en ai déjà parlé, le caractère universel de la phrase n’est pas compris. Quand on dit « le produit de deux nombres [...] » est-ce un « il existe » ou un « quel que soit » ? C’est très clair pour les matheux, mais pour les non matheux (et ne maîtrisant pas les rudiments de la langue comme 80% des collégiens - au doigt mouillé) ce n’est pas clair du tout.
C’est un peu comme « un carré est un rectangle ».
On préfère un théorème ? Alors un « si ... alors ... » est le bienvenu.
Et attention encore... « si deux nombres sont négatifs alors leur produit est positif » pose encore des problèmes de compréhension par certains qui n’ont pas acquis le fait que c’est universel. Sans parler du mot « produit » qui dérangera même si on l’utilise chaque jour à chaque heure...
Synthèse : un théorème convenable serait « quels que soient les deux nombres, s’ils sont négatifs, alors leur produit est positif ». Mais ça laisse le problème des phrases en français et l’éternel « monsieur j’ai relu l’cours mais j’comprends rien ».
On leur demande de mémoriser 4 règles qui se ressemblent.
Quand on a COMPRIS la logique générale, réciter ces 4 règles, c'est facile. Mais les apprendre et les retenir, sans comprendre pourquoi c'est comme ça, c'est très difficile. Il faut une mémoire extraordinairement efficace.
C'est comme si on vous demandait de mémoriser un poême dans une langue que vous ne comprenez pas.
Il y a en fait une seule règle : -1*-1=1 et il y a des propriétés comme la commutativité, ou bien le fait que -b, c'est plus ou moins un raccourci pour dire en fait (-1)*b
Et les 4 règles données par Dom, elles se déduisent de la seule et unique règle : -1*-1=1.
Et surtout, il faut bien voir que dans a-b ou dans a*(-b), il y a plus ou moins un piège
Si les élèves ont du mal à voir que dans un cas, on est dans le registre addition/soustraction/somme/différence, et dans l'autre, on est dans multiplication/division/produit, alors les questions de "moins par moins donne plus" ... ils vont forcément se tromper.
Mais il n’est pas question de les « apprendre et retenir sans comprendre » dans mon propos.
Bien entendu que tout cela est accompagné de remarques et autres présentations sans parler du travail qui est fait en amont pour que « ces règles » (surtout cette règle) soient quasiment déjà acquises sur des petits exemples.
Il n’est même pas dit de « les mémoriser » comme telles.
Rien que de parler de commutativité, ça n’en donne plus que deux, etc.
Par contre, je persiste, sur tout ceux qui diront « mais j’comprends pas », la lecture de cela parviendra davantage à les éclairer que les phrases en français (qui sont au nombre de deux en général, comme celles de Thierry). Mais ces phrases n’ont aucune efficacité didactique, sauf pour ceux qui les ont déjà acquises. C’est toujours le même problème...
D’ordinaire c’est même le gamin qui reformule en français (le sien) et qui s’exclame « haaaa ! c’est tout ??? ».
Lui, qui était laissé en carafe, au moins on l’aura récupéré et c’est lui qui aura fait marché sa tête.
Au lieu de ça, des profs auront fait apprendre des phrases par cœur contenant les mots « positif, négatif et produit » et avec une chance sur deux d’avoir une phrase fausse...
Cette expression est en effet particulièrement fautive, le mot "et" renvoyant à l'addition.
J'aime bien cette phrase.
C'est effectivement quand on entend cette phrase qu'on peut passer à la suite.
Et qu’il faut garder dans un coin de sa tête qu’Abdallah Géronimo Cohen n’a peut-être rien compris du tout.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
L'appropriation et l'articulation d'un vocabulaire rigoureux est très importants pour un apprentissage solide et durable.
Voici quelques exemples de phrases, à mettre régulièrement à portée de l'analyse des élèves, dès la 5e, pour accompagner les écritures algébriques :
Soustraire un nombre signifie additionner l'opposé de ce nombre. La somme de deux nombres d'un même signe est aussi de ce signe. Le produit de deux nombres d'un même signe est positif. Le produit de deux nombres de signes contraire est négatif. L'opposé d'une somme est la somme des opposés de ses termes. L'opposé d'un nombre est du signe contraire de ce nombre. Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs (au moins) est nul etc.
Dans le même ordre d'idée, dans la résolution d'équations ou inéquations par équivalence, on ne fait pas "passer de l'autre côté", on additionne un même nombre (à préciser) aux deux membres de l'équation ou de l'inéquation en vue d'obtenir une équation ou une inéquation équivalente plus simple à résoudre.
En TG spé maths j’utilise allègrement le « passer de l’autre côté » et « moins par moins ça fait plus ». Au bout d’un moment les automatismes de calcul sont censés être maîtrisés et on n’en est plus là il faut aller bcp plus vite. En revanche au collège je suis d’accord que ce genre d’abus est à proscrire puisque ledit automatisme est loin d’être installé.
Sinon pas de « si et seulement si » au collège, d’autant que cette expression est compliqué à comprendre pour les élèves puisqu’il faut ensuite expliciter sa signification à plusieurs reprises avec le « si » qui se ramène à la condition suffisante et le « seulement si » qui se ramène à la condition nécessaire avec des élèves qui ont de telles carences en français que c’est loin d’être évident. Si c’est pour employer cette expression parce qu’elle est juste mathématiquement et parce que c’est comme ça et pas autrement ça n’a absolument aucun intérêt. D’ailleurs aucun de mes profs de lycées ne nous l’a jamais expliqué, on l’utilisait par mimétisme comme des singes savants parce que le prof l’utilisait, ni plus ni moins.
Cela dit je ne parle que du Ssi en cinquième (qui d’ailleurs est totalement interdit au collège...) Pour le reste je suis d’accord avec toi sur l’importance de la verbalisation sinon je ne m’escrimerais pas à faire le lien avec le français justement.