Signe d'un produit et calcul littéral

On s’en fiche en fait qu’il y ait ou non un « moins ».
Et d’ailleurs $xy$ est une écriture sans « moins », mais peut désigner un nombre négatif.
Autre remarque : $\pi-10$ est négatif mais n’a pas de « moins » devant... et $-1+5$ désigne un nombre positif...
Un « - » devant ou pas, ça caractérise le signe dans les écritures décimales, mais j’ose dire « c’est tout ».

Bon, moi je pense qu’en 4e, il suffit d’envoyer le théorème :
Quels que soient les nombres* $a$ et $b$ :
$(-a)\times (+b)=-(ab)$
$(-a)\times (-b)=ab$
$(+a)\times (+b)=ab$
$(+a)\times (-b)=-(ab)$

J’ai déjà vu utiliser cela tel quel.
L’avantage c’est que le prof s’y réfère à chaque moment opportun.
« Quel est $a$, quel est $b$ dans ton cas ? » Etc.
Les élèves habitués aux lettres trouvent ce truc sobre et simple à comprendre utiliser.

Remarques :
On peut éventuellement enlever les $+$ superflus.
On peut éventuellement enlever les parenthèses du membre de droite « $-ab$ » (ça reste juste et peut faciliter la compréhension).
Ce théorème peut être vu comme un « théorème de simplification d’écriture ».


Par contre c’est bien assez vite de montrer que $a$ peut être négatif et que $-b$ peut être positif.

*positifs ou négatifs, ça n’a aucune importance

Bizarrement, je ne me suis jamais posé la question quand j'étais élève, car la règle était "plus par plus égale plus,...". Pas de distinction entre le + des écritures des nombres et celui, écrit ou sous-entendu des lettres désignant des valeurs.

Cordialement

Et bien rappeler aux élèves dans quels cas la "règle" du "moins par moins égale plus" est valable car parfois on entend des -3-5=8 car "moins par moins donne plus"...8-)

Oui. C’est tout le problème.
Aujourd’hui c’est même devenu « moins et moins ça fait plus ? ».

Réponse à donner :
Je ne sais pas, cela dépend de quoi on parle.

Remarque :
Il y a au moins trois cas.

-2-5
-(-5)
-2x(-5)

Remarque : au passage pour le premier cas, ça fait bien « plus » mais ce n’est pas du signe que l’on parle mais de l’opération arithmétique sur les distances à zéro ;-)

Et pourtant...
J’ai à peu près tout vu (c’est pauvre finalement, c’est pour ça que je me permets de dire ça).
Les phrases écrites en français posent énormément de problèmes, sauf peut-être dans des établissements où la langue est correctement utilisée ou dans des établissements où la lecture est maîtrisée. Désignez-en moi... ? Ça existe ?

Justement, j’ai ajouté *positifs ou négatifs en note de bas de page pour cette raison.
D’une part, les lettres ne posent pas de problème (en commençant l’année avec...), d’autre part, même si l’élève croit que $a$ est forcément positif, il a tort mais ne se trompe pas quand même sur le signe du produit.
Enfin, j’en ai déjà parlé, le caractère universel de la phrase n’est pas compris. Quand on dit « le produit de deux nombres [...] » est-ce un « il existe » ou un « quel que soit » ? C’est très clair pour les matheux, mais pour les non matheux (et ne maîtrisant pas les rudiments de la langue comme 80% des collégiens - au doigt mouillé) ce n’est pas clair du tout.
C’est un peu comme « un carré est un rectangle ».
On préfère un théorème ? Alors un « si ... alors ... » est le bienvenu.
Et attention encore... « si deux nombres sont négatifs alors leur produit est positif » pose encore des problèmes de compréhension par certains qui n’ont pas acquis le fait que c’est universel. Sans parler du mot « produit » qui dérangera même si on l’utilise chaque jour à chaque heure...
Synthèse : un théorème convenable serait « quels que soient les deux nombres, s’ils sont négatifs, alors leur produit est positif ». Mais ça laisse le problème des phrases en français et l’éternel « monsieur j’ai relu l’cours mais j’comprends rien ».

Tu as raison.

Mais il n’est pas question de les « apprendre et retenir sans comprendre » dans mon propos.
Bien entendu que tout cela est accompagné de remarques et autres présentations sans parler du travail qui est fait en amont pour que « ces règles » (surtout cette règle) soient quasiment déjà acquises sur des petits exemples.
Il n’est même pas dit de « les mémoriser » comme telles.

Rien que de parler de commutativité, ça n’en donne plus que deux, etc.

Par contre, je persiste, sur tout ceux qui diront « mais j’comprends pas », la lecture de cela parviendra davantage à les éclairer que les phrases en français (qui sont au nombre de deux en général, comme celles de Thierry). Mais ces phrases n’ont aucune efficacité didactique, sauf pour ceux qui les ont déjà acquises. C’est toujours le même problème...

D’ordinaire c’est même le gamin qui reformule en français (le sien) et qui s’exclame « haaaa ! c’est tout ??? ».
Lui, qui était laissé en carafe, au moins on l’aura récupéré et c’est lui qui aura fait marché sa tête.
Au lieu de ça, des profs auront fait apprendre des phrases par cœur contenant les mots « positif, négatif et produit » et avec une chance sur deux d’avoir une phrase fausse...

Oui et c’est comme ça qu’on l’entend les 99% des fois.

lourrran a écrit:

D’ordinaire c’est même le gamin qui reformule en français (le sien) et qui s’exclame « haaaa ! c’est tout ? »
J'aime bien cette phrase.
C'est effectivement quand on entend cette phrase qu'on peut passer à la suite.

Et qu’il faut garder dans un coin de sa tête qu’Abdallah Géronimo Cohen n’a peut-être rien compris du tout.

C’est pas faux.

Tout dépend du niveau auquel on se place.

En TG spé maths j’utilise allègrement le « passer de l’autre côté » et « moins par moins ça fait plus ». Au bout d’un moment les automatismes de calcul sont censés être maîtrisés et on n’en est plus là il faut aller bcp plus vite. En revanche au collège je suis d’accord que ce genre d’abus est à proscrire puisque ledit automatisme est loin d’être installé.

Sinon pas de « si et seulement si » au collège, d’autant que cette expression est compliqué à comprendre pour les élèves puisqu’il faut ensuite expliciter sa signification à plusieurs reprises avec le « si » qui se ramène à la condition suffisante et le « seulement si » qui se ramène à la condition nécessaire avec des élèves qui ont de telles carences en français que c’est loin d’être évident. Si c’est pour employer cette expression parce qu’elle est juste mathématiquement et parce que c’est comme ça et pas autrement ça n’a absolument aucun intérêt. D’ailleurs aucun de mes profs de lycées ne nous l’a jamais expliqué, on l’utilisait par mimétisme comme des singes savants parce que le prof l’utilisait, ni plus ni moins.

Ok alors utilise le Ssi dès la 5ème si tu y tiens. Je trouve ça absurde quand je vois déjà à quel point les secondes ont du mal à comprendre cela (et je dis bien en insistant sur sa signification profonde en lien avec la CN et la CS). On pourrait espérer que ce soit compris en seconde avec trois ans de plus d’école (et pas seulement de maths...), en cinquième c’est complètement déraisonnable. Les élèves n’ont pas que des cours de maths mais aussi des cours de français. Employer un vocabulaire trop abstrait pour eux à un moment de la scolarité n’a aucun intérêt.

Cela dit je ne parle que du Ssi en cinquième (qui d’ailleurs est totalement interdit au collège...) Pour le reste je suis d’accord avec toi sur l’importance de la verbalisation sinon je ne m’escrimerais pas à faire le lien avec le français justement.

L’expression ’’parler comme un natif’’ ou ’’avoir le niveau d’un natif’’ ne veut pas dire grand chose quand on voit le niveau de français de certains élèves français avec 500 mots de vocabulaire au plus. Un ’’natif’’ peut avoir un niveau allant de B1 à C2.