Expliquer un calcul de probabilités

Avec les patates (diagrammes de Venn). Une prob "est une aire".

PS. et pour les prob conditionnelles on voit bien ce qui se passe.

Bonjour Bulledesavon.

Peut-être commencer par le commencement : Si on teste toute la population, 20 % des testés sont positifs, et 95% des testés positifs sont effectivement malades. Quelle est la proportion des malades ?
Si un élève n'est pas capable de traiter cette question (pas encore de probabilités) ne serait-ce qu'en inventant un effectif pour la population (par exemple 100 millions, donc 20 millions de positifs, ... ) il aura de fortes difficultés avec les probabilités, quoiqu'on explique.
Deuxième étape : On prend un individu au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit positif (20 "chances" sur 100) ? Qu'il soit malade ? On prend maintenant un testé positif au hasard; quelle est la probabilité qu'il soit malade ?
Troisième étape : On prend 500 personnes au hasard dans la population. A combien peut-on s'attendre de positifs au test ? Et là, si un élève te dit : "on a pris au hasard, il pourrait n'y avoir aucun positif", il a tout à fait raison !! Tu es condamné à faire la théorie de l'échantillonnage et de justifier par "plus grande vraisemblance" le fait d'estimer le pourcentage de positifs dans la population par celui trouvé dans l'échantillon.
Comme quoi, la difficulté que tu signales est un vrai problème épistémologique, et ce que tu dis a été longtemps refusé par les statisticiens (voir "La politique des grands nombres" d'Alain Desrosières), entre autres aux dix-huitième et dix-neuvième siècle.

C'est un joli thème, la statistique médicale, mais qui demande des connaissances sérieuses sur les bases des probas et des stats.

Cordialement.

Autant malgré la micro polémique de l’arbre et du produit des probabilités du chemin, chacun sait trouver ces probabilités conditionnelles « directes ».
Autant avec l’arbre ou le tableau, ce n’est pas simple du tout de convaincre au sujet de ces probabilités conditionnelles « indirectes ».

J’espère être compris dans mes qualificatifs « directes » et « indirectes ».

La "probabilité de $A$ sachant $B$", notée $P(A|B)$, quand un cadre probabiliste est donné avec une mesure de probabilité $P$, ne signifie pas autre chose que $\frac{P(A\cap }{P(B)}$ (pourvu que $P(B)\neq 0$).

Attention à l'idée qu'on puisse intuiter la valeur de $P(A|B)$ par des considérations naïves sur l'expérience en cours; cette idée est la source de tous les attrape-nigaud usuels des probas (dans lesquels des mathématiciens parfois muni de titres -Phd, diplôme d'ingénieur et j'en passe- se vautrent): Monty-Hall, belle au bois dormant, enveloppe magique, un directeur des ressources humaines espiègle pourrait en inventer beaucoup d'autres pour rouler un candidat dans la farine.

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Pour les lecteurs connaissant un peu les probas post-lycée (L1-2-3 ? M1?), l'emploi de l'expression "sachant $B$" peut être attribuée au phénomène suivant:

Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé, $(F,\mathcal $ un espace mesurable, $(X_n)_{n\in \N}$ une famille de variables aléatoires (i.e. d'applications mesurables de $(\Omega,\mathcal A)$ dans $(F,\mathcal $) indépendantes et identiquement distribuées pour $P$.
Soit $C\in \mathcal B$ tel que $P(X_1\in C)\neq 0$.

On pose $\tau_0:=0$ et pour tout entier $n$, $\tau_{n+1}:=\inf \{k\geq 1+\tau_n \mid X_{\tau_n} \in C\}$.
Alors:
(1) les $(\tau_n)_{n\in \N}$ constituent une famille strictement croissante de temps d'arrêt adaptés à la filtration $\left (\sigma(X_1,...,X_n) \right )_{n\geq 0}$ (l'événement $\tau_p=q$ s'exprime à l'aide des $X_1,..,X_q$ pour tous $p,q$)
(2) les variables aléatoires $n\mapsto X_{\tau_n}$ sont indépendantes, identiquement distribuées, à valeurs dans $C$ muni de la tribu trace (des éléments de $\mathcal B$ contenus dans $C$) et de loi $D\mapsto \frac{Q(D\cap C)}{Q(C)} = Q(D|C)$ où $Q$ est l'image directe de $P$ par $X_1$ ($_i$ avec $i$ quelconque).

Qu'est-ce que ça veut dire? Vous avez un phénomène où une suite "aléatoire" $(x_k)_{1\leq k \leq n}$ est issue de l'expérience, la phrase "la probabilité qu'un terme appartienne à $W$ sachant qu'il appartient à $V$" fait juste référence à la proportion de termes de la suite qui sont dans $W$ parmi ceux qui sont déjà dans $V$, après qu'on a fait abstraction des autres. Les résultats ci-dessus disent juste qu'on peut appliquer à cette suite extraite les outils des probas pour les suites de VA iid, pourvu que la suite initiale en soit une. Cela dit vous avez déjà une modélisation probabiliste (i.e. un cadre formel) qui est livré et vous ne faites pas comme si la loi $Q$ se devinait par examen superficiel de l'expérience et de ses symétries "apparentes" (dans Monty Hall ce n'est pas parce que les deux portes sont identiques du point de vue d'un observateur qui prend le jeu en cours de route que vous pouvez décréter que P(gain| telle porte)=1/2).

Pour ma part je trouve que l'arbre n'aide en rien les élèves pour la distinction entre "inter" et une probabilité conditionnelle lorsque les élèves n'ont pas vu la formule de la probabilité conditionnelle. Je pense qu'il y a seulement illusion de compréhension car les énoncés précisent le plus souvent "compléter cet arbre" ou "on pourra utiliser un arbre" et là l'élève balance un peu les probabilités données dans l'énoncé sans trop savoir ce qu'il fait en réalité et même chose si on demande de faire ou de compléter un tableau. Demandez par exemple à un élève qui n'a pas vu la formule de demander "c'est quoi cette probabilité sur cette branche (correspondant à P(B sachant A) ) et une bonne partie vous répondront "ben c'est P(B)" ou P(A inter .

Personnellement je pose des questions en termes de valeurs de probabilités en jouant avec cette applet https://www.geogebra.org/m/rrak7jny et en laissant la description de l'univers des 10 issues visible au tableau à tout moment. Rien de plus simple ensuite pour les élèves que de trouver et d'écrire toutes les probabilités conditionnelles (ou non) correspondantes concernant les événements "vert", "bleu", "rond" et "carré". En poussant un peu, on peut même les faire trouver d'eux-même $P_A(B)=\frac{P(A \cap }{P(A)}$.

C'était le problème du premier test de dépistage du Sida en 1983 ou 84 : Inutilisable en dehors des communautés où la prévalence n'était pas quasi nulle. Et on continue à faire le dépistage avec deux tests différents pour accroître la spécificité.

Cordialement.