Centre de symétrie

1)
Attention. Il faut ajouter « convexe » ou « non croisé ».

Remarque : quelle est la définition choisie de « parallélogramme » ?

2)
Difficile je pense. Je note le segment [AB].
A-t-on « médiatrice = ensemble des points équidistants » ?
Je cherche à commencer... [AB] a pour image [AB] donc les deux points A’ et B’ sont sur [AB].

Une question sur ton cours. Comment définis-tu un parallélogramme dans le cas dégénéré où les sommets sont alignés ? Voire très dégénéré du genre $ABBA$ (j'ai l'impression que les "côtés" opposés $AA$ et $BB$ ne sont pas très parallèles). Et en plus, s'il est dégénéré, les diagonales ont plus d'un point d'intersection. Du coup, plutôt que de dire "se coupent en leur milieu", autant dire "ont le même milieu".

Mais qui se préoccupent des cas dégénérés ?... Et lorsque l'on définit une translation transformant $A$ en $B$, il suffit de ne pas trop se préoccuper de l'image des points de la droite $(AB)$...

D'ailleurs, un exo intéressant consiste à démontrer que si les côtés d'un quadrilatère non aplati sont deux à deux parallèles, alors les diagonales ont le même milieu et réciproquement (et il est inutile d'ajouter ici une hypothèse de convexité sur le quadrilatère).

2)
Que ce soit la définition ou une propriété caractéristique n’est pas grave.
Admettons pour commencer que cette droite d coupe le segment [AB].
On note I le point d’intersection.
Alors BI=B’I et AI=A’I.
Comme les points A, I, B sont alignés et comme A’ et B’ sont sur [AB], on a
Si A’ n’est pas A alors A’I+IB’=AB et pour que B’ soit sur le segment [AB], on doit avoir A’=B puis B’=A.
L’idée principale de mon blabla est la suivante : [A’B’] est inclus dans [AB] et a la même taille donc les extrémités sont forcements les images des extrémités.
Donc c’est la médiatrice : (admis : en effet pour un point M de d, puisque la symétrie échange A et B, alors MA=MB et donc M est sur la médiatrice du segment).

Si A’ =A alors B’=B et donc (admis : les points fixes sont ceux de l’axe de symétrie) c’est la droite (AB)



Remarque : quelque chose qu’on admet tout le temps sans le dire.
Si deux objets sont symétriques (axiale ou centrale) alors ils sont de même nature : un droite devient une droite, un segment devient un segment, une maison devient une maison, etc.
Avec la définition empirique : quand on plie (ou fait un demi tour) ça se superpose, c’est évident.
Avec la définition mathématique : l’axe est la médiatrice du segment de [MM’] ou le centre est le milieu de [MM’], c’est moins évident.

J’ai rédigé cela « à haute voix », à la volée donc ce n’est pas très propre.

Edit : en fait, si ce que j'ai écrit fonctionne, il n'est pas la peine de supposer "une droite qui n'est pas une des deux déjà trouvées", on trouve justement deux solutions possibles. Une qui fixe A et B, une autre qui échange A et B.

Merci pour ce partage.

Intéressant l'exercice 4 sur l'inégalité triangulaire (initiation). On a même envie de le proposer avec des bâtons (crayons ?).

Remarque : j'ai édité le message précédent en ajoutant une remarque en rouge.

Merci Xavier du partage.
As-tu le chapitre sur les fractions en Sixième ? Je demande car tu sembles vouloir tout justifier.

Pourrais-tu me donner les références ? Certaines choses m'intéressent dans ce bouquin.

Ah ! Je viens de me réveiller !

e.v.

J’ai l’impression que c’est le sien, peut-être non édité, non ?
Il dit « mon cours ».
Il va nous dire cela tantôt :-)

Il me semble qu'il y a déjà eu des discussions sur les parallélogrammes. La définition normale et naturelle, c'est par les côtés opposés parallèles. Enfin, c'est conforme à l'étymologie. Quand on introduit les vecteurs, on peut justifier de remplacer cette définition par une autre (par les milieux, ce qui était une caractérisation) par le fait d'éliminer la difficulté ou le cas particulier des parallélogrammes aplatis.

Un peu comme on introduirait le produit scalaire avec le projeté orthogonal, en montrant la formule avec les coordonnées comme une caractérisation, et plus tard on dirait : "Reprenons tout ça", on redéfinirait le produit scalaire avec les coordonnées pour évacuer la question du vecteur nul orthogonal à un autre. Ainsi la définition plus abstraite se trouve justifiée au lieu de tomber du ciel.