Expliquer la dérivation des fonctions composées

Justement, je suis bien d'accord : la méthode "miraculeuse" de Rémi me paraît tout simplement complètement incorrecte : on ne peut pas multiplier et diviser par f(a+h)-f(a) sans s'assurer que ceci n'est jamais nul dans un voisinage de a.
Par exemple, si f est constante, ça n'a aucun sens.

Je n'utilise que les développements limités d'ordre 1 en TS, car c'est la seule méthode rigoureuse que je vois : les lycéens ont bcp de mal à suivre mais on y arrive !

Ceci dit, la démo "incorrecte" m'intrigue car je la trouve partout, même dans le cours de certains profs du supérieur.
Du coup, je doute et j'en arrive à me poser une question : peut-on construire une fonction f dérivable, non constante localement en a, telle que f(a+h)-f(a) s'annule au moins une fois sur TOUT voisinage de 0 ?
Graphiquement, je pense que oui, mais je n'en vois pas...

Si vous avez des idées !

Hervé

Celle-là : pour , .

Evidemment, ça marche bien !
Je pensais tout à l'heure à sin(1/x) mais ça buggait bien sûr : et pourtant c'est du bien classique !

Du coup, c'est bien ce que je pensais : ça veut dire que bcp de monde écrit n'importe quoi sur le net et dans ses cours (ce qui est plus inquiétant).
La démo par DL1 est donc la seule rigoureuse, comme prévu.

Merci pour la réponse !

Bonjour,

Je n'ai nullement prétendu être rigoureux et je l'ai écrit: "c'est plus intuitif". En conséquence, j'utilise de l'intuition et non de la rigueur. Je le regrette tout autant que toi mais je vois mal dans certaine classe parler de développement limité avec fonction epsilon qui tend vers 0.

Je t'accorde le fait que la """démonstration""" que je propose n'en est pas du tout une (dans le sens considère tous les cas) et j'en suis tout à fait conscient ne t'inquiète pas et pour mes élèves, je leur dis aussi qu'il ne s'agit pas d'une démonstration mais d'une intuition (="ce qui marche dans leur cadre de cours"). Si F est constante, on se ramène au cas sans composition, sinon j'exclu les fonctions qui s'annulent sur le voisinnage. Je ne pipote pas mais je n'ai pas une rigueur excellente, je te l'accorde. Le soucis étant de ne pas largué plus de la moitié des élèves sous prétexte de rigueur pour des fonctions qu'ils n'étudieront pour la plupart pas vu qu'ils arrêteront les maths pour leur plus grand plaisir.


La méthode n'est pas miraculeuse elle est juste restrictive et à vocation intuitive si tu veux.

La question est : veux tu être rigoureux ou veux tu qu'ils comprennent ? Si la rigueur bourbakiste a chaque moment du cours te parait primordiale, rapelle toi qu'il n'y a aucune définition de la limite au lycée... L'explication "physicienne" a l'avantage de permettre de retrouver la formule 10 ans plus tard...

Sinon, svp, enseignez la formule dans le bon sens, ie tel que la généralisation aux différentielles semble naturelle...

Composer deux fonctions ? C’est comme mettre bout à bout une pédale wah-wah et une boîte de distortion.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-

> La démo par DL1 est donc la seule rigoureuse, comme prévu.

Ben non, ce n'est pas la seul. On peut par exemple faire la "démo" classique en deux temps. S'il existe un voisinage de dans le quel ne prend pas la valeur (sauf en ). Là on fait la version intuitive.

Sinon on montre que et , du coup la formule est bien vraie.

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