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Ensemble de définition.

Envoyé par ev 
ev
Ensemble de définition.
il y a quatre années
avatar
Bonjour à tous.

Je suis en train de rédiger un corrigé d'un exercice. La notion d'ensemble de définition a toujours été pour moi claire comme du jus de boudin et j'ai du mal avec~:
Déterminer l'ensemble de définition de $1/f$ où $f$ est définie par l'expression $f(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$.

Est-ce que c'est $\mathbb R \setminus \{2\}$ ou $\mathbb R \setminus \{1,2\}$~?

Des avis~?

e.v.

Modifié: $\mathbb R \setminus \{1\}$ n'avait effectivement pas grand sens.
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
Les opérations forcent à avoir $\mathbb R \setminus \{1,2\}$.
Après on peut prolonger par continuité en 1 (petite coquille dans ta question ).

C'est ce que je fais en cours.
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
avatar
Bonsoir,

j'espère que ce fil va pas durer des pages.

A la Christophe, si j'ai bien compris ses interventions passées, cela n'a pas de sens dès le départ. Je fais pas le perroquet, je suis assez d'accord.

Question indiscrète : tu te places à quel niveau ?

Voyons la suite.

S
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
avatar
C'est rigolo, cette question.

En effet, on conçoit difficilement que $1/f$ puisse être définie là où $f$ ne l'est pas.
Je voterais donc pour $\mathbb R \setminus \{1,2\}$

... tout en remarquant que le fonction $x\longrightarrow \dfrac{x-2}{x-1}$ est un prolongement par continuité de $1/f$ en $2$

jacquot
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
C'est pourtant très simple, c'est une question de bon sens: si je dois calculer 1/f(x) que dois-je faire? Et bien je dois calculer f(x) puis prendre son inverse. La réponse coule alors de source.

Ce qui m'inquiète c'est que des enseignants en viennent à ce poser ce genre de question triviale...
ev
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
avatar
Bonsoir Incognito.

Je vais encore plus t'inquiéter: Quel est l'ensemble de définition de la fonction rationnelle associée à $1/f$ avec $f = \dfrac{X-2}{X-1}$~?

Pour moi une fonction étant livrée avec une source un but un graphe, la question d'ensemble de définition ne devrait jamais se poser. Une autre façon de voir, quand on me dit~: $f$ est définie par l'expression $f(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$, où est le quantificateur~?

Dans le problème qui nous concerne, est-ce qu'on travaille en formel avant d'inverser~?

amicalement,

e.v.
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
$f$ est une application de $\mathbb P^1(\mathbb R)$ dans lui-même...

Bon trêve de plaisanterie de mauvais goût, tu viens de mettre le doigt sur une des nombreuses hérésies du programme, le bon sens commanderait de donner l'ensemble avant d'introduire la fonction définie dessus... En fait quel est le sens de "l'ensemble de définition d'une expression"(cette chose ne peut pas être définie dans ZFC par ex)?

Et le programme officiel de l'E.N., il préconise quoi au fait?
ev
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
avatar
Merci Foys, de penser que le problème n'est pas clair.

L'EN (version lycée) n'y peut mais. Elle ne reconnaît pas le quantificateur.

Pour autant je serais plutôt de l'avis d'incognito, au vu de l'exemple suivant~:
Déterminer l'ensemble de définition de $g$, définie par l'expression $g(x) = \sqrt{-1-x^2} \times \sqrt{-2-x^2}$.

amicalement,

e.v.
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
le problème est que la solution proposée oblige à renoncer aux règles de l'algèbre(cf ton exemple $g$) et envisage la notion de fonction comme "procédé de calcul" (je fais des calculs dans l'ordre-le seul?-et s'il y a impossibilité c'est pas défini).

Allez, un dernier pour la route:
1)Donner les ensembles de définition de $x \mapsto \frac{x-2}{x-1}$ et de $\frac{x-3}{x-3}\cdot \frac{x-2}{x-1}$
2)(Renoncement à l'associativité) on rajoute un élément $\infty$ aux réels.
On prolonge $\times$ partiellement à $\mathbb R \bigcup \{ \infty\}$ comme suit: si $x \in \mathbb R_+^* \bigcup \{\infty \} $, $x \times \infty = \infty = \infty \times x$
Quel est l'ensemble de définition de $x,y,z \mapsto x \times y \times z$?

On va dire que 1) est un hommage aux profs qui luttent pour faire assimiler la notion de simplification des fractions...
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
ev écrivait:
-------------------------------------------------------
> Merci Foys, de penser que le problème n'est pas clair.
> L'EN (version lycée) n'y peut mais. Elle ne reconnaît pas le quantificateur.

C'est marrant parce que j'ai le souvenir d'un inspecteur qui nous disait à la rentrée qu'il fallait définir les fonctions affines en 3e par :

On dit qu'une fonction $f$ est affine si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x,\ f(x)=ax+b$.
Re: Ensemble de définition.
il y a quatre années
Citation
On dit qu'une fonction $ f$ est affine si et seulement si il existe deux réels $ a$ et $ b$ tels que pour tout réel $ x$ $ f(x)=ax+b$.
Comme quoi un et un cela ne fait pas toujours deux.
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