paradoxe de Condorcet
Bonjour
Je suis en train de préparer un cours de proba niveau 1ère S .
Je tombe dand le livre sur le paradoxe de Condorcet.
Ecrit de manière synthétique on élabore un jeu dans lequel Alice a plus de chances de gagner que Justine, Justine a plus de chances de gagner que Mathilde mais dans lequel Mathilde a plus de chances de gagner qu'Alice.
Même si un telle situation peut paraître contre intuitive (certains diraient qu'Alice a plus de chances de gagner que Mathilde), en quoi est-elle paradoxale. Que doit on décortiquer avec les élèves pour lever le paradoxe (Je ne parle pas bien sûr de faire les calculs de probabilités pour démontrer les inégalités, mais d'analyser plus en profondeur les causes de cet apparent paradoxe)?.
Je suis en train de préparer un cours de proba niveau 1ère S .
Je tombe dand le livre sur le paradoxe de Condorcet.
Ecrit de manière synthétique on élabore un jeu dans lequel Alice a plus de chances de gagner que Justine, Justine a plus de chances de gagner que Mathilde mais dans lequel Mathilde a plus de chances de gagner qu'Alice.
Même si un telle situation peut paraître contre intuitive (certains diraient qu'Alice a plus de chances de gagner que Mathilde), en quoi est-elle paradoxale. Que doit on décortiquer avec les élèves pour lever le paradoxe (Je ne parle pas bien sûr de faire les calculs de probabilités pour démontrer les inégalités, mais d'analyser plus en profondeur les causes de cet apparent paradoxe)?.
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Réponses
La situation du paradoxe de Condorcet n'est en rien paradoxale. Elle est du même type que le jeu "caillou-ciseaux-papier" que connaissent de nombreux gamins (le caillou gagne sur les ciseaux car le caillou casse les ciseaux; les ciseaux gagnent sur le papier car ils le coupent; le papier gagne sur le caillou car il l'enveloppe).
Ce qui est "paradoxal", disons irréfléchi, c'est de le traduire en termes de "Alice a plus de chances de gagner que Justine, Justine a plus de chances de gagner que Mathilde mais dans lequel Mathilde a plus de chances de gagner qu'Alice". Car on fait irrésistiblement penser à une situation probabiliste, alors qu'il n'y a pas d'univers probabilisé contenant les trois événements simultanément.
Il faut faire attention à l'utilisation du mot "probabilité", et savoir que les "chances" ne sont généralement pas des probabilités, même si les probabilités sont sorties de réflexions sur les jeux de hasard. Par exemple "j'ai eu de la chance" signifie parfois "la probabilité était faible", et généralement ne correspond pas à une situation probabiliste (événement unique).
Voir aussi le questionnement de d'Alembert dans la controverse sur la variolisation au XVIIIième siècle.
Cordialement.
Avec un jeu de dés cela serait peut-être frappant.
Sauf qu'il n'est pas précisé la règle de gain :
* Soit c'est un jeu classique à deux, avec la règle "le meilleur résultat gagne", et les probabilités sont des probabilités de gain.
* Soit on joue à trois, et les calculs sont différents (les probabilités présentées ne sont que celle du jeu à deux joueurs).
L'analyse plus complète est parue dans "Pour la Science" il y a quelques années, je ne me souviens plus quand.
En tout cas, traiter ce genre de question en première S est délicat, "probablement" une mauvaise idée, alors même que la plupart des élèves ont une sainte horreur des probabilités. Alors que le plus important n'est pas les petits jeux de matheux, mais la compréhension de la modélisation probabiliste et de ses limites. Rien d'étonnant après que de nombreux "matheux" considèrent les probas comme "pas des maths", sans parles des stats...
Cordialement
Lors de 3 référendums, A est préféré à B par une majorité, B est préféré à C par une majorité, C est préféré à A par une majorité. (1)
Dans 3 référundums, il y a aussi le fait (c'est la même chose) que X soit préféré à non X; Y soit préféré à nonY; alors non(X et Y) est préféré à X et Y. (2)
Sous la forme (2) ça prend une tournure conflictuelle (le mot "paradoxe" est un peu usurpée, mais c'est le nom historique)
(3) Une forme plus violente est: A(0) est voté à l'unanimité*; ainsi que A(n)-->A(n+1) à l'unanimité*, bien que nonA(1000000) soit aussi voté à l'unanimité*
*(casi: proportion des "non" négligeable)
(3) est encore plus conflictuel car souvent le "peuple" n'est pas du tout, mais du tout conscient de l'impossibilité de sa demande.
d'accord avec toi: mieux vaut s'abstenir avec les S sur ce genre de sujet (surtout si c'est pas 100% clair dans la tête du prof!)
tu dis
"il n'y a pas d'univers probabilisé contenant les trois événements simultanément"
De quels événements s'agit il?
si je considère que Alice tire dans l'urne U1 qui contient 1,6,8
Justine dans l'urne U2 qui contient 2,4,9
Mathlide dans l'urne U3 qui contient 3,5,7
Comment expliquer que l'ensemble U des triplets (u1,u2,u3) (u1 dans U1, u2 dans U2 et u3 dans U3) n'est pas un univers pour la présente situation?
Quand je disais :"il n'y a pas d'univers probabilisé contenant les trois événements simultanément", c'est à propos de la phrase :
"Alice a plus de chances de gagner que Justine, Justine a plus de chances de gagner que Mathilde mais dans lequel Mathilde a plus de chances de gagner qu'Alice".
Les trois événements sont A = "Alice gagne", J = "Justine gagne" et M = "Mathilde gagne", mais ma formulation était un peu fautive. j'aurais dû dire "il n'y a pas d'univers dans lequel on peut réaliser P(A)>P(J), P(J)>P(M) et P(M)>P(A)". C'est évident, mais si on peut en trouver une, CC a gagné, on a trouvé une faille dans ZFC.
C'est pourquoi, ensuite, je suis revenu sur le fait qu'il faut définir clairement le règlement du jeu à trois (les univers dans lesquels on a P(A)>P(J) ne concernent qu'un jeu à deux).
Cordialement