Ensemble de définition.

ev · October 2010

Bonjour à tous.

Je suis en train de rédiger un corrigé d'un exercice. La notion d'ensemble de définition a toujours été pour moi claire comme du jus de boudin et j'ai du mal avec~:
Déterminer l'ensemble de définition de $1/f$ où $f$ est définie par l'expression $f(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$.

Est-ce que c'est $\mathbb R \setminus \{2\}$ ou $\mathbb R \setminus \{1,2\}$~?

Des avis~?

e.v.

Modifié: $\mathbb R \setminus \{1\}$ n'avait effectivement pas grand sens.

Arnaud K · October 2010

Les opérations forcent à avoir $\mathbb R \setminus \{1,2\}$.
Après on peut prolonger par continuité en 1 (petite coquille dans ta question ).

C'est ce que je fais en cours.

samok · October 2010

Bonsoir,

j'espère que ce fil va pas durer des pages.

A la Christophe, si j'ai bien compris ses interventions passées, cela n'a pas de sens dès le départ. Je fais pas le perroquet, je suis assez d'accord.

Question indiscrète : tu te places à quel niveau ?

Voyons la suite.

S

jacquot · October 2010

C'est rigolo, cette question.

En effet, on conçoit difficilement que $1/f$ puisse être définie là où $f$ ne l'est pas.
Je voterais donc pour $\mathbb R \setminus \{1,2\}$

... tout en remarquant que le fonction $x\longrightarrow \dfrac{x-2}{x-1}$ est un prolongement par continuité de $1/f$ en $2$

jacquot

incognito · October 2010

C'est pourtant très simple, c'est une question de bon sens: si je dois calculer 1/f(x) que dois-je faire? Et bien je dois calculer f(x) puis prendre son inverse. La réponse coule alors de source.

Ce qui m'inquiète c'est que des enseignants en viennent à ce poser ce genre de question triviale...

ev · October 2010

Bonsoir Incognito.

Je vais encore plus t'inquiéter: Quel est l'ensemble de définition de la fonction rationnelle associée à $1/f$ avec $f = \dfrac{X-2}{X-1}$~?

Pour moi une fonction étant livrée avec une source un but un graphe, la question d'ensemble de définition ne devrait jamais se poser. Une autre façon de voir, quand on me dit~: $f$ est définie par l'expression $f(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$, où est le quantificateur~?

Dans le problème qui nous concerne, est-ce qu'on travaille en formel avant d'inverser~?

amicalement,

e.v.

Foys · October 2010

$f$ est une application de $\mathbb P^1(\mathbb R)$ dans lui-même...

Bon trêve de plaisanterie de mauvais goût, tu viens de mettre le doigt sur une des nombreuses hérésies du programme, le bon sens commanderait de donner l'ensemble avant d'introduire la fonction définie dessus... En fait quel est le sens de "l'ensemble de définition d'une expression"(cette chose ne peut pas être définie dans ZFC par ex)?

Et le programme officiel de l'E.N., il préconise quoi au fait?

ev · October 2010

Merci Foys, de penser que le problème n'est pas clair.

L'EN (version lycée) n'y peut mais. Elle ne reconnaît pas le quantificateur.

Pour autant je serais plutôt de l'avis d'incognito, au vu de l'exemple suivant~:
Déterminer l'ensemble de définition de $g$, définie par l'expression $g(x) = \sqrt{-1-x^2} \times \sqrt{-2-x^2}$.

amicalement,

e.v.

Foys · October 2010

le problème est que la solution proposée oblige à renoncer aux règles de l'algèbre(cf ton exemple $g$) et envisage la notion de fonction comme "procédé de calcul" (je fais des calculs dans l'ordre-le seul?-et s'il y a impossibilité c'est pas défini).

Allez, un dernier pour la route:
1)Donner les ensembles de définition de $x \mapsto \frac{x-2}{x-1}$ et de $\frac{x-3}{x-3}\cdot \frac{x-2}{x-1}$
2)(Renoncement à l'associativité) on rajoute un élément $\infty$ aux réels.
On prolonge $\times$ partiellement à $\mathbb R \bigcup \{ \infty\}$ comme suit: si $x \in \mathbb R_+^* \bigcup \{\infty \} $, $x \times \infty = \infty = \infty \times x$
Quel est l'ensemble de définition de $x,y,z \mapsto x \times y \times z$?

On va dire que 1) est un hommage aux profs qui luttent pour faire assimiler la notion de simplification des fractions...

Kupo · October 2010

ev écrivait:

> Merci Foys, de penser que le problème n'est pas clair.
> L'EN (version lycée) n'y peut mais. Elle ne reconnaît pas le quantificateur.

C'est marrant parce que j'ai le souvenir d'un inspecteur qui nous disait à la rentrée qu'il fallait définir les fonctions affines en 3e par :

On dit qu'une fonction $f$ est affine si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x,\ f(x)=ax+b$.