 |
|
 |
| |
Expliquer la dérivation des fonctions composées
Bonjour, dans le cadre de cours particuliers de mathématiques que je donne à des lycéens, il m'est arrivé de constater que le théorème de dérivation des fonctions composées a du mal à passer. La démonstration que je donne consiste à multiplier et diviser le taux d'accroissement par  , mais ils trouvent cela "sorti du chapeau". Je n'arrive pas à donner l'explication intuitive à la formule. Ce qui me paraît le plus étrange est que celle du produit passe mieux, alors qu'elle n'est pas forcément plus simple à interpréter. Connaissez-vous une méthode astucieuse qui rende la formule plus intuitive? Code LaTeX
Bonjour,
dans le cadre de cours particuliers de mathématiques que je donne à des lycéens, il m'est arrivé de constater que le théorème de dérivation des fonctions composées a du mal à passer.
La démonstration que je donne consiste à multiplier et diviser le taux d'accroissement par $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$, mais ils trouvent cela "sorti du chapeau".
Je n'arrive pas à donner l'explication intuitive à la formule. Ce qui me paraît le plus étrange est que celle du produit passe mieux, alors qu'elle n'est pas forcément plus simple à interpréter.
Connaissez-vous une méthode astucieuse qui rende la formule plus intuitive?
Bonsoir girdav Comme les physiciens :  En faisant gaffe : Le physicien, individu fourbe, travaille avec des grandeurs tandis que le matheux travaille avec des fonctions. Ici  est une grandeur. e.v. Code LaTeX
Bonsoir girdav
Comme les physiciens~:
$\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du}\times \dfrac{du}{dx}$
En faisant gaffe~: Le physicien, individu fourbe, travaille avec des grandeurs tandis que le matheux travaille avec des fonctions. Ici $f$ est une grandeur.
e.v.
Oui, il faut justifier les notations  et  : je ne perds rien à essayer. Surtout qu'ils ont déjà dû croiser ces notations dans le cadre du cours de physique. Code LaTeX
Oui, il faut justifier les notations $df$ et $dx$: je ne perds rien à essayer. Surtout qu'ils ont déjà dû croiser ces notations dans le cadre du cours de physique.
Citation
ev
Le physicien, individu fourbe
ça mérite une belle fessée ça.
Bonsoir,
En fait ce n'est pas si sorti du chapeau que cela à partir du moment où on y voit un peu plus d'intuition dans la démarche.
Effet, pour trouver la dérivée d'une fonction composée, on doit étudier la limite de:
[ GoF(x+h) - GoF(x) ] /h lorsque h tend vers 0.
Or GoF(x+h) - GoF(x) =G[F(x+h)]- G[F(x)]
Si je pose, X=F(x+h) et Y=F(x), on constate par continuité que X tend vers Y lors que h tend vers 0. Par conséquent:
GoF(x+h) - GoF(x)= G(X)-G(Y)
De plus, nous savons que G est dérivable en Y par hypothèse et que la taux d'accroissement en Y de G s'écrit: pour tout X différent de Y, [G(X)-G(Y)] / [X-Y] et on cherche la limite lorsque X tend vers Y.
Du coup, il est intuitif de se ramener au cadre qu'on connaît en divisant par X-Y c'est à dire F(x+h) - F(x). Or n'ayant pas le droit de changer mon égalité, il faut toujours multiplier par 1 c'est à dire qu'ici, il va falloir multiplier par 1=[X-Y] / [X-Y].
La motivation principale étant de se ramener à quelque chose de connu et je pense que c'est cela qui fait moins "sorti du chapeau". Même si je ne sais pas si cela les convaincra plus mais je l'espère (pour moi, dans mes cours, ça """"à l'air de passer"""" en tout cas).
Il serait plus intuitif encore de considérer le taux d'accroissement non pas avec x+h mais avec x et y comme ceci:
[ GoF(y) - GoF(x) ] / (y-x)
Celà sera encore plus compréhensible je pense car la forme rechercher sera encore plus proche que celle que nous avons sous les yeux.
Le taux d'accroissement sous la forme  devrait sans doute mieux passer. En fait je remarque que ce théorème est l'un des plus important de tout l'analyse faite au lycée. Les études de fonctions deviennent un jeu d'enfant puisque les fonctions sont construites à partir du stock des fonctions élémentaires, avec des sommes, des produits et des composées. La recherche de primitives devient beaucoup plus aisée également. Merci Rémi et ev! Code LaTeX
Le taux d'accroissement sous la forme $\dfrac{g\circ f \left(x\right)-g\circ f \left(y\right)}{x-y}$ devrait sans doute mieux passer.
En fait je remarque que ce théorème est l'un des plus important de tout l'analyse faite au lycée.
Les études de fonctions deviennent un jeu d'enfant puisque les fonctions sont construites à partir du stock des fonctions élémentaires, avec des sommes, des produits et des composées. La recherche de primitives devient beaucoup plus aisée également.
Merci Rémi et ev!
Puis-je me permettre de donner mon avis ?
Oui ? Bon alors j'y vais:
Ce que les élèves trouvent difficile dans la dérivation des fonctions composées, ce n'est pas le résultat ni la façon de l'obtenir. C'est la notion de fonction composée.
e.v.
Pourquoi ne pas utiliser l'approximation affine? Les connaissant ces chers lycéens, voila ce qu'il préfère, qu'il trouve plus intuitif: ![$ g \circ f(a+h)=g[f(a+h)]\approx g[\underbrace{f(a)}_{A}+\underbrace{h\times f'......{H \rightarrow 0}] \approx g(A)+H \times g'(A) \approx g(f(a))+h f'(a) g'(f(a))$](thumb.php?dt=20100123&msg=454&th=1) . En mettant de coté la rigueur pour se représenter les choses, ils l'accepteront mieux lorsqu'ils auront vu vraiment que ce n'est pas un artifice. PS: J'ai déjà rencontrer une démonstration avec l'approx affine plus rigoureuse dans un manuel mais je ne sais plus lequel Code LaTeX
Pourquoi ne pas utiliser l'approximation affine?
Les connaissant ces chers lycéens, voila ce qu'il préfère, qu'il trouve plus intuitif:
$g \circ f(a+h)=g[f(a+h)]\approx g[\underbrace{f(a)}_{A}+\underbrace{h\times f'(a)}_{H \rightarrow 0}] \approx g(A)+H \times g'(A) \approx g(f(a))+h f'(a) g'(f(a))$.
En mettant de coté la rigueur pour se représenter les choses, ils l'accepteront mieux lorsqu'ils auront vu vraiment que ce n'est pas un artifice.
PS: J'ai déjà rencontrer une démonstration avec l'approx affine plus rigoureuse dans un manuel mais je ne sais plus lequel
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par qadassi.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/01/2010 par qadassi.
 et ev a manqué de couilles pour aller jusqu'au bout de son opinion (que je partage): c'est la notion de fonction tout court.
cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"
En fait j'essaie d'être le plus concret possible quand on par le de fonctions.
C'est "juste" une "machine qui prend un nombre réel et qui en renvoie un autre". La composition consiste à brancher les machines "en série".
Aie Aie, Girdav !
Christophe va sauter en l'air ! Mais il est vrai que pour expliquer la dérivation des fonctions composées, c'est plus pratique que la fonction, partie spécialisée d'un produit d'ensembles.
Allons plus loin, pour revenir à l'intuition qui a fondé ces notions au XVII ième siècle. Si y = f(x), alors quand x "bouge", y bouge aussi (éventuellement pas du tout si la fonction est constante). La dérivée f'(x) (*) indique la vitesse à laquelle y bouge quand x bouge régulièrement. Maintenant, si z=g(y) (donc z=g(f(x) = h(x) où h est la composée), quand x bouge, f(x) bouge, donc f'(x) va intervenir, et l'effet de x sur y sera d'autant plus grand que f'(x) l'est. Ensuite, g'(y) mesure l'effet de la variation de y sur celle de z. Donc la formule de h'(x) doit faire intervenir et f'(x) et g'(y). Le miracles c'est qu'elle le fait très simplement : h'(x) = f'(x) g'(y). Pourquoi ? Parce que le calcul le montre ! (**)
Cordialement
(*) On est dans l'intuitif, je ne sépare pas le nombre dérivé de l'expression de la dérivée, fonction.
(**) Exactement la même réponse qu'à la question "pourquoi 4 fois 25 ça fait 100 ? Inutile de chercher des "raisons" aux résultats des calculs, ce serait de le numérologie.
Non, non je saute pas en l'air, ça dépend du contexte. Là s'il s'agit "pragmatiquement" de livrer une image mentale, pourquoi pas. Mais à mon sens, l'approche différentielle (mot savant, mais abordable) est encore la mieux. Proche de  , la fonction f se comporte de manière proche d'une fonction affine de code  et proche de  , la fonction  se comporte de manière proche d'une fonction affine  Proche de la fonction  se compote de manière proche de la fonction  de coef dir ut. En considérant les coefficients directeurs:  et  on obtient  La seule chose qui n'est pas définie (mais apparait avec des occurences formelles) est "proche de". Bon, j'ai pas économisé les lettres, mais on peut reformuler de la manière suivante: proche de :  ![$ f[g(a)+g'(a)\times petit+ultrapetit] = f(g(a)) +f'(g(a))\times g'(a)\times petit + f'(g(a))\times ultrapetit + ultrapetit_2$](thumb.php?dt=20100124&msg=231&th=12)  ce qui met en gras l'importance des rôles analogues de  et de  Comme c'est juste une explication psycho qui est attendue... Code LaTeX
Non, non je saute pas en l'air, ça dépend du contexte. Là s'il s'agit "pragmatiquement" de livrer une image mentale, pourquoi pas.
Mais à mon sens, l'approche différentielle (mot savant, mais abordable) est encore la mieux.
Proche de $g(a)$, la fonction f se comporte de manière proche d'une fonction affine de code $x\mapsto ux+v$ et proche de $a$, la fonction $g$ se comporte de manière proche d'une fonction affine $x\mapsto tx+z$
Proche de $a$ la fonction $fog$ se compote de manière proche de la fonction $x\mapsto u(tx+z)+v=utx+tant$ de coef dir ut.
En considérant les coefficients directeurs: $u:=f'(g(a))$ et $t:=g'(a)$ on obtient $(fog)'(a)=f'(g(a))\times g(a)$
La seule chose qui n'est pas définie (mais apparait avec des occurences formelles) est "proche de". Bon, j'ai pas économisé les lettres, mais on peut reformuler de la manière suivante:
proche de $a$:
$(fog)(a+petit) = f(g(a+petit))=$
$f[g(a)+g'(a)\times petit+ultrapetit] = f(g(a)) +f'(g(a))\times g'(a)\times petit + f'(g(a))\times ultrapetit + ultrapetit_2$
$(fog)(a+petit) =(fog)(a) + (fog)'(a)\times petit + ultrapetit_3$
ce qui met en gras l'importance des rôles analogues de $(fog)'(a)$ et de $f'(g(a))\times g(a)$
Comme c'est juste une explication psycho qui est attendue...
cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par christophe chalons.
cordialement, "On ne désire que ce qu'on n'a pas. Ce qu'on a, au mieux, on l'apprécie"
Modifié 3 fois. Dernière modification le 24/01/2010 par christophe chalons.
Chain rule, tout simplement.
J.
Attention quand vous divisez et que vous multipliez par f(x+h)-f(x) : cette quantité peut être nulle...
dopé écrivait:
-------------------------------------------------------
> Attention quand vous divisez et que vous
> multipliez par f(x+h)-f(x) : cette quantité peut
> être nulle...
Et oui, et malheureusement on rencontre cette erreur très souvent dans des bouquins ou des poly de profs sur le net ... Elle est pourtant énorme cette erreur!
Oui, mais après il faut expliquer aux élèves le problème. Le fait de le passer sous silence est jugé préférable.
girdav écrivait:
-------------------------------------------------------
> Oui, mais après il faut expliquer aux élèves le
> problème. Le fait de le passer sous silence est
> jugé préférable.
On reconnaît bien là toute la philosophie de l'enseignement actuel dans le secondaire, mille fois hélas...
Eh oui, on préfère contourner les problèmes plutôt que, à défaut de les résoudre, au moins indiquer qu'il y en a un.
On préfère donner des "calculs de bourrins" aux élèves plutôt que de les faire comprendre ce qu'il y a derrière.
Résultat: on sort du lycée en sachant qu'une fonction continue est une "fonction dont le graphe se trace sans lever le crayon".
C'est triste comme constat mais à première vue c'est pourtant enseigné ainsi de façon intuitive et l'intuition est souvent ce qui reste aux non scientifique en fin de cursus. Comment leur ne vouloir de dire votre dernière phrase girdav alors qu'on leur a enseigné cette même phrase de façon intuitive pour aborder la notion de continuité?
Oui, mais le problème est que la rigueur est sacrifiée au profit de l'intuition. Je me souviens des exercices où l'on a un graphique et on doit trouver les limites d'une fonction en  par exemple, sans que l'on aie la définition d'une limite ni la fonction en question. Mais il me semble que maintenant, au moins pour les suites, on donne une définition rigoureuse. Je te l'accorde Rémi, il faut une approche intuitive (tout le monde rentre dans le tuyau à partir d'un certain rang). La rigueur et l'intuition semble donc être toutes deux indispensables. Code LaTeX
Oui, mais le problème est que la rigueur est sacrifiée au profit de l'intuition.
Je me souviens des exercices où l'on a un graphique et on doit trouver les limites d'une fonction en $+\infty$ par exemple, sans que l'on aie la définition d'une limite ni la fonction en question.
Mais il me semble que maintenant, au moins pour les suites, on donne une définition rigoureuse.
Je te l'accorde Rémi, il faut une approche intuitive (tout le monde rentre dans le tuyau à partir d'un certain rang).
La rigueur et l'intuition semble donc être toutes deux indispensables.
Les-mathematiques.net - Statistiques du forum
Total
Discussions: 68 153, Messages: 585 304, Utilisateurs: 4 447.
Notre dernier utilisateur inscrit LePébron.
Ce forum
Discussions: 294, Messages: 4 499.
|
|
|
|
 |
 |
 |
©Emmanuel
Vieillard Baron 01-01-2001
|
|
