Fractions : écriture française ou non ?
Bonjour,
La question Écrire $7\frac{3}{4}$, $7+\frac{3}{4}$ ou $\frac{31}{4}$ ? a été soulevé plusieurs fois. Comme par exemple ici et ici.
Vous avez appelé cette notation "fraction anglo-saxonne", mais en réalité c'est plutôt la notation française $7+\frac{3}{4}$ qui est atypique. Ce n'est pas que les anglais qui écrivent $7\frac{3}{4}$ à la place de $7+\frac{3}{4}$. Mais aussi les pays de l'Europe de l'est, l'Allemagne, l'Espagne, même nos amis Québécois ! Je ne serais pas étonnée si nos voisins francophones, Belgique et Suisse, enseignent aussi cette notation.
Je lance donc une discussion:
1) D'où vient cette notation?
2) Les pays l'enseignent par l'habitude ou bien il y a un réel intérêt pédagogique?
3) Est-ce que cela crée une confusion chez les élèves?
4) Est-ce que cette notation est utile?
5) S'il faut enseigner cette notation, il faut le faire à quel niveau?
S'il vous plait, ne vous éloignez pas du sujet (:D
Je ne peux guère répondre à la question 1), mais je peux apporter quelques réflexions sur les autres questions en tant que l'élève qui a appris à utiliser cette notation et en tant que le professeur qui y a été confronté.
Les fractions ne sont presque pas enseignées à l'école russe. Il y a juste la notion de partage. Il n'est pas attendu que l'élève comprend ce que sont les nombres à l'école. Donc l'enseignement rigoureux des nombres commence au collège. Les nombres sont appris par bloc d'un coup (pas de spiralage). Les fractions (nombre rationnels positifs) sont enseignées soit deuxième moitié 6e ou le tout début de 5e. Ce chapitre est toujours précédé du chapitre sur les nombres premiers, critères de divisibilité, décomposition en facteur premier, PGCD et PPCM. Les quelques manuels étrangers que j'ai vu suivent la même logique: avant les fractions on enseigne d'abord les outils pour manipuler les fractions.
Les fractions mixtes ou les nombres mixtes arrivent à la fin du chapitre sur les fractions:
1) Fractions mixtes: définition, comparaison des fractions mixtes
2) Addition des fractions mixtes
3) Soustraction des fractions mixtes
4) Multiplication et division des fractions mixtes
Cette écriture est considérée comme quelque chose de standardisée, une notation qu'on attend de l'élève en tant que réponse. Bref, si l'élève répond $\frac{62}{8}$ ou $\frac{31}{4}$, il aura zéro points.
En tant que l'élève cette notation ne m'a jamais posée de problème. Étant donné que le calcul littéral n'était pas encore enseigné, nous n'avons pas vu des situations où le signe $\times$ a été enlevé. Donc aucune confusion n'était possible. Si une fraction était multipliée par un entier, il y avait toujours le signe $\times$ ou plutôt $\cdot$. En tant que l'élève je vois ces avantages là:
1) facile à comparer
2) facile à avoir de tête une valeur approchée
3) facile et rapide de les additionner, de les positionner sur l'axe gradué.
Je suis mal placée pour parler de désavantages. J'ai un léger problème de dyslexie, il m'arrive de voir $000$ et $b$ alors qu'il est écrit $0000$ et $a$. Me connaissant, j'évitais cette écriture à l'intérieur des exercices. Cependant, il je ne faisais pas d'erreur avec ces fractions mixtes (aucun souvenir), alors que je me trompais du signe ou de lettre assez souvent.
Dans la vie de tout les jours je n'utilise jamais cette notation. Mais bon dans la vie de tous les jours je ne fais jamais de division euclidienne avec le reste... ce n'est pas pour autant qu'il ne faut pas l'apprendre.
En tant que le professeur, je trouve intéressant l'utilisation de cette écriture. Je trouve que cela permet plus facilement de comprendre le concept du nombre rationnel, de savoir rapidement la grandeur du nombre ($52 \frac{5}{7}$ est quelque part entre $52$ et $53$). Les élèves (et les étudiants), que j'ai eu, avaient un besoin d'être rassurés en transformant la fraction en écriture décimale: un nombre plus facilement interprétable pour eux. Peut-être la notation $52 \frac{5}{7}$ à la place de $\frac{369}{7}$ leur auraient mieux convenu.
Un deuxième avantage est la facilité d'écriture. Comme dans le cas de $a \times b \times c = abc$, il est plus commode d'écrire $52 \frac{5}{7}$. Je me suis rendue compte en utilisant des exercices étrangers où la fraction mixte figure souvent. Il a fallu que je traduis ces exercices en ajoutant le signe $+$ et les parenthèses$. L'écriture devient beaucoup plus lourde, le risque d'erreur augmente. Pour ce rendre compte voilà ci-joint les exercices à la fin du chapitre sur les fractions (6e).
La dernière question: quand l'enseigner? Comme pour tous les nombres, je pense que la chose doit être bouclée à la fin de 5e au plus tard. Donc à la fin de 5e les élèves doivent bien maîtriser les nombres entiers, décimaux, rationnels et irrationnel, ainsi que le développement décimal. Vu le nombre d'heures de maths à l'école français, il est possible de commencer à l'école. Mais bon... je n'ai d'un avis arrêté.
Et vous, vous en pensez quoi?
La question Écrire $7\frac{3}{4}$, $7+\frac{3}{4}$ ou $\frac{31}{4}$ ? a été soulevé plusieurs fois. Comme par exemple ici et ici.
Vous avez appelé cette notation "fraction anglo-saxonne", mais en réalité c'est plutôt la notation française $7+\frac{3}{4}$ qui est atypique. Ce n'est pas que les anglais qui écrivent $7\frac{3}{4}$ à la place de $7+\frac{3}{4}$. Mais aussi les pays de l'Europe de l'est, l'Allemagne, l'Espagne, même nos amis Québécois ! Je ne serais pas étonnée si nos voisins francophones, Belgique et Suisse, enseignent aussi cette notation.
Je lance donc une discussion:
1) D'où vient cette notation?
2) Les pays l'enseignent par l'habitude ou bien il y a un réel intérêt pédagogique?
3) Est-ce que cela crée une confusion chez les élèves?
4) Est-ce que cette notation est utile?
5) S'il faut enseigner cette notation, il faut le faire à quel niveau?
S'il vous plait, ne vous éloignez pas du sujet (:D
Je ne peux guère répondre à la question 1), mais je peux apporter quelques réflexions sur les autres questions en tant que l'élève qui a appris à utiliser cette notation et en tant que le professeur qui y a été confronté.
Les fractions ne sont presque pas enseignées à l'école russe. Il y a juste la notion de partage. Il n'est pas attendu que l'élève comprend ce que sont les nombres à l'école. Donc l'enseignement rigoureux des nombres commence au collège. Les nombres sont appris par bloc d'un coup (pas de spiralage). Les fractions (nombre rationnels positifs) sont enseignées soit deuxième moitié 6e ou le tout début de 5e. Ce chapitre est toujours précédé du chapitre sur les nombres premiers, critères de divisibilité, décomposition en facteur premier, PGCD et PPCM. Les quelques manuels étrangers que j'ai vu suivent la même logique: avant les fractions on enseigne d'abord les outils pour manipuler les fractions.
Les fractions mixtes ou les nombres mixtes arrivent à la fin du chapitre sur les fractions:
1) Fractions mixtes: définition, comparaison des fractions mixtes
2) Addition des fractions mixtes
3) Soustraction des fractions mixtes
4) Multiplication et division des fractions mixtes
Cette écriture est considérée comme quelque chose de standardisée, une notation qu'on attend de l'élève en tant que réponse. Bref, si l'élève répond $\frac{62}{8}$ ou $\frac{31}{4}$, il aura zéro points.
En tant que l'élève cette notation ne m'a jamais posée de problème. Étant donné que le calcul littéral n'était pas encore enseigné, nous n'avons pas vu des situations où le signe $\times$ a été enlevé. Donc aucune confusion n'était possible. Si une fraction était multipliée par un entier, il y avait toujours le signe $\times$ ou plutôt $\cdot$. En tant que l'élève je vois ces avantages là:
1) facile à comparer
2) facile à avoir de tête une valeur approchée
3) facile et rapide de les additionner, de les positionner sur l'axe gradué.
Je suis mal placée pour parler de désavantages. J'ai un léger problème de dyslexie, il m'arrive de voir $000$ et $b$ alors qu'il est écrit $0000$ et $a$. Me connaissant, j'évitais cette écriture à l'intérieur des exercices. Cependant, il je ne faisais pas d'erreur avec ces fractions mixtes (aucun souvenir), alors que je me trompais du signe ou de lettre assez souvent.
Dans la vie de tout les jours je n'utilise jamais cette notation. Mais bon dans la vie de tous les jours je ne fais jamais de division euclidienne avec le reste... ce n'est pas pour autant qu'il ne faut pas l'apprendre.
En tant que le professeur, je trouve intéressant l'utilisation de cette écriture. Je trouve que cela permet plus facilement de comprendre le concept du nombre rationnel, de savoir rapidement la grandeur du nombre ($52 \frac{5}{7}$ est quelque part entre $52$ et $53$). Les élèves (et les étudiants), que j'ai eu, avaient un besoin d'être rassurés en transformant la fraction en écriture décimale: un nombre plus facilement interprétable pour eux. Peut-être la notation $52 \frac{5}{7}$ à la place de $\frac{369}{7}$ leur auraient mieux convenu.
Un deuxième avantage est la facilité d'écriture. Comme dans le cas de $a \times b \times c = abc$, il est plus commode d'écrire $52 \frac{5}{7}$. Je me suis rendue compte en utilisant des exercices étrangers où la fraction mixte figure souvent. Il a fallu que je traduis ces exercices en ajoutant le signe $+$ et les parenthèses$. L'écriture devient beaucoup plus lourde, le risque d'erreur augmente. Pour ce rendre compte voilà ci-joint les exercices à la fin du chapitre sur les fractions (6e).
La dernière question: quand l'enseigner? Comme pour tous les nombres, je pense que la chose doit être bouclée à la fin de 5e au plus tard. Donc à la fin de 5e les élèves doivent bien maîtriser les nombres entiers, décimaux, rationnels et irrationnel, ainsi que le développement décimal. Vu le nombre d'heures de maths à l'école français, il est possible de commencer à l'école. Mais bon... je n'ai d'un avis arrêté.
Et vous, vous en pensez quoi?
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Réponses
Cette représentation présente un avantage pour aborder l'addition de fractions avec une bonne idée quantitative de la somme et surtout elle met clairement en évidence qu'il s'agit d'un nombre, ici compris entre 5 et 6.
Cependant, la construction mathématique du corps des fractions d'un anneau intègre (ici ($\mathbb{Q}, +, \times)$ à partir de $(\mathbb{Z},+,\times)$) repose essentiellement sur la multiplication et la notation 5[small]1/3[/small] est moins pratique pour faire une multiplication que la notation mathématiquement plus simple 16/3.
Malheureusement, j'ai constaté qu'extrêmement peu d'élèves de 3e savent répondre à la question combien fait $7 \times \frac{1}{7}$ ? En effet, tout l'intérêt de la construction du corps $\mathbb{Q}$ est d'avoir des inverses pour tout nombre non nul mais ce concept, mathématiquement essentiel, ne trouve pas son public au collège. En insistant un peu, on peut faire remarquer aux élèves que 7 est égal à $\frac{7}{1}$ et en appliquant, comme une recette de cuisine, la technique de multiplication de fractions vue en 4e, il arrivent à 7/7 qui pour certains vaut 0...
Le fait est que la majorité des élèves de fin de cycle 4 est extrêmement mal à l'aise avec les fractions. Ceux de début de cycle 4 en ont carrément peur ! Ce qui est certain c'est qu'il y a un réel problème et pour ne rien arranger, il semblerait que la maîtrise du calcul fractionnaire soit un déterminant de la réussite future des apprentissages mathématiques.
Et parmi ceux qui le savent, très peu encore savent que ça sort d’une définition et non pas d’un « calcul ».
Par contre $132-132$ ne pose aucun problème. Il faut se poser des questions...
J’explicite le problème :
À la question « Que désigne $\frac{a}{b}$ ? », très peu savent répondre.
Et parmi les réponses on entend bien sûr : « Une fraction » (c’est quoi ?), « $a$ sur $b$ » (c’est quoi ?), « un partage » (c’est quoi ?) et au mieux « $a$ divisé par $b$ » mais ces derniers ne savent pas définir ce qu’est ce truc.
Pour cette notation, j’ai du mal, notamment quand je vais voir $\displaystyle 7\frac{1}{7}$... je ne suis pas sûr de ne pas dire que c’est $1$.
Je ne comprends toujours pas pourquoi on a peur d’écrire un $+$.
Quand on travaille avec des axes et des abscisses, c’est assez commode. Le $+$ va dans le sens positif et le $-$ dans le sens négatif.
Sur l’intérêt de cette notation j’avoue que je ne sais pas trop. Intéressante certainement, indispensable je ne sais pas.
Sur la confusion possible sur cette notation j’ai envie de dire que cela dépend: si on l’habitude de constamment manier cette notation je pense que cela ne posera pas de problèmes mais dans le cas contraire le risque est grand.
Sur le moment de voir cette notation en France je pense que le bon moment serait en sixième juste après avoir vu la division euclidienne.
J’avais lu après coup tes conseils sur l’apprentissage des fractions et je suis globalement d’accord en particulier sur le fait de tout ’’balancer ’’ dès la sixième et non pas d’éparpiller l’apprentissage sur plusieurs années au collège et surtout de pratiquer très régulièrement.
Je me pose des questions sur tes points 7) et 8) que tu mentionnais:
’’7) décomposition en facteurs premiers + algo qui permet de le faire
8) PPCM et PGCD (TRES important!)’’
Concrètement comment un élève russe fait des calculs comme $\frac{7}{32}$+$\frac{11}{24}$ rapidement et facilement? (sans calculatrice bien entendu!)
Écrire la somme de 7 et de $\frac{3}{4}$ en mettant un "+" entre les deux est atypique en mathématiques ? ;-)
Ça ajoute l’eau au moulin de ceux qui pense que $\frac{a}{b}$ ne désigne pas un nombre.
En collège, le $+$ s’utilise comme un signe mais essentiellement pour l’addition de deux nombres.
S’il est atypique d’ajouter un nombre à un autre...
Au fait, que dites vous de :
$\displaystyle \frac{21}{7}$ $\frac{5}{7}$
Ça vous plait d’utiliser « les bonnes notations intuitives » ?
Quand j'écris 163, tout le monde voit bien des signes PLUS : une centaine PLUS 6 dizaines PLUS 3 unités.
Continuer dans cette logique en disant $163\frac{3}{4}$, c'est une centaine PLUS 6 dizaines PLUS 3 unités PLUS 3 quarts-d'unité, c'est relativement logique, et le symbole + n'est vraiment pas indispensable dans cette lecture.
Ni indispensable, ni même utile.
Je m'intéresse à l'enfant jusqu'à 12 ou 13 ans.
Je ne m'intéresse pas à le préparer à ce qu'il lira plus tard : $4y$ , c'est $4$ multiplié par $y$
-- Schnoebelen, Philippe
L’écriture décimale, oui, c’est spécial mais ça ne gêne personne telle une langue maternelle.
Dès qu’on cache « pour simplifier », je me méfie... et m’interroge :-S
Sur la remarque sur les unités : c’est encore un $\times$.
À la limite, l’unité peut être le $tiers$ et on aurait une notation comme pour les $mètres$ : $7 \ \frac{.}{3}$.
M’enfin...
Ceci n'est pas un objectif de l'enseignement secondaire. :-P De nombreux pays ont essayé d'enseigner les maths modernes, aucun n'a réussi. On peut considéré ici que la notation $5\frac{1}{3}$ est basée sur une autre axiomatique que la construction du corps des fractions. On enseigne bien la géométrie Euclidienne, qui est pourtant old school. De tout façon pour faire des multiplications il faut transformer la fraction mixte en ${16}{3}$.
Etant donné le programme, les repères de progressions et l'utilisation fréquente de la calculatrice, il est étonnant qu'il reste encore des élèves qui savent le faire. A mon avis ils ont bénéficié d'un bon enseignement qui ne suit pas le programme.
Il faut avoir des bases solides en maths et un niveau au moins le lycée pour comprendre ce que est un corps et pourquoi avoir des inverses c'est essentiel. En vouloir tout enseigner tôt, on entre dans un cercle vicieux: on donne des définitions en utilisant les notions que les élèves n'ont pas encore étudiées... et donc les élèves ne comprennent rien. On s'attarde sur cette définition, on passe du temps à expliquer, manipuler etc: perte du temps avec peu d'efficacité. Comme le temps est limité, nous n'avons plus de temps pour faire les bases... et l'élève passe au niveau suivant avec des lacunes. Ces lacunes les empêcheront de comprendre d'autres concepts. Et ainsi de suite.
Heu... non. Pour moi c'est la définition des fractions, on commence par cela: un ensemble des fractions (rationnels positifs) inclut les entiers naturels. Je ne vois pas comment on peut zapper cette étape.
Quand on enfonce dans le crâne que le seul nombre $u$ tel que $bu=a$ ($b$ non nul) est $\frac{a}{b}$.
Une grande partie est gagnée. C’est un préalable.
Même en fin de 6e c’est jouable (je propose un truc plus simple à essayer en 6e, plus loin)
On a tout de suite, et c’en est presque ludique : (mettre des carrés au lieu des lettres si on veut)
$\frac{a}{1}$ est le nombre $\square$ tel que $ 1 \times \square =a$.
$\frac{a}{a}$ est le nombre $\square$ tel que $ a \times \square =a$.
$\frac{0}{a}$ est le nombre $\square$ tel que $ 0 \times \square =a$.
Remarque : en fin de 6e, je pense qu’on peut proposer une étape intermédiaire en ne parlant que de $\frac{1}{a}$.
Puis on écrit, c’est long mais c’est très formateur : $\frac{7}{3}=\frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}$
Maintenant, $7+ \frac 34$ ou $\frac {31}4$, il n'y a pas à choisir, l'un est une addition posée et l'autre le résultat de cette addition.
D'où vient cette terrifique pages de « fractions mixtes » ?
Bonne soirée.
Fr. Ch
.
Les deux de CM2 m'ont répondu directement que "7 fois un septième est égal à 1". Ceux de CM1 m'ont dit que "7 fois un septième, ça fait sept septièmes". Puis, quand je leur ai demandé ce que font sept septièmes, ils m'ont dit "c'est une unité".
C'est d'ailleurs l'affichage par défaut pour les fractions sur ma calculatrice (HP 10s+). La touche pour les fractions est $a\small{b/c}$ et je dois appuyer sur shift pour obtenir $\small{d/c}$.
-- Schnoebelen, Philippe
Comme il est huit heures moins le quart, que pensez vous de $8-\frac 14$ ?:-D
(d’ailleurs addition posée, c’est quand on écrit les nombre les uns en dessous des autres en écriture décimale)
Voyons, $7+\frac{3}{4}$ désigne aussi ce « résultat ».
C’est juste que le nombre est écrit en fraction (irréductible d’ailleurs) dans un cas et pas dans l’autre.
Mais l’autre écriture est pratique : c’est l’écriture en somme de la partie entière du nombre et de la partie fractionnaire du nombre.
Ce n’est pas rien !
Comme déjà dit, ça permet d’encadrer ledit nombre entre deux entiers consécutifs.
Je me demande si l'utilisation d'écriture* comme $3\frac{1}{2}$ n'entraîne pas des confusions dans la tête des élèves (avec $3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ , accoler des nombres l'un à côté de l'autre signifie en général qu'on les multiplie, pas qu'on les additionne). Il faudrait sans doute trouver des écrits du monde anglo-saxon pour avoir un éclairage sur la question.
*: J'ai bien compris l'intérêt de la notation.
Pourquoi est-ce un mal? L'élève chinois, américains, russe qui participe aux olympiades internationales ne sait pas que c'est une définition. Pourtant, il gagne, entre dans une bonne université et devient un jour un mathématicien de renom.
Ils apprennent depuis CE1 que $132-132$ est égale à zéro. Ils le font pendant 4 ans à l'école, 4 ans au collège. Ils manipules les entiers naturels depuis CM1 (si on tient compte de 4 opérations). Sans parler que cette opération est très intuitive : je prends le tout, j'enlève tout et il ne me reste rien.
Pour $7\times \frac{1}{7}=1$ on peut dire que c'est une définition et puis c'est tout, il faut accepter. Mais cela créera une rupture trop brutal avec ce qu'ils ont appris avant. Je préfère clairement dire que $7\times \frac{1}{7}=1$ c'est $ \frac{1}{7} + \frac{1}{7} +\frac{1}{7} +\frac{1}{7} +\frac{1}{7} + \frac{1}{7}+\frac{1}{7} = \frac{7}{7} = 1$. Le passage de $\frac{7}{7}$ à $1$ est plus facile s'ils savent déjà ce que sont les nombres premiers et cie.
Quelle réponse tu aimerais avoir?
Parce que on n'omet pas le signe entre deux nombres. La question est: est-ce que $7\frac{1}{7}$ est un nombre ou deux nombres? Je ne sais pas comment on lit cette notation en anglais, chinois, allemand. Mais en russe quand on voit $7\frac{1}{7}$ on dit sept entières un septième. On ne peut pas se tromper.
On n'a pas peur. Ce n'est pas pratique, c'est tout. Prenons l'exercice 1130 de mon exemple.
$( 8\frac{1}{4} - \frac{3}{8} ) : 3 \frac{1}{2}
Pour le donner à l'élève français, j'ai besoin de le traduire en:
$( 8 + \frac{1}{4} - \frac{3}{8} ) \div (3 + \frac{1}{2})
C'est plus long, plus de parenthèses, plus d'opérations à faire.
Pour calculer, c'est aussi différent. Dans le premier cas:
$A = ( 8\frac{1}{4} - \frac{3}{8} ) : 3 \frac{1}{2}
On effectuer l'addition et la soustraction des fractions mixtes en les simplifiant au passage (on peut le faire en 2 étapes):
$A = 7\frac{7}{8} : 3 \frac{1}{2} : (\frac{3}{5} \cdot 10 ) + ( 1\frac{1}{4} ) \cdot 1\frac{3}{5} : ( \frac{5}{8} : 3 \frac{1}{8} )$
Puis on transforme les fractions mixtes en fractions "irrégulières":
$A = \frac{63}{8} : \frac{7}{2} : 6 + \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} : \frac{5}{8} : \frac{25}{8} $
On remplace la division par une multiplication par une fraction inverse:
$A = \frac{63}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} + \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{8}{25} $
On simplifie et on calcule:
$A = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6} + \frac{2}{1} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{8}{25}$
$A = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{128}{125} $
$A = \frac{3}{8} + \frac{128}{125} $
Le PPCM de $8$ et $125$ est
$A = \frac{3}{8} + 1 \frac{3}{125} $
$A = 1 \frac{399}{1000} = 1,399$
Quand à l'élève français... il ne pourra pas procéder de la même façon. Deux options: mettre chaque fois sous le même dénominateur (je tiens compte du programme):
$B = ( 8 + \frac{1}{4} - \frac{3}{8} ) \div (3 + \frac{1}{2}) \div (( 5 - (4 + \frac{2}{5} ) ) \times 10 ) + ( 3 + \frac{1}{8} - ( 1 + \frac{7}{8} ) ) \times (1 + \frac{3}{5} ) \div ( ( 2-(1+\frac{3}{8} )) \div (3 + \frac{1}{8} )$
$B = ( \frac{64}{8} + \frac{2}{8} - \frac{3}{8} ) \div (\frac{6}{2} + \frac{1}{2}) \div (( \frac{25}{5} - (\frac{20}{5} + \frac{2}{5} ) ) \times 10 ) + ( \frac{24}{8} + \frac{1}{8} - ( \frac{8}{8} + \frac{7}{8} ) ) \times (\frac{5}{5} + \frac{3}{5} ) \div ( ( \frac{16}{8} -(\frac{8}{8}+\frac{3}{8} )) \div (\frac{24}{8}+ \frac{1}{8} )$
$B = ( \frac{63}{8} ) \div (\frac{7}{2}) \div (( \frac{25}{5} - \frac{22}{5}) \times 10) + ( \frac{24}{8} + \frac{1}{8} - \frac{15}{8} ) \times \frac{8}{5} \div ( ( \frac{16}{8} -\frac{11}{8}) \div (\frac{25}{8} )$
$B = \frac{63}{8} \times \frac{2}{7} \div (\frac{3}{5} \times 10) + \frac{10}{8} \times \frac{8}{5} \div \frac{5}{8} \div \frac{25}{8} $
$B = \frac{63}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{30} + \frac{10}{8} \times \frac{8}{5} \times \frac{8}{5} \times \frac{8}{25} $
$B = \frac{630}{1680} + \frac{5120}{5000} $
$B = \frac{630 \times 5000}{1680 \times 5000} + \frac{5120 \times 1680}{5000 \times 1680} $
$B = \frac{3150000}{8400000} + \frac{8601600}{8400000} $
$B = \frac{11751600}{8400000} $
Oups.... La suite est hors programme:
$B = \frac{117516}{84000} $
$B = \frac{58758}{42000} $
$B = \frac{29379}{21000} $
$B = \frac{9793}{7000} $
$B = \frac{1399}{1000} $
$B = 1,399 $
Ouf....
L'option deux est de transformer toutes les fractions en écriture décimales:
$C = ( 8 + \frac{1}{4} - \frac{3}{8} ) \div (3 + \frac{1}{2}) \div (( 5 - (4 + \frac{2}{5} ) ) \times 10 ) + ( 3 + \frac{1}{8} - ( 1 + \frac{7}{8} ) ) \times (1 + \frac{3}{5} ) \div ( ( 2-(1+\frac{3}{8} )) \div (3 + \frac{1}{8} )$
$C = ( 8 +0,25 - 0,375) \div (3 +0,5) \div (( 5 - (4 + 0,4) ) \times 10 ) + ( 3 + 0,125 - ( 1 + 0,875) )$
$ \times (1 + 0,6) \div ( ( 2-(1+ 0,375)) \div (3 + 0,125 )$
$C = 7,875 \div 3,5 \div (( 5 - 4,4) \times 10 ) + ( 3,125 - 1,875 ) \times 1,6 \div ( ( 2-(1,375)) \div (3,125 )$
$C = 7,875 \div 3,5 \div (( 0,6) \times 10 ) + 1,25 \times 1,6 \div 0,625 \div 3,125$
$C = 7,875 \div 3,5 \div 6 + 1,25 \times 1,6 \div 0,625 \div 3,125$
$C = 2,25 \div 6 + 2 \div 0,625 \div 3,125$
$C = 0,375 + 3,2 \div 3,125$
$C = 0,375 + 1,024$
$C = 1,399$
Et plein de calculs sur les marges du cahiers ou sur le brouillon. Diviser de tête $3,2$ par $3,125$ n'est pas une chose aisée...
fraction décimale" cependant comme les nombres décimaux sont en réalité découverts par l'enfant avant les fractions, notamment du fait de l'utilisation de la règle graduée, en pratique cela donne dans les manuels $\frac{12345}{100}$ est une convention d'écriture pour 123,45. C'est peut-être un des facteurs créant l'anxiété vis à vis des fractions pour les jeunes collégiens. L'écriture mixte 123 [small]45/100[/small] serait peut-être moins anxiogène car elle s'éloigne moins de celle de 123 qui est tout de même, comme le sait l'enfant, assez proche de 123,45.
À noter que selon le programme officiel, les fractions dans leur généralité sont présentées à l'enfant ignorant le concept d'écriture décimale : "Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l’insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs"...
Enfin, que penser de ces extraits de manuels de 6e en termes de charge mentale ?
vorobichek,
Si, si, telle que tu l’as recopiée, c’est le produit des trois nombres 2, 1/7 et 5/7.
Telle que je l’avais écrite : 21/7 fois 5/7.
Il n’y a aucun problème.
L’argument « ils font des Olympiades et deviennent des mathématicien » ne fonctionne pas.
Ce n’est pas là-dessus que ça se joue, tu le sais bien.
Tu sais parfaitement qu’une notation n’est pas à l’origine d’un déclassement, voyons.
142-142= 0
« Ils l’apprennent tôt et pendant longtemps ».
Oui, ce serait bien d’apprendre tôt et pendant longtemps que 142/142 c’est 1.
Pour a/b j’attends que l’on réponde : c’est le seul nombre qui multiplié par b donne a, par exemple.
Hum. Tu sembles commettre encore une erreur déjà faite : $7+1/7$ désigne un seul nombre.
$7\frac{1}{7}$ aussi et $2\times 3$ aussi.
L’argument « ce n’est pas pratique pour cet exercice là » ne me convient pas.
Ce n’est pas un argument.
Edit : grillé par Dom (:D
De toute façon c'est optionnel, puisque les autres pays montrent bien qu'il est possible de faire sans tout en avoir à la sortie des élèves avec des connaissances solides.
Heu... non. Tu n'enlève pas le signe $\times$ entre deux nombres, que entre le nombre et la lettre (ou la parenthèse). Tu omets le signe $+$ entre un entier et une fraction inférieure à $1$. Je ne vois pas à quel moment il faut désapprendre.
J'aurais remplacé est le nombre par est égale au nombre. Sinon tu perds une partie des élèves avec ces explications.
@Bintje, tu as posé la question aux enfants français? Oui, au début ils savent faire. Mais il se passe quelque chose au collège. Cette chose entraine une amnésie générale et quelques années plus tard ils n'arriveront plus à répondre à tes questions.
@biely Les "rapidement" et "facilement" ne font pas partie du langage... C'est subjectif. Et puis pourquoi faut-il faire rapidement???
1) Le très bon élève russe va vite remarquer que $32=4 \times 8$ et $24=3 \times 8$. Donc $\frac{7}{32} + \frac{11}{24} = \frac{21 + 44}{8\times 4 \times 3} = \frac{65}{96}$
2) Le bon élève pensera au $PPCM$ et le trouvera de tête en remarquant que $32=2^5$ et $24=2^3 \times 3$, donc le $PPCM$ est $2^5 \times 3$. La suite est la même.
3) L'élève faible n'arrivera pas de le faire de tête. Il fera la décomposition en facteurs premiers sur la marge de son cahier pour trouver que $32=2^5$ et $24=2^3 \times 3$. La suite est la même.
Pour le ’’rapidement ’’ c’était bien entendu relatif (par contre être rapide est toujours un avantage dans les interrogations surtout si elles sont denses)
Je pense donc qu’on est d’accord que connaître ses tables à l’envers est la meilleure stratégie si on est ’’pressé’’ puisque l’établissement du PPCM à l’aide de la décomposition en facteurs premiers est plus long et laborieux.
Pour le B, sans calculatrice je ne vois pas comment l’élève français peut faire le B sans simplifier à certaines étapes car sinon on voit bien que l’on a des nombres énormes ingérables de tête.
$\frac{3}{5}$×10=$\frac{3}{5}$×5×2=6 (donc inverse $\frac{1}{6}$) et pour le B=$\frac{63}{8}$×$\frac{2}{7}$×$\frac{5}{30}$+$\frac{10}{8}$×$\frac{8}{5}$×$\frac{8}{5}$×$\frac{8}{25}$ en décomposant (ou même directement pour le 8) on peut simplifier très largement les fractions et se simplifier grandement la vie.
@philou22, Moi, j'ai un gros mal de tête en ouvrant les manuels français récents. :-( Je ne comprends pas comment les auteurs du manuel ont pu penser que l'élève sera capable de comprendre ces choses sans un professeur, un adulte ou le texte explicatif.
@Dom, Il n'y a pas de signe $\times$ dans ton message.
Ils ne peuvent pas. Ils ne savent pas encore multiplier les fractions par un entier! Mais c'est notre ancienne discussion du topic "faut-il donner des définitions que les élèves ne comprennent pas?".
Je ne commets rien du tout. Tu mets la charrue avant les bœufs. Tu commences par la fin. L'élève ne sait pas encore ce que c'est une fraction, ce que sont les différents ensembles des nombres. Il n'a pas encore les connaissances nécessaires pour apprendre que $7+1/7$ est un nombre. Pour l'élève ce ne sont pas encore des nombres! Il faut faire avec.
Un élève russe comprend que $7 \frac{1}{7}$ est un nombre mixte à la fin du chapitre sur les fractions (fin 6e ou mi 5e), parce que c'est enseigné! Pour le $2 \times 3$, il le comprend en 4e ou 3e quand il a appris tous les ensemble des nombres réels et quand il a eu besoin d'avoir cette écriture pour faire du calcul littéral. Et oui, c'est enseigné! C'est-à-dire il y a le cours dans le manuel, les explications du professeur et les des dizaines d'exercices où tu ne fais que cela. Il est aussi enseigné que le nombre $7$ et le nombre $7^0.5 \times 7^0.5$ sont deux écritures du même nombre. Le cours de physique qui commence en 4e aide beaucoup à comprendre.
D'accord. Pourrais tu me dire comment l'élève français doit procéder pour faire cet exercice?
P.S. On peut faire $B$ sans la calculatrice en posant les calculs. Je ne vois pas pourquoi il faut faire tout de tête. C'est le $C$ qui pose problème. L'élève russe, lui, il ferra comme dans $A$. De toute façon si l'élève russe veut faire du calcul posé pour trouver le quotient de $48 \div 2$, il a le droit. Personne ne le jugera. ;-)
Par contre quand je lis ce genre de chose, je suis un peu choqué, en effet :
Qu'est-ce qui est atypique en mathématiques le 7, le + ou $ \frac{3}{4} $?
Sans calculatrice si je suis élève et que je dois me farcir tous ces calculs à la main sincèrement je laisse tomber (et je pense que dans ce cas l’immense majorité des profs diront ’’vous avez droit à la calculatrice ’’)
En sixième on voit qu’un quotient ne change pas si on multiplie ou si l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul donc on peut déjà faire quelque simplifications. Après je trouve absurde comme toi que l’on étale ces ’’formules’’ sur les fractions sur plusieurs années car cela ne fait que compliquer la compréhension et l’enseignement à mon sens. Absurde par exemple de voir que en sixième on voit en général ce que j’ai écrit au début après la proportionnalité...
Exercice de sixième
Parmi les 28 élèves d’une classe, 25% sont externes. Combien y-a-t-il d’externes?
Et là le prof dit : on a droit à la calculatrice...
$\frac{25}{100}$×28=0,25×28=7 (c’est le genre de façon de faire qui explique la catastrophe sur les fractions de mon point de vue)
Le « fois » non écrit. En effet il n’y a pas de symbole fois dans le message.
Bah oui. Ce n’est pas seulement devant une lettre et une parenthèse. On a aussi le radical, le $\cos$, le $\ln$, en fait tous les symboles qui ne sont pas des chiffres.
Ensuite tu dis « tu n’enlèves pas le signe fois entre deux nombres ». Je parle plutôt de symbole car en math le terme « signe » désigne plutôt $+$ ou $-$.
Pour rappel, un symbole $\times$ s’écrit toujours entre deux nombres au collège. Et selon leurs écritures on peut ne pas l’écrire ou être obligé de l’écrire.
Pas compris « nombre » et « est égal au nombre ». Ce n’est pas dans la citation.
Complètement en désaccord sur la partie « ils ne comprennent pas avant la 4e que 2x3 désigne un nombre ».
Là c’est de l’abus. Le programme de 6e, en ce qui concerne la partie « algèbre » ce n’est que sur l’écriture des nombres justement (écriture décimale, écriture en fraction, écriture en fraction décimale, écriture en lettres, écriture en somme, écriture en produit...). .
C’est là que tout est formalisé. C’est là qu’on sait d’ailleurs utiliser proprement le « = » si jamais ce n’a pas été bien compris avant.
C’est scandaleux je pense de ne pas dire aux élèves que 2x3 est une autre écriture que l’entier $six$.
D’ailleurs c’en est rempli partout sur les pages de tables de multiplication.
Et cela n’a rien à voir avec le calcul littéral.
Bintje,
Je crois que ce que l’on enseigne dans ton école est « en haut » par rapport à la moyenne.
Et vorobichek a raison : au collège il se passe des choses. J’y vois notamment un « abandon » (volontaire ou involontaire) des parents quand ils ne peuvent eux-mêmes plus suivre. C’est assez tragique. Et il y a aussi le fameux « maintenant tu es grand ». Et l’adolescence qui pointe son nez et qui n’arrange rien... surtout quand $mon-bébé-mon-coeur$ a tous les droits.
Sauf « en 4e ».
Je parlais des élèves russes et je l'ai bien précisé. Ils ne le savent pas avant 4e-3e.
C'est LE problème. Le programme demande de formaliser en 6e, alors qu'on fini d'enseigner les ensembles des nombres... en 2nd :-D Donc on formalise je-ne-sais-pas-quoi en 6e, cela n'entre pas dans la tête parce que on ne sait pas ce qu'on formalise et de toute façon ce n'est pas utilisé dans les exercices. Faut-il s'étonner que les élèves n'arrivent pas à relier ce formalisme aux ensembles des nombres vu au lycée.
Tu commences à utiliser cette écriture des nombres avec le calcul littéral, plus tard il y a la trigonométrie, les radicaux etc. Bon, en France le programme sur le calcul littéral ne vole pas haut, c'est plutôt au lycée que l'élève fait fasse à ces concepts.
Je n'ai pas compris ce que tu voulais dire.
Tout comme d’ailleurs les parenthèses supprimées autour des produits quand ils sont prioritaires. Initier ça c’est bien je pense.
Je ne vois pas le rapport entre les écritures diverses et la connaissance des ensembles de nombres.
On peut connaître toutes ces écritures sans parler d’ensembles de nombre.
Oui, certaines écritures sont une caractérisation de certains ensembles de nombre. Mais c’est autre chose.
Non, même avant le calcul littéral, le périmètre d’un quadrilatère peut être écrit « 7 cm+ 3 mm+ 6cm + 45mm ».
Pour la fin j’ai cru que c’est ce que tu revendiquais. C’est moi qui ait mal interprété.
En CM1, les fractions ne sont pas encore des nombres. Ce sont soit des parts de gâteaux ronds (il y a plusieurs gâteaux, donc des fractions >1), soit des carrés de tablettes de chocolat. Il n'y a encore aucune opération avec des fractions. Ils savent juste comparer (à l'aide d'un dessin) deux fractions ayant le même dénominateur ou le même numérateur. Ils n'écrivent pas encore $\frac{7}{7}=1$. C'est pour ça qu'on m'a répondu que "sept septièmes ça fait une unité", c'est-à-dire un gâteau entier.
J'ai donc l'impression que $7\times\frac{1}{7}=1$ est très naturel et ne devrait poser aucun problème. Mon épouse étant prof au collège, je sais cependant que cette évidence n'en est plus une au collège.
Note que j'ai posé mes questions oralement. Peut-être que le passage à l'écrit est un problème.
Edit. Note aussi que j'ai bien dit "sept fois un septième", pas "7 multiplié par un septième" ou "un septième multiplié par sept". Il n'y avait donc pas de multiplication dans ma question, alors que le symbole $\times$ en aurait été une.
P.S. concernant le calcul littéral: c'est utile pour factoriser/développer. Par exemple $6x^2 +7x + 2= 6x^2 + 3x + 4x + 2 = 3x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(3x+2)$
Ou encore $\frac{4a^2 - 5}{2a + \sqrt{5}} = 2a - \sqrt{5}$ pour $a \neq - \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Bintje tu peux faire le genre sondage suivant pour les élèves arrivant en 6e :
7/7 =
0/7 =
7/1 =
7*1/7=
...
Si je puis me permettre : d'après mes souvenirs d'il y a soixante ans, j'ai appris à écrire ce qu'on appelait les "nombres fractionnaires" avec un entier immédiatement suivi d'une fraction dont le dénominateur était obligatoirement plus grand que l'entier, l'ensemble étant enseigné comme représentant une addition.
Il ne pouvait pas y avoir de confusion puisque c'était avant qu'on fasse des calculs avec des lettres, on ignorait encore l'équivalence entre juxtaposition et multiplication ...
Bien cordialement
JLB
Tu as raison : à l’oral les élèves ont plus de facilité.
Un gros travail est justement l’écriture (correcte) des calculs et des raisonnements. Et l’interprétation des expressions dans un texte mathématique.
Tout le collège d’ailleurs. Il reste beaucoup de 3e qui préfèrent calculer par étape que d’écrire $\sqrt{6,9^2-3,7^2}$ en utilisant Pythagore par exemple.
Il y a aussi une part énorme de fainéantise « j’ai pas envie d’écrire, c’est long. ».
Ok. Il faudrait peut-être pouvoir interroger un élève de la même classe mais moins « profilé » ;-)
vorobichek,
Je ne comprends pas pourquoi tu dis ça.
Écriture fractionnaire, c’est quand on a l’utilisation d’un trait de fraction.
Écriture décimale, c’est quand, seuls les neuf chiffres sont autorisés à être utilisés et éventuellement une virgule avec la convention que chaque chiffre a une place précise.
Écriture en somme, c’est quand on utilise un $+$ et deux nombres autour.
Faut-il connaître l’ensemble des entiers naturels (dont il n’est pas interdit de parler en 6e), l’ensemble des nombres décimaux, l’ensemble des rationnels ou encore des réels ?
Je dis que non, ce n’est pas du tout nécessaire.
Une chose est certaine : ce ne sera pas une révolution si un prof décide d’utiliser cette notation.
L’échec scolaire est indépendant selon moi de ce $bidule$.
N'importe quoi. Les élèves que j'ai interrogés n'ont rien appris mais ils savent répondre, à l'oral, à tes quatre questions. Ceux de CM2 répondent au moins aux trois premières à l'écrit (je n'ai pas testé la dernière).
Édition : désolé j'ai confondu la période 1882-1936 avec la période 1945-1967
concernant l'usage des "nombres fractionnaires", je t'ai montré que dans les années 60, ils étaient enseignés en classes de "fin d'études", c'est-à-dire à destination de ceux qui ne passaient pas en 6ème et n'avaient pas encore 12 ans en fin de CM2. On peut donc dire que leur enseignement était largement généralisé.
Cordialement.
Pour autant, on trouve dans cet ouvrage, page 163 :
" Indiquons, pour mémoire, la notation $3\frac{4}{7}$ qui est parfois employée pour représenter la somme $3+\frac{4}{7}$.
[...]
Par exemple, la valeur de $\pi$ donnée par Archimède est $\frac{22}{7}$, et non $3\frac{1}{7}$. "
On trouve aussi dans
Je me premets juste de donner une évidence (sans savoir si elle a déjà été donnée par le passé) : cette écriture condense le principe de la division euclidienne où tous les termes sont entiers et le reste inférieur au diviseur, cela aurait donc pu marquer la réponse-type pour les exercices de ce genre, qui en fin de CM2 représente le summum du calcul posé, effectivement avant l'introduction du calcul symbolique (dont il est un prototype imparfait).
Si la raison est bien celle là, la question de l'origine est tout aussi multiple que les enseignements qui ont mis en place le calcul posé.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Ces auteurs sont à remercier pour leurs pertinences :-)
cela donne en effet une façon élégante d'écrire le résultat d'une division euclidienne:
a/b= q r/b
Cordialement