Définir les équations

Difficile car il me semble qu’on n’a pas de définition formelle (mathématique) du terme « équation ».
Un fil et même plusieurs (trois ou quatre ans (?)) ont abordé le sujet.

Cela dit, tout le monde (secondaire et supérieur) utilise le terme « équation » donc il faut bien dire quelque chose.
Le gros pavé « équation différentielle » ou « équation aux dérivées partielles » en est la preuve la plus probante.

1) Le plus courant d’après moi :
-> égalité contenant des lettres qui sont des nombres que l’on ne connaît pas.
Puis : inconnue, résoudre une équation, premier degré etc.


2) On peut aussi assumer le fait qu’il ne s’agit pas d’un terme mathématique mais d’une situation à laquelle se confronte « l’humain ».
Je pense qu’on peut définir « résoudre une équation » par « trouver l’ensemble des nombres tels que l’égalité est vraie » et ne pas définir explicitement « équation ». Ce sera implicite (c’est l’égalité, oui, mais pas seulement… par exemple $P=2\pi r$ n’est pas une équation malgré la présence de trois lettres).
Sauf si « équation » est juste synonyme de « égalité » mais dans ce cas, « résoudre dans $\mathbb R$, 3+2=5 » pose problème (enfin… pas vraiment finalement). D’ailleurs pour faire bien les choses il faudrait dire :

« Résoudre dans E, l’équation (e) d’inconnue $z$ »

Je tente des propositions concrètes un peu plus tard.

Essaie ça :

Une équation est une égalité entre deux expressions comportant des lettres.
On appelle ces lettres des inconnues car on cherche la ou les valeurs de ces lettres qui rendent cette égalité vraie.

Il manque le fait qu’une équation est une question.

Quand on résout une équation, on cherche les… tels que… donc on cherche bien à répondre à une question.

Bonjour,

Nicolas, avec une équation, on peut faire beaucoup d'autres choses que la résoudre.
Par exemple, à partir d'une équation de conique, on peut chercher une forme réduite, ou les foyers ...

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

Ce n’est pas parce qu’il existe plusieurs acceptions qu’il faudrait ne pas définir quelque chose.

Rayon, pour les cercles.
Hauteur, dans un triangle.
Côté, pour une figure.

Tout ça se définit, et chaque acception se définit.

Ici, le thème est bien les équations au sens de la recherche de valeurs.

Cordialement

Dom

Pas compris « par substitution bien sûr ».

En quoi « a=b » est équivalent à « a=a » ?

Ok.

On a :
(b=a) => (a=a)

Mais on n’a pas :
(a=a) => (b=a)

Ok.
C’est un « simple » problème de logique.

Il y a deux écoles d’après moi pour traiter les équations

1)
On a une ou plusieurs égalités, et avec les règles des maths on en déduit des choses.
On a donc sur la copie une succession de « donc ».
Dans le meilleur des cas, on obtient des égalités très simples.

Là, il reste une partie du travail : remonter ces « donc ».
Souvent on dit « vérifier que les solutions trouvées sont justes ».

2)
On applique des théorèmes d’équivalence.
C’est la notion « d’équations équivalentes ».
En 4e, pour la résolution des équations à une inconnue du premier degré, c’est ce qui peut se faire.
Les théorèmes disent « cette équation a les mêmes solutions que la suivante ».
Ainsi, arrivé à la fin : « l’équation de départ a les mêmes solutions que $x=3/7$ ».
Ça assure que LA solution trouvée est la seule.
Le théorème contient la remontée des « donc ».

On peut reprocher à « 2) » d’être une artillerie lourde.

Je n’ai pas répondu à « une définition de équation ? ».
Mais je crois que c’est cela que tu désignes dans les différences d’un prof à un autre



RAPPEL : un truc évident mais qui ne l’est pas dans les esprits.

Quels que soient $a$ et $b$ et quelle que soit la fonction $f$ définie en $a$ et en $b$,
si $a=b$, alors $f(a)=f(b)$. C’est par définition de l’égalité.

C’est cette banalité qui est cachée dans « les méthodes de résolution ».
Mais souvent c’est écrit « Si on ajoute à chacun des membres d’une égalité un même nombre, alors l’égalité est conservée. ».

Quant au théorème d’équivalence (de remonté des « donc ») dont je parle, c’est juste que les fonctions considérées sont bijectives.

Sans parler de « raisonnement par l’absurde » dont l’acception est parfois galvaudée (voir les discussions sur le site, auxquels parfois des esprits chagrins s’insurgent), j’ajoute pour poursuivre ce que tu dis :

Quand on commence à résoudre une équation, on ne le dit jamais, mais c’est d’abord :
« S’il existe un nombre $x$ tel que… , alors … ».

Ainsi, arriver à une contradiction (une absurdité), c’est tout simplement avoir démontré la négation de « il existe un nombre $x$ tel que… ». On en conclut naturellement qu’il n’existe pas de $x$ tel que…

Soc a écrit:

écrivait:
Pourrais-tu expliciter la différence entre
égalité et identité?

Ecrivons

(x+1)² = x² + 2x +1. S'agit-il d'une égalité, d'une identité ou d'une équation ?

Dans cette expression il y a une variable libre, le x. Si le membre de droite est égal au membre de gauche pour tout x appartenant à un ensemble A alors on a une identité sur A.
Si par contre la variable libre est quantifiée existentiellement sur A on a une équation dont l'expression (x+1)² = x² + 2x +1 peut être vraie ou fausse suivant les valeurs de x dans A.

Pour tout x dans A : P(x) = Q(x) est une identité
Il existe x dans A : P(x) = Q(x) est une équation

On comprends alors qu'écrire P(x) = Q(x) sans quantifier le x est source d'erreur et confusion puisque on ne sait pas si on a affaire à une équation ou une identité.

P(x) = Q(x) où x est une variable libre dans P et Q n'est à proprement parler pas une égalité parce que la valeur de vérité de l'expression dépend de x.

3=2+1 est une égalité.
6 = 10-4 est une égalité
x = 3x -x n'est pas une égalité. Et si on ne quantifie pas la variable x on ne sait même pas s'il s'agit d'une équation ou d'une identité.

Bonjour Serge_S.

Que fais-tu de l'énoncé : "Résoudre dans $\mathbb R$ : 3(2x-1) =(x+1)²-(x-2)²"
J'ai souvent donné des équations de ce genre. Alors que "pour tout réel x, 3(2x-1) =(x+1)²-(x-2)²" n'est évidemment pas une équation.

Il me semble que le mot "équation" s'applique à un usage d'égalités (résoudre, ou ensemble de points) et le mot "identité" à des théorèmes d'algèbre ou de trigo.

Cordialement.

Soc a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2272916,2273664#msg-2273664

En suivant le raisonnement de SERGE_S et de PoemeA341 je dirais plutôt qu'une égalité est une égalité parfois fausse pour le dire de façon dégueulasse...B-)-

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Une égalité peut évidemment être fausse.

L'égalité est une affirmation, selon laquelle deux nombres sont égaux. Une égalité peut être fausse.

Cela vient du fait que quand on écrit des équivalences du type 2x + 1 = 5 <==> 2x = 4 on écrit P <==> Q avec P l'affirmation ''2x + 1 = 5'' et Q l'affirmation ''2x = 4''. La seule ''valeur'' que peut avoir P c'est vrai ou faux, c'est une affirmation. Comme les booléens en informatique valent vrai ou faux.

Mais je conçois tout à fait qu'on ne s'embête pas avec toutes ces considérations au collège. Parler d'existence, de possibilité qu'il n'y ait pas de solution, sans avoir vu auparavant les rudiments de la logique, sans parler de raisonnement par l'absurde, de raisonnement par condition nécessaire et suffisante, ni même d'ensembles de solutions, me parait mettre la charrue avant les bœufs.

Autant considérer que la variable est solution, voir ce que cela entraîne et vérifier voir si on n'a pas fait une erreur de calcul.

Et dans certains cas particuliers (on pourra exhiber x = x + 1) dire qu'il y a une contradiction donc qu'en réalité il n'y a pas de solution (quitte à expliciter certains sujet de brevet qui emploient le verbe ''exister'' en leur expliquant simplement que tant qu'il n'y a pas de contradiction trouvée / tant qu'on trouve une solution c'est que oui elle existe et qu'ils approfondiront cela au lycée).

Donc d'habitude:

On considère un nombre x tel que...
Alors...
Donc...
Donc x = .. ou x = ... (si plusieurs solutions)
Vérification: pour x = .... , on a ... et pour x = ..., on a ...
Les solutions sont...

Si pas de solution (exemple):
On considère un nombre x tel que x = x + 1
Alors 0 = 1 ce qui est impossible.
Donc x n'existe pas.
Donc l'équation x = x + 1 n'admet pas de solution.

Ca fait partie du raisonnement par l'absurde mentionné au BO sans pour autant le nommer.

Soc
Pour la distinction entre égalité toujours vraie et égalité tout court:
Il n'y en a pas. et je suis d'accord que ça pose problème. Si j'avais le pouvoir de modifier le vocabulaire communément utilisé dans le monde scientifique, je déclarerais égalité et identité synonymes, et appellerais 2 = 3 ''assertion d'égalité'' ou ''affirmation d'égalité''. ce serait plus simple. Mais je n'ai pas vraiment le choix.

Soc
Ta question initiale portait sur le sens donné à équation, pas sur le signe =. Donc un peu de reconnaissance quant aux débuts de réponse apportés et de respect dans ta communication. Ne pas dire ''je veux'', c'est ce qu'on enseigne initialement aux enfants.
Merci pour la remarque quant à la vérification, s'il est vrai que je dis à l'oral que toutes les opérations sont remontables (en lien avec les programmes de calcul) et que les élèves la plupart du temps vérifient et écrivent la vérification vu que ça figure comme ça dans la rédaction du cours, cela doit obligatoirement figurer.

Le signe = représente tout d'abord le résultat d'un calcul, puis une identité entre deux expressions, l'affectation d'une valeur à une variable... mieux vaut éviter de rentrer dans les détails...

Soc a écrit:

Peu m'importe l'opinion que vous avez de moi, mon égo se porte bien et continuera de bien se porter.

Je n’ai pas d’opinion sur toi, ce n’est pas mon propos. ;-)

Bonjour.

$5 \neq 5$ ?

À bientôt.

Oui la convention est toujours « on parle du nombre, de l’élément de $\mathbb R$ ».

D’ailleurs ceux qui s’offusquent pourraient écrire « $2+5 \notin \mathbb N$ » ?
Dans ce cas :
- l’utilisation du « = » est étrange
- on a également $7 \notin \mathbb N$ car le symbole $7$ n’est pas un nombre mais un élément de l’alphabet (un chiffre).

A part une mauvaise foi ou un incompréhension, je ne vois pas…