Changement de variable - rédaction

Mon avis est que pour faire un changement de variable "qui marche bien", il faut surtout écrire la variable de départ en fonction de la nouvelle, et après ça se passe habituellement plutôt bien.

Bon,
Chaque cours a son théorème dont les hypothèses sont plus ou moins générales par rapport aux autres.
La rédaction optimale est celle qui vérifie explicitement les hypothèses du théorème appliqué.

Quand je dis « vérifier les hypothèses », on peut soit démontrer que tout répond aux hypothèses, soit juste le dire en prenant le risque de passer à côté d’une situation non triviale et ne pas s’apercevoir que justement il y a quand même un truc à démontrer (continuité, bijectivité ou tout autre propriété suffisante à l’application du théorème).

Je ne fais pas de théorie ici, Foys.
Je dis que plusieurs théorèmes existent et qu’il faut savoir appliquer celui qui est autorisé à appliquer.
En général il est dans « le cours ».

Trouver quel est « le meilleur » dans ce fil, c’est faire du hors sujet je pense.
Par contre, en citer un dans son intégralité, faute d’en avoir un sous la main, pourquoi pas.

MrJ écrivait:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2314162,2314162#msg-2314162
> Quelle est votre avis sur ce sujet ?
> Où faudrait-il placer le curseur pour la rigueur sur ce sujet ?

Ca dépend de ton public.
Personnellement, pour ton intégrale, je signalerais que
$u\mapsto u^2$ est de classe $C^1$ sur $[1,\sqrt 2]$ à valeurs dans $[1,2]$
$t\mapsto \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}$ est continue sur $[1,2]$
$1=1^2$ et $2=\sqrt 2^2$.
Ainsi, $\displaystyle \int_1^2 \frac{\ln t}{\sqrt t}dt = \int_1^{\sqrt 2} \frac{\ln(u^2)}{u} 2udu
= \ldots$

MrJ a écrit:

@Foys : il me semble, de mémoire, que la bijectivité est déjà nécessaire pour les intégrales généralisées. Désolé si je me trompe.

Cela va dépendre du contexte mais dans la majorité des cas on s'en sort en se ramenant au cas des segments puis en faisant des passages à la limite.

Dom a écrit:

Il existe plusieurs théorèmes (je me trompe ?).

La mauvaise nouvelle est qu'il y a plusieurs théorèmes.
La bonne est qu'on est dans la situation la plus simple: celle de la dimension 1 sur un segment, dans laquelle c'est le théorème le plus simple qui s'applique et où aucune hypothèse sur la fonction réalisant le changement de variable n'est requise à part le fait qu'elle est $\mathcal C^1$ voire simplement dérivable si on fait de l'intégration a la Henstock-Kurzweil. Mais on parle de $t\mapsto \sqrt t$ sur un intervalle où elle est $\mathcal C^1$ donc tout va bien.

Non ce n'est pas de cela que je parle. L'extrait du texte en lien a le défaut d'entretenir le mythe urbain insupportable qui prétend qu'il faut supposer la variable d'intégration bijective pour faire un changement de variable en dimension $1$.

Dans tout ce qui suit, $I$ est un intervalle de $\R$, $a$ et $b$ désignent des nombres réels tels que $a<b$ et $\varphi: [a,b] \to \R$ est une fonction de classe $\mathcal C^1$ à valeurs dans $I$ et quelconque.

1°) soit $f\in \mathcal C^0(I,\R)$. Alors $$\int_a^b \varphi' \times (f \circ \varphi) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f \tag{i}$$.
Preuve: comme $f$ est continue, elle admet une primitive $F$ sur $I$ et on a l'égalité $F\left(\varphi(b) \right )-F\left (\varphi (a) \right)= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f$. Mais comme $f$ est continue, $F$ est de classe $\mathcal C^1$ et on a par composition des dérivées, l'égalité $(F \circ \varphi)' = \varphi ' \times (F' \circ \varphi ) = \varphi ' \times (f \circ \varphi )$ et en intégrant: $$\int_a^b \varphi ' \times (f \circ \varphi ) = \int_a^b \left ( F \circ \varphi\right )' = F\left(\varphi(b) \right )-F\left (\varphi (a) \right) = \int_{\varphi (a)}^{\varphi(b)} F' =\int_{\varphi (a)}^{\varphi(b)} f \tag{ii} $$
La voilà, la terrible formule de changement de variable en dimension 1 sur un segment, pour des intégrandes continus.

Maintenant demandons nous un peu ce qui se passe pour des fonctions à intégrer un peu plus générales.

Remarque $(\dagger)$: si $c,d$ sont des réels quelconques et $S:= [\min(c,d), \max(c,d)]$ alors pour toute fonction intégrable, si $c<d$ alors $\int_S g = \int_c^d g$ et si $c \geq d$ alors $\int_S g = - \int_c^d g = \int_d^c g$
(techniquement la convergence dominée s'applique à des intégrales de la forme $\int_S (...)$. Bon c'est un micro détail).

Dans toute la suite nous désignerons par $E$ l'ensemble de toutes les fonctions mesurables (boréliennes) et bornées $g$ de $I$ dans $\R$ satisfaisant l'égalité $\int_a^b \varphi' \times (g \circ \varphi) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g \tag{iii}$, autrement dit la formule du changement de variable.
L'énoncé 1 montre en particulier que toute fonction continue et bornée de $I$ dans $\R$ est dans $E$.

2°) $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^I$.
Cela résulte aussitôt de la linéarité de l'intégrale.

3°) Soient $M>0$, $(f_n)_{n \in \N}$ une famille d'éléments de $E$ et $f$ une fonction telle que la suite $f_n$ converge simplement vers $f$.On suppose que $|f_n(x)|\leq M$ pour tout $x\in I$ et tout $n\in \N$. Alors $f$ appartient à $E$ A l'aide de 3 et d'une variante du lemme de classe monotone pour les fonctions (lisible dans le livre de Daniel Revuz et Marc Yor: Continuous martingales and brownian motion) on peut en déduire directement le fait que $E$ est l'espace de toutes les fonctions mesurables et bornées de $I$ dans $\R$.
Nous allons traiter cela en détail ci-dessous.

preuve de 3°): soit $S:= \left [\min\left (\varphi (a),\varphi(b) \right ), \max\left (\varphi (a),\varphi(b) \right ) \right ]$ le théorème de convergence dominée de Lebesgue (via la majoration des fonctions respectivement par les fonctions intégrables $x \in [a,b] \mapsto M \times \|\varphi'\|_{\infty}$ et $x\in S \mapsto M$ ) entraîne que $\int_a^b \varphi' \times f_n \circ \varphi $ tend vers $\int_a^b \varphi' \times f \circ \varphi $ et que $\int_S f_n$ tend vers $\int_S f$, lorsque $n$ tend vers l'infini. On conclut immédiatement avec la remarque $(\dagger)$ faisant suite au 1°).

4°) $E$ contient les fonctions de la forme $\mathbf 1_{[p,q]}$ pour tous réels $p,q\in I$.
De telles fonctions sont limites simples de suites de fonctions continues (penser à des trapèzes contenus sous leur courbe représentative) et on applique 1° et 3°.

Soit $C$ l'ensemble des parties mesurables $X$ de $I$ telles que $\mathbf 1_X\in E$. Alors d'après 4°), contient tous les segments.

5°) Pour tous $X,Y\in C$, si $X\subseteq Y$ alors $Y\backslash X\in C$.
La fonction caractéristique de $Y\backslash X$ est égale à $\mathbf 1_Y - \mathbf 1_X$ et on applique 2°)

6°) Pour toute suite $(X_n)_{n\in \N}$ d'éléments de $C$ croissante pour l'inclusion, on a $\bigcup_{n \in \N} X_n \in C$. En effet, la fonction caractéristique de cette union n'est autre que la limite simple de la suite $\left (\mathbf 1_{X_n}\right )_{n \in \N}$ et on applique 3°) (avec $M=1$ évidemment).

7°) $C$ contient tous les boréliens.
Cela résulte aussitôt du lemme de classe monotone, appliqué à l'ensemble des segments contenus dans $I$, en utilisant les points 4°, 5° et 6° ci-dessus.

Par suite, toute fonction borélienne dont l'image est finie est dans $E$ puisqu'il s'agit d'une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de boréliens.

8°) Toute fonction borélienne bornée est dans $E$. [size=large]Autrement dit toute fonction borélienne bornée satisfait la formule du changement de variables $(\text {i})$ énoncée au 1°).[/size] Soit $f$ une telle fonction et $n$ un entier naturel. Soit $N$ un entier tel que $|f(x)|\leq N$ pour tout $x\in M$. On pose pour tout $x$ et tout entier $n$, $f_n(x):= \sum_{k\in\Z} k \times 2^{-n} \mathbf 1_{\left [k \times 2^{-n}, (k+1) \times 2^{-n} \right [} \left ( f(x)\right )$. Alors $f_n$ est borélienne comme $f$ (par composition), ne prend qu'un nombre fini de valeurs (du fait que $f$ est bornée) et converge simplement vers $f$ (en fait uniformément, on a $\|f_n - f\|_{\infty} \leq 2^{-n}$ pour tout $n\in \N$).

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Projet: écrire une formulation correcte de cet énoncé (et en trouver une preuve) pour des fonctions continues par morceaux lorsqu'on ne dispose pas de théorie de la mesure.

Pas mal le pavé de Foys http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2314162,2314452#msg-2314452. Je ne lis quasiment jamais des pavés pareils mais celui-ci je l'ai commencé et finalement je l'ai terminé.

Je n'avais jamais réfléchis à une telle généralisation et pourtant elle n'est pas super compliquée. Peut-être qu'ils ont la flemme de l'exhiber dans les bouquins...

MrJ: que penses-tu de cette rédaction (je reprends l'exemple de ton premier message) ?

Nous avons:
$$\forall t\in [1,2],~\forall u\in \left[1,\sqrt{2}\right],~u = \sqrt{t}~\Leftrightarrow~t = u^2$$
Par ailleurs, $u\mapsto u^2$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[1,\sqrt{2}\right]$ de dérivée $u\mapsto 2u$, et $t\mapsto \displaystyle\frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}$ est continue sur $[1,2]$.
Donc, d'après la formule du changement de variable:
$$\displaystyle\int_1^2\displaystyle\frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt = \displaystyle\int_1^{\sqrt{2}}\displaystyle\frac{\ln\left(u^2\right)}{u}2udu =~... $$

MrJ:
Oui.
Si tu souhaites justifier le changement de variable que j'effectue dans mon précédent message, c'est plutôt le caractère $\mathcal{C}^1$ de $t:~u\mapsto t(u)$ (ie de la bijection réciproque de $t\mapsto u(t)$) qu'il convient de souligner ici.

Le seul truc potentiellement pointu à faire comme ça, c'est : pourquoi le "$dt$" ne devient pas juste un "$du$" ? Pour expliquer ça "clairement" sans faire allusions aux formes différentielles ni à "réfléchis pas, fais", ce n'est pas si simple, je trouve.

Bonsoir.

Pour les intégrales indéfinies, le changement de variable est :
* soit la formule de dérivation d'une composée : $\int f'(x)g(f(x))\ dx = G(f(x)) +C$ où G est une primitive de g; déguisé en $\int f'(x)g(f(x))\ dx = \int g(f(x))\ f'(x) dx=\int f(u)\ du = G(u) + C = G(f(x)) +C$
* soit un changement bijectif pour pouvoir "revenir à la variable de départ", puisque $\int f(x)\ dx$ est une expression en la variable $x$.

Cordialement.

L'idée est justement que pour rédiger une application de la seconde formule, on peut simplement mettre le lecteur devant le fait accompli et exhiber la bijection réciproque qui est bien C1 sans mentionner la bijectivité, et appliquer la première formule dans l'autre sens. Pédagogiquement c'est désastreux si on ne l'a pas expliqué avec force détail aux étudiants, mais une fois qu'ils sont avertis, pourquoi pas leur (et nous) épargner des lourdeurs rédactionnelles ?

Je pose la question sans arrière pensée, j'ai essayé les deux versions.

Mr J,

Je pense que tu peux suivre sans risque l'exemple de Daniel Perrin qui distingue aussi les deux formules :
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/enseignement/integrationpremiercycle.pdf?11

Je ne m'étonne plus de rien. J'ai des élèves de 2ème année de l'une des meilleures prépas de France, et j'ai déjà vu certains hésiter pendant près de 10 minutes quand je leur demandais pour quelles valeur de $x$ la fonction $t\mapsto \frac{1}{t+x}$ est continue sur $[0,1]$.

Pour beaucoup, affirmer qu'une fonction est continue (ou dérivable), est une sorte de rituel - "Par les théorèmes usuels, on montre que ..." - à invoquer en début d'exercice et qui permet que le prof soit content. C'est complètement indépendant du fait que certains théorèmes requièrent telle ou telle propriété de continuité ou de dérivabilité.

bisam a écrit:

Calculer \ en posant $t=\tan(\theta)$.

C'est un très bon exemple qu'on peut traiter correctement en remarquant que le changement de variable $t=\tan(\theta)$ est valable sur chaque intervalle de l'ensemble de définition de $\tan$ : on identifie ainsi une primitive $\Phi(\theta)$ de $\frac{1}{2+\cos(2\theta)}$ sur la réunion des intervalles $I_{k} = \left]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right[$. La primitive définie sur $\mathbb{R}$, nulle en $0$ est de la forme $F(\theta) = \Phi(\Theta) + C_{k}$ sur $I_{k}$, les constantes $C_{k}$ se calculant par récurrence et des arguments de continuité.

Ici, inutile de calculer toutes les constantes $C_{k}$ puisque le calcul de $C_{0}$ (nul pour le choix le plus naturel de la primitive $\Phi$) et de $C_{1}$ suffit pour conclure.

L'hypothèse de stricte monotonie n'est absolument pas nécessaire pour faire des changements de variable dans les intégrales généralisées (c'est juste une hypothèse de travail qui simplifie la vie).

N’est-ce pas pour assurer que les fonctions sont continues par morceaux ?
J’ai croisé quelques discussions. Cette question (pourquoi bijectif ?) est redondante.
Pour Riemann on parle souvent de fonctions continues par morceaux (on laisse de côté le fonctions réglées).
Mais la composition ne la conserve pas. Peut-être est-ce la seule raison ?
La stricte monotonie permet de garder la continuité par morceaux par composition si je ne dis pas de bêtise…

On voit rarement dans les cours d’intégration des théorèmes sur la composition.
Le cas « seulement continue » est pratique finalement mais restrictif.

Héhéhé,

Selon, alors, il n’y a qu’une flemme dans tous ces cours d’intégration qui ajoutent « strictement monotone » ou « bijective » ?
Mon avis est que l’on désire que l’intégrande soit au moins localement intégrable.
Mais je suis d’accord que cette existence de l’intégrale est déjà un problème sur un segment (encore que la définition « continue par morceaux » sur un ouvert ou un non bornée semble plus souple).