Quand trivial rime avec compliqué...
Bonjour à tous,
je donne des cours de soutien scolaire en mathématiques à une jeune étudiante de quatrième.
Son principal défaut est la spontanéité, elle a une fâcheuse tendance à raisonner trop vite, et ainsi de me donner des résultats faux après 5 secondes de réflexion.
Malgré tout, c'est une très bonne élève qui se rend bien compte de ses erreurs et qui sait les expliquer, a posteirori.
Ainsi, elle est convaincue (pour trois entiers a,b,c) que :
a + b/c = (a + b)/c
Je lui ai bien montré des exemples calculatoires qui montrent que cette relation est fausse (à quelques cas particuliers près). Malgré cela, elle trouve que sa relation est plus "logique". Je n'ai pas été capable de lui démontrer, concrètement, que cela est faux.
Auriez-vous donc un exemple physique, concret à me proposer, afin de lui montrer à quel point sa relation est fausse. L'idéal serait de lui faire constater les absurdes conséquences que cette relation impliqueraient.
Bref, désolé pour ce pavé, traitant d'une question triviale.
Merci d'avance...
je donne des cours de soutien scolaire en mathématiques à une jeune étudiante de quatrième.
Son principal défaut est la spontanéité, elle a une fâcheuse tendance à raisonner trop vite, et ainsi de me donner des résultats faux après 5 secondes de réflexion.
Malgré tout, c'est une très bonne élève qui se rend bien compte de ses erreurs et qui sait les expliquer, a posteirori.
Ainsi, elle est convaincue (pour trois entiers a,b,c) que :
a + b/c = (a + b)/c
Je lui ai bien montré des exemples calculatoires qui montrent que cette relation est fausse (à quelques cas particuliers près). Malgré cela, elle trouve que sa relation est plus "logique". Je n'ai pas été capable de lui démontrer, concrètement, que cela est faux.
Auriez-vous donc un exemple physique, concret à me proposer, afin de lui montrer à quel point sa relation est fausse. L'idéal serait de lui faire constater les absurdes conséquences que cette relation impliqueraient.
Bref, désolé pour ce pavé, traitant d'une question triviale.
Merci d'avance...
Réponses
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Salut
Contre exemple au raz des paquerettes : 1 gateau + un demi gateau = 1 gateau
Si ça c'est pas absurde !
a+ -
Il s’agit d’un problème avec les priorités et ici d’une distributivité.
(a + b)/c = a/c + b/c est une distributivité à droite, qui est fausse à gauche. C’est (a + b)×(1/c) = a×(1/c) + b×(1/c).
Encore une manière de voir, a est la fraction a/1 et ensuite il faut tout écrire au même dénominateur pour pouvoir ajouter.
Essaie avec des cas où les divisions tombent juste, par exemple 4+6/2=7 et (4+6)/2=5.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour
L'attitude péremptoire et pontifiante :
Tu as écrit : a+b/c . Cela ne veut rien dire du tout !
C'est très mal d'oublier les parenthèses. Tu devais écrire :
a+(b/c)
ou
(a+b)/c
Ce n'est pas du tout pareil.
La prochaine fois que tu ne mets pas les parenthèses, gare au bonnet d'âne !!!
...
Bien sûr, une fois cela bien admis, on peut se permettre d'expliquer pourquoi les partisans du moindre effort ne se fatiguent pas à écrire toutes les parenthèses ... à condition de respecter un ordre conventionnel de priorité des opérations. -
Bonjour.
Je soutiens jj : La réflexion de ton élève est correcte : c'est plus logique. Il reste à voir pourquoi on a décidé d'abandonner la logique (celle de 2 + 3 - 4) au profit d'une écriture plus concise; lui montrer l'avantage de nos notations habituelles.
Cordialement -
Il faudrait que Rolf nous donne des nouvelles, mais je ne suis pas sûr que le problème vienne d'une difficulté avec les priorités opératoires.
Rolf, tu précises que c'est une bonne élève. En général les bons élèves de 4ème n'ont aucun soucis avec les règles de priorité.
Pour s'en assurer, tu n'as qu'à lui demander des calculs genre $5+3\times 4$.
Ecrit sans Latex, a+b/c=(a+b)/c fait vraiment penser à une erreur de ce type. Mais sur un cahier, on écrit plutôt $$5+\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$$
(J'ai pris un exemple numérique puisqu'en 4ème on écrit rarement sous formes littérales en dehors du cours.)
L'erreur de priorité est moins flagrante je trouve que par exemple ici :
$$\frac{5}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{3}\times\frac{1}{2}$$
Il est bizarre que ton élève ne soit pas convaicue par des contres exemples numériques.
Une autre possibilité est de choisir des valeurs pour lequelles on peut utiliser l'écriture décimale. Par exemple :
$3+\frac{1}{4}=3+0.25=3.25$ alors qu'elle va trouver $\frac{3+1}{4}=1$.
A suivre...
a+
{\it Je n'ai pas été capable de lui démontrer, concrètement, que cela est faux.}
Pour démontrer qu'une propriété est fausse, un contre exemple suffit. Si cela ne suffit pas, il faut effectivement trouver quelque chose qui marque l'esprit (d'où mon histoire de gateau). -
Bonjour,
il semble que vous faites erreur.
Les exercices que je lui donne sont écrits correctement. J'ai écrit ici a+b/c juste sur ce forum pour aller vite (du LaTeX pr si peu, à quoi bon...).
Tout ce que je cherche, c'est effectivement un contre-exemple marquant. (Trouver un contre-exemple sur ce genre de difficultés, c'est encore dans mes cordes, aussi idiot que je puisse paraître).
Quoiqu'il en soit, merci pour les quelques exemples que vous m'avez donnés. -
Bonsoir Rolf.
Je ne comprends pas ce que tu appelles un "contre-exemple". Le fond du problème est bien les règles de priorité des opérations, pas le résultat.
Si je décide que $2 + \frac{5}{7}$ signifie (2 + 5) : 7, je calcule comme ton élève. Ce n'est qu'une question de convention d'écriture. A d'autres niveaux, ça donne des discussions homériques sur ce site (va voir $0^0$ ou $i^i$).
Il me semble que la vraie question est l'utilisation du trait de fraction, la différence entre $2 + \frac{5}{7}$ et $ \frac{2 + 5}{7}$. Mais je n'ai pas ton élève devant moi.
Cordialement -
Moi non plus je ne suis pas sûr de bien comprendre où se situe la difficulté mais bon. Disons que j'ai a=100 euros et b=20 euros, à partager entre c=10 personnes. Soit je partage la totalité et tout le monde obtient (a+b)/c=12 euros, soit je ne partage que b et je garde a pour moi auquel cas je reçois a+b/c=102 euros alors que les 9 autres reçoivent b/c=2 euros. J'ai remarqué que les contre-exemples en euros étaient souvent plus marquants !
-
Salut Rodolf,
tu peux prendre un exemple avec de l'argent (ça les frappe assez bien), ou bien (ça marche également très bien) avec des morceaux de sucres :
a = 2 sucres
b = 1 sucre
2 sucres + 1/2 sucre = 2 sucres et 1/2 sucre et PAS : 2 sucres + 1 sucre le tout divisé par deux (soit 1 sucre et demi).
Quant à l'aspect "logique", tu peux lui dire :
"Penses-tu qu'il soit logique, si on a 2 yaourts versés dans une assiette, et qu' on rajoute 1/3 du même type de yaourt, que finalement on ait dans l'assiette 1 yaourt??"
Fais gaffe pour les sucres certaines familles sont abonnées aux sucrettes...
Bon courage.
Emmanuel -
Bonjour.
C'est amusant comme tous les exemples qui sont proposés partent du principe que $a + \frac{b}{c}$ signifie a + ( b : c ) (avec la convention que l'intérieur d'une parenthèse se calcule avant les calculs extérieurs à la parenthèse.
J'espère que Rolf nous dira ce qui posait problème à son élève, en particulier pourquoi "c'est plus logique" de calculer autrement.
Cordialement -
Je pense qu'il faut se demander ce que a+b/c peut bien signifier dans la tête de cette élève ? J'ai été élève, prof, j'ai vu des gens expliqué des choses et j'ai remarqué que la faute pédagogique que pratiquent beaucoup de prof est de vouloir dire ça c'est ça et ne pas vouloir chercher à fouiller la tête de son élève, de comprendre son langage et ses objets. Les profs se rendraient alors compte que les élèves (et même les cancres, je l'ai vérifé) ont de très bonnes idées.
Et Egoroff oui effectivement on ne devrait pas parler de maths sans parler d'argent, tout le monde comprend l'argent, les claques dans la gueule aussi (je parle pas d'en mettre mais d'employer << la claque dans la gueule >> comme unité, vous verrez que les cancres comprendront tout d'un coup).
Dans le même esprit : je sais que n'importe qui sur la terre connait intrinsèquement le théorème de Thalès (si tout le monde sait que si un pain au chocolat ça coute 80 centimes, alors 2 pains au chocolat ça coute 160 centimes, et si ça ce n'est pas le théorème de Thalès...) mais qu'aucun prof n'est capable de dire que Thalès, les proportions, les echelles, la règle de trois sont une seule et même chose. Oui je sais vous n'allez surement pas être d'accord mais bon... Par contre Pythagore, c'est chaud, bien qu'on ai une jolie preuve graphique avec des triangles qu'on bouge dans un carré. -
Rolf
Pourquoi ne pas lui faire résoudre l'équation :
a+b/c=(a+b)/c
on montre, pour tout a<>0 et b quelconque, que c'est vrai seulement si c =1
donc pour tout c<>1 l'égalité est fausse cela devrait convaincre ton élève non ? -
Spammer écrivait:
> j'ai remarqué que la faute pédagogique
Je me méfie de la notion de faute pédagogique.
> Dans le même esprit : je sais que n'importe qui sur la terre connait intrinsèquement le théorème de Thalès (si tout le monde sait que si un pain au chocolat ça coute 80 centimes, alors 2 pains au chocolat ça coute 160 centimes,
C’est plutôt la version numérique.
> mais qu'aucun prof n'est capable de dire que Thalès, les proportions, les échelles, la règle de trois sont une seule et même chose.
Si, et je le dis dès la sixième (sauf pour Thalès, quoique), et sans oublier les fractions égales.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
nicolas.patrois > Donc, tu confirmes ce que j'ai écrit. Dis le tu serais surpris de l'efficacité (ha oui j'ai oublié de dire que les fractions rentraient aussi dans la liste Thalès).
Dans le même esprit, pour expliquer les variables. Les gens comprennent très bien ce genre de chose :
Jean mange du chocolat.
Pierre mange une poire.
qqn mange une poire.
Qui est qqn ?
Et vous verrez ils se rendront compte qu'ils utilisent les variables depuis qu'ils savent parler. Le quelqu'un étant la variable et Jean et Pierre des spécifications.
Voilà c'est juste pour donner mon avis sur l'enseignement des mathématiques, car rien de plus énervant que d'entendre le discours suivant :
C'est quoi un groupe ? (question posée par le vulgus pecus)
C'est un truc munie d'une loi associative, qui vérifie que chaque élément a un inverse...
Faut pas s'étonner qu'après peu de gens comprennent.
Et je n'exagère pas, c'est là le style de réponse d'environ 90% des profs de maths (avec qui j'étais souvent en guerre d'ailleurs).
[Spammer : évite de citer in extenso le message précédent. Cela ne fait qu'allourdir inutilement le fil. AD] -
Bonsoir,
j'en reviens à l'idée de Gerard : si on me définit deux lois sur un ensemble E appelons les * et # alors si on décide de noter a # b * c sans parenthèses la convention que je choisirai a-priori sera l'ordre (a # b) * c.
C'est bel et bien le calcul qu'on fait quand on écrit a1*a2*...*an où * est une loi quelconque pas forcément associative.
Maintenant il faudrait savoir pourquoi on a décidé de donner la priorité à la multiplication. -
Blueberry,
La priorité à la multiplication est très naturelle, et historiquement elle a été utilisée sans formalisation. On écrit "2 x" comme on écrit "deux vaches". L'habitude est restée, mais est incomprise par certains. Moi, j'ai découvert récemment que pour certains de mes étudiants, la parenthèse est un symbole de multiplication (c'est quasiment dit dans certains mode d'emploi de calculettes !) : 2(1+4) signifie bien 2 * 5. Mais alors sin(30°) signifie ...?
Cordialement -
Peut être qu’il aurait du demander à son élève pourquoi dans sa logique elle rajoute les parenthèses (a+b) alors que l’énoncé n’en prévoit pas !
Puis de là, puisqu’elle considère l’équation comme une suite d’opération naïve 1,+2,/3
d’abord l’addition puis la division ;
lui dire tout simplement l’ordre de priorité des l’instant où il n’y a pas de « virgules » parenthèses ; car il est illogique de mettre des virgules ou parenthèse dans un énoncé ou équation qui n’en contient pas !
C’est une règle de priorité point barre !
En 4ème on ne doit pas calculer de façon naïve. -
Ce n'est pas si simple que ça. Quand tu tapes $\dfrac{x + y}{z}$ à la calculatrice, ça donne $(x + y)/z$. Tu as bien rajouté des parenthèses qui n'existaient pas.
[La case $\LaTeX$.
AD] -
En ce qui concerne les priorités opératoires, notamment celle de la multiplication par rapport à l'addition. Concrètement le fait de dire que 3 + 5 * 7 = 38 en effectuant dans un premier temps la multiplication, est une histoire de convention.On aurait pu donner la priorité à l'addition, ou imposer de toujours effectuer les caculs de la gauche vers la droite, ou bien de la droite vers la gauche, ou bien un coup à droite suivit d'un coup à gauche...
Mais il me semble que de donner la priorité à la multiplication permet ultérieurement (je pense au calcul littéral) d'utiliser le moins de parenthèses possibles.
Petit exemple :
supposons que l'on ait donné la priorité à l'addition. Pour fixer les esprits on aurait 3 + 5 * 7 = 56.(ok!!!!!!)
Dans ce cas parlons de la distributivité de la * par rapport à +
a + b * c = (a * c) + (b * c) (l'utilisation des parenthèses serait donc ici obligatoire)
Il doit y avoir d'autres raisons (je suis preneur) -
Allez, mon petit grain de sel ...
Quand une gamine de 4ème, fût-elle plutôt meilleure que les autres élèves de sa classe, dit que quelque chose lui paraît « plus logique », il faut aussi imaginer un peu ce qu'elle entend par « logique » : ce n'est probablement pas ce que nous, mathématiciens plus aguerris, y mettons.
Dans le cas de cette fille, ça peut vouloir tout simplement dire « plus facile » ou (un petit peu plus élaboré) « plus intuitif », autrement dit cela traduirait une difficulté classique à se plier à une règle et à des conventions d'écriture.
J'ajoute que cette hypothèse me semble compatible avec son indifférence aux contre-exemples. -
bonjour
l'indifférence de ton élève aux contre-exemples est inquiétante car sa logique alors tourne au totalitarisme
sinon le fait que son intelligence soit intuitive est plutôt bon signe, elle comprend vite et se pliera bientôt aux conventions d'écriture et de démonstrations nécessaires à la crédibilité de ses intuitions
cordialement -
On peut remarquer que si l'addition est prioritaire sur la multiplication, alors :
3 + 7 * 5 = 5 * 7 + 3 = 50 et 3 + 5 * 7 = 7 * 5 + 3 = 56
Il semblerait donc que 5 * 7 et 7 * 5 ne donnent pas le même résultat.
Les élèves sont habitués à la commutativité de la multiplication, il ne semble donc pas trop compliqué d'admettre que la multiplication doit être effectuée avant l'addition. -
Terrible erreur philippe.je reprends ton argument, mais en disant cette fois que les élèves sont habitués à la commutativité de l'addition, il serait donc "normal" que
3 + 7 * 5 = 7 + 3 * 5. On devrait donc commencer par la multiplication ....
Je te renvoie à mon message de vendredi dernier! Qu'en penses-tu?
IL me semble que le point de départ est de donner du sens à une expression sans parenthèses où figurent plusieurs opérations. -
Bonsoir,
la rège de priorité de la multiplication par rapport à l'addition ne peut être de nature "conventionnelle" (post de bobbyj).
Dans le Robert on trouve à "convention" : "Ce qui résulte d'un accord réciproque, d'une règle acceptée (et non de la nature)". Une convention est donc une proposition dont le contenu est totalement arbitraire et sans rapport avec les faits; ex : le potentiel 0 des couples Red/Ox est celui du couple H2/H+, c'est totalement conventionnel : on pourrait redéfinir le potentiel 0... ça changerait rien à la validité de ce qui a été fait avant. C'est pas du tout le cas avec la priorité de la multiplication sur l'addition.
Ca vient peut-être (?) de la structure de notre cerveau : face à 10 tas de 5 billes et un tas de 3 billes et à la question : combien de billes en tout? un enfant qui ne connait pas la règle de priorité va spontanément regrouper les tas identiques soit : 10x5 et ensuite "ce qui reste" soit +3.
Mais alors, pourquoi se trompent-ils (les élèves)? Peut-être parce qu'ils ne perçoivent plus l'aspect "identique" (3x5+2, c'est 5+5+5 + 2) cet aspect est "caché".
C'est une hypothèse...
A+
Emmanuel -
Je lui ai bien montré des exemples calculatoires qui montrent que cette relation est fausse (à quelques cas particuliers près). Malgré cela, elle trouve que sa relation est plus "logique". Je n'ai pas été capable de lui démontrer, concrètement, que cela est faux.
Tout le problème est dans cette phrase. Si tu veux soigner la "maladie" et pas seulement cacher les symptômes, il te faut clarifier les rôles.
A certains moments, la charge de la preuve est dans son camp. A elle alors de prouver qu'elle a raison d'affirmer a+b/c=(a+b)/c.
A d'autres moments la charge de la preuve t'appartient. Or tu ne pourras jamais lui prouver qu'on a eu raison de décider de manière purement conventionnelle que quand on n'écrit pas de parenthèses, elles se placent par convention autour de la division**. Tu ne pourras que l'informer de cette "convention internationale", et encore, il lui faudra te croire, quand tu prétendras que cette convention est "internationale".
avant toute chose, il faut dire à qui appartient la charge de la preuve!
** a+b/c=a+(b/c) par décision officelle de l'académie des sciences (et pour aucune autre raison :?)
Demande-lui si elle pense que (a+b)/c=a+(b/c), il n'est pas aussi évident qu'elle te répondra "oui, c'est certain".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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