Nombre premier

Si on va par là, de même $\sqrt{2}$ ne divise jamais un entier supérieur ou égal à 2. Pourquoi se restreindre aux entiers naturels alors ?

L'implication reste vraie sur l'intervalle $[ 0 ; +\infty[$. Et pourtant tel que c'est écrit dans le Monier, ça me va bien. ;-)

En fait je comprends la question.
Ça ne coûtait rien de laisser le zéro. On laisse $\mathbb N$.
D’ailleurs, à ce compte là, on pouvait enlever le zéro dans la première phrase aussi puisqu’après on rend l’entier plus grand que deux.

L’arithmétique a besoin du zéro mais $en \ même \ temps$ on le vire souvent de plusieurs propriétés.

Enfin, parfois on croit passer à coté d’une subtilité, c’est en ce sens que je comprends la question.
Là, il n’y en a pas.

Personnellement, je suis plus embêté par le fait que la définition est un peu trop lourde pour un bénéfice de compréhension quasi-nul.
Même au niveau bac+1 (et même largement avant), je préfère largement des définitions du genre :

"Un entier naturel est dit premier lorsqu'il a $\textbf{exactement}$ 2 diviseurs."

J'ai fait ça en seconde avec les élèves, et avec des exemples, ça passait bien. Ça exclut 1 et 0 sans coup férir.

Après, je suppose que la définition de ce livre colle mieux avec la définition plus générale des éléments premiers dans un anneau commutatif... mais est-ce vraiment important à ce niveau ?

Bonjour.

Dans ce cas, les autres nombres premiers ont aussi des diviseurs négatifs (et ils en ont donc 4).

À bientôt.

Il y a d'autres conséquences qu'un simple problème de comptage de diviseurs quand on fait intervenir les négatifs.

Par exemple, est-ce que $-2$ est un nombre premier ?

En ce qui me concerne, dès qu'il est question de nombre premier, il est forcément positif et le compte de ses diviseurs ne prend que les positifs.

À bientôt.

J'aurais encore appris quelque chose.

Merci Dom et Zeitnot.

À bientôt.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2281644,2281858#msg-2281858

En fait, pour généraliser cette remarque, je comptais de façon (il me semble) classique les diviseurs à inversible près, i.e. les classes d'équivalence de diviseurs pour la relation dont je crois me souvenir qu'elle se nomme "association".
C'est important de le faire car dans d'autres contextes arithmétiques, comme les polynômes à coefficients dans un corps de caractéristique 0, les éléments ont une infinité de diviseurs à cause de l'infinité d'inversibles. Dans $\mathbb{Z}$, il n'y en a que deux qui sont $1$ et $-1$, d'où le fait qu'on puisse compter les diviseurs, d'où les objections j'imagine.

Il me semble que, même sans savoir tout ça, il est étrange de ne pas compter les entiers au signe près dans ce contexte puisque le signe n'a aucune incidence sur leur "structure de divisibilité".