Soustraction avec retenue

JLT · July 2011

Il existe plusieurs méthodes de soustraction avec retenue. Voici un document qui en rappelle quelques-unes :
http://pernoux.pagesperso-orange.fr/soustraction.pdf

Quand j'étais à l'école primaire, j'ai appris la 2e méthode. Sans doute par conservatisme, j'ai tendance à penser qu'elle est meilleure que les autres. Mon fils a appris la 1e méthode en CE1, qui a première vue a l'air aussi commode d'utilisation que la 2e. Cependant, en lui demandant de calculer 3101-1999, je me suis rendu compte qu'elle nécessite un nombre important de ratures et de retenues en tout genre, ce qui ajouté au fait qu'un enfant de cet âge n'écrit pas très droit fait qu'on n'y voit plus rien. D'où mes questions :

1) Préférez-vous également, comme moi, la 2e méthode ?
2) Si oui, croyez-vous qu'il est utile de l'enseigner à un enfant qui a appris avec la 1e méthode, ou bien cela va-t-il lui embrouiller les idées ?

ptolemee0 · July 2011

1) Non, je préfère de loin la troisième méthode mentionnée dans le document. Je n'arrive d'ailleurs pas du tout à me souvenir quelle méthode on m'a enseigné...
2) si les instits insistent pour n'utiliser que celle là il faut peut-être attendre un peu, mais dans un an ou deux quand c'est bien acquis, pourquoi pas montrer d'autres méthodes avant d'entre en collège en effet.

christophe c · July 2011

C'est légèrement hors-sujet, mais cette écriture (voir ci-dessous un extrait) est celle que j'ai eue en modélisation, et apparemment le texte disait que je ne sais plus quel grand mathémticien lui trouvait vraiment toutes les vertus. Et il faut dire qu'elle est bluffante ...

-100:--+0-
-99:--+00
-98:--+0+
-97:--++-
-96:--++0
-95:--+++
-94:-0---
-93:-0--0
-92:-0--+
-91:-0-0-
-90:-0-00
-89:-0-0+
-88:-0-+-
-87:-0-+0
-86:-0-++
-85:-00--
-84:-00-0
-83:-00-+
-82:-000-
-81:-0000
-80:-000+
-79:-00+-
-78:-00+0
-77:-00++
-76:-0+--
-75:-0+-0
-74:-0+-+
-73:-0+0-
-72:-0+00
-71:-0+0+
-70:-0++-
-69:-0++0
-68:-0+++
-67:-+---
-66:-+--0
-65:-+--+
-64:-+-0-
-63:-+-00
-62:-+-0+
-61:-+-+-
-60:-+-+0
-59:-+-++
-58:-+0--
-57:-+0-0
-56:-+0-+
-55:-+00-
-54:-+000
-53:-+00+
-52:-+0+-
-51:-+0+0
-50:-+0++
-49:-++--
-48:-++-0
-47:-++-+
-46:-++0-
-45:-++00
-44:-++0+
-43:-+++-
-42:-+++0
-41:-++++
-40:----
-39:---0
-38:---+
-37:--0-
-36:--00
-35:--0+
-34:--+-
-33:--+0
-32:--++
-31:-0--
-30:-0-0
-29:-0-+
-28:-00-
-27:-000
-26:-00+
-25:-0+-
-24:-0+0
-23:-0++
-22:-+--
-21:-+-0
-20:-+-+
-19:-+0-
-18:-+00
-17:-+0+
-16:-++-
-15:-++0
-14:-+++
-13:---
-12:--0
-11:--+
-10:-0-
-9:-00
-8:-0+
-7:-+-
-6:-+0
-5:-++
-4:--
-3:-0
-2:-+
-1:-
0:
1:+
2:+-
3:+0
4:++
5:+--
6:+-0
7:+-+
8:+0-
9:+00
10:+0+
11:++-
12:++0
13:+++
14:+---
15:+--0
16:+--+
17:+-0-
18:+-00
19:+-0+
20:+-+-
21:+-+0
22:+-++
23:+0--
24:+0-0
25:+0-+
26:+00-
27:+000
28:+00+
29:+0+-
30:+0+0
31:+0++
32:++--
33:++-0
34:++-+
35:++0-
36:++00
37:++0+
38:+++-
39:+++0
40:++++
41:+----
42:+---0
43:+---+
44:+--0-
45:+--00
46:+--0+
47:+--+-
48:+--+0
49:+--++
50:+-0--
51:+-0-0
52:+-0-+
53:+-00-
54:+-000
55:+-00+
56:+-0+-
57:+-0+0
58:+-0++
59:+-+--
60:+-+-0
61:+-+-+
62:+-+0-
63:+-+00
64:+-+0+
65:+-++-
66:+-++0
67:+-+++
68:+0---
69:+0--0
70:+0--+
71:+0-0-
72:+0-00
73:+0-0+
74:+0-+-
75:+0-+0
76:+0-++
77:+00--
78:+00-0
79:+00-+
80:+000-
81:+0000
82:+000+
83:+00+-
84:+00+0
85:+00++
86:+0+--
87:+0+-0
88:+0+-+
89:+0+0-
90:+0+00
91:+0+0+
92:+0++-
93:+0++0
94:+0+++
95:++---
96:++--0
97:++--+
98:++-0-
99:++-00
100:++-0

Je mets le petit programme caml qui permet de la gérer:

[size=x-small]type chiffre = Z | P | M

let reserve=ref (0,0,0)

let rec versdec m=match m with
|[]->0
|P::m2->let r=versdec m2 in 3*r+1
|M::m2->let r=versdec m2 in 3*r-1
|Z::m2->let r=versdec m2 in 3*r

let rec ecrire m=match m with
|[]->""
|P::m2->let s=ecrire m2 in s^"+"
|M::m2->let s=ecrire m2 in s^"-"
|Z::m2->let s=ecrire m2 in s^"0"

let rec traduire1 n=if n=0 then [] else if n=1 then [P] else if n=2 then [M;P] else
let q=n / 3 in
let r=n mod 3 in
if r=0 then Z::(traduire1 q) else
if r=1 then P::(traduire1 q) else
M::(traduire1 (q+1))

let rec oppose m=match m with
|[]->[]
|x::suite->let r=if x=P then M else if x=M then P else x in r::(oppose suite)

let traduire n=if n<0 then let m=traduire1 (-n) in oppose m else traduire1 n

let rec iterplus m = match m with
|[]->[P]
|P::suite->let r=iterplus suite in M::r
|M::suite->Z::suite
|Z::suite->P::suite

let itermoins m=let r=oppose m in let r2=iterplus r in oppose r2

let rec addition a b = begin (* incre1()*) match (a,b) with
|([],x)->x
|(x,[])->x
|([Z],x)->x
|(x,[Z])->x
|(x::u,y::v)->let r=addition u v in
(match (x,y) with
|(P,P)->M::(iterplus r)
|(P,M)->Z::r
|(M,P)->Z::r
|(M,M)->P::(itermoins r)
|(x,Z)->x::r
|(Z,x)->x::r
)
end

let rec multiplication a b = match a with
|[]->[]
|[P]->b
|[M]->oppose b
|Z::suite->Z::(multiplication suite b)
|P::suite->let r=multiplication suite b in addition (Z::r) b
|M::suite->let r=multiplication suite b in addition (Z::r) (oppose b)

let verip a b=let a1=traduire a in let b1=traduire b in let r1=addition a1 b1 in versdec r1

let verim a b=let a1=traduire a in let b1=traduire b in let r1=multiplication a1 b1 in versdec r1[/size]

remarque · July 2011

Je préfère aussi la deuxième méthode, puisque c'est celle que j'ai apprise. Le must est la deuxième méthode sans écrire les retenues, bien sûr. Pour le 2., je pense que ça a toutes chances de l'embrouiller et de lui causer des ennuis (supposons que l'instit ait été élevé(e) à la première méthode...). Il vaut mieux garder tes cartouches pour l'apprentissage de l'extraction de racine carrée.

Merci à ev d'avoir relevé l'énaurme faute impardonnable...

christophe c · July 2011

Moi ma méthode préférée c'est celle du boulanger:

1713-218 = [size=x-small](? in 218+?=1713)[/size] = 2 + 80 +700 +700 +10 +3 = 1400+90+5=1495

La vieille · July 2011

Christophe : je suis déçu que tu n'ailles pas jusqu'au bout de la logique et que tu ne calcules pas la somme avec la même méthode

(Cela dit, le boulanger ne calcule pas la somme !)

christophe c · July 2011

A bin si moi c'est comme ça que je fais les additions, sincèrement!!!

edit: et les multiplications

christophe c · July 2011

J'arrive jamais à me rappeler (bien) comment on pose les opérations en fait :S (et c'est pas faute que des gens m'aient entouré, étonnés, pour m'aider à y arriver

)

remarque · July 2011

Moi ma méthode préférée c'est celle du boulanger:

Ben oui, mais t'es bien embêté quand tu vas chez le boucher...

christophe c · July 2011

ah c'est marrant j'en viens, et jy vais rarement (presque jamais), j'avais un folle envie de manger un truc de rotisserie...

remarque · July 2011

Tu as réponse à tout ! Et chez l'épicier alors ? Et chez le supermarchier ? Bon d'accord, là c'est la caisse qui fait le calcul toute seule.

Ceci dit, la méthode du rendu de monnaie marche mieux quand on rend la monnaie sur un billet avec un chiffre rond. Ca évite la deuxième séquence d'approximation finale. Encore qu'une méthode par double approximation, c'est plutôt proche de l'analyse dans son principe. Ca se discute...

gerard0 · July 2011

Bonjour JLT.

Je pense que tu peux facilement faire passer ton fils de la première à la deuxième méthode, comme une "simplification" qui garde le calcul lisible : En effet, il revient au même de soustraire 1 au nombre du haut ou d'ajouter 1 au nombre du bas. Et un gamin raisonnablement intelligent le comprend vite. Libre à lui de ne l'utiliser que pour lui tant qu'il n'a que cet instituteur. Le tout, c'est que ce soit "sa méthode", pas celle que tu lui imposes.
Tu pourrais lui faire remarquer "tiens, moi je fais moins de ratures", par exemple à l'occasion d'un concours d'opérations entre ton fils et toi. Il n'est pas sûr que tu gagnes, d'ailleurs.

Cordialement.

christophe c · July 2011

chez le supermarchier

:S:S:S

jaybe · July 2011

Chaque année, parmi les étudiants qui préparent le CRPE, il s'en trouve toujours plusieurs qui restent plus que circonspect devant la technique anglo-saxone (la première du document), la jugeant mauvaise (car ce n'est pas celle qu'ils ont appris par coeur) et se disant prêts à corriger tout élève qui l'utilise. De façon étrange, cela correspond à l'un des rares moments de l'année où je suis convaincu que ce n'est pas une mauvaise chose qu'il y ait si peu de places au concours...

JLT · July 2011

Merci à tous pour vos commentaires. Je pense à titre personnel que la deuxième méthode a le désavantage de nécessiter deux types différents de retenues (une en haut et une en bas), ce qui peut engendrer des confusions, mais que une fois qu'on l'a comprise, elle est plus commode que la première dans certains cas comme 3101-1999.

Pour le niveau en math des PE, un gros problème d'après ce qu'on m'a dit (mais je n'ai pas les chiffres) c'est qu'une grande proportion d'entre eux sont titulaires d'une licence non scientifique (N.B. pour moi, les "sciences" humaines ne sont pas des sciences), ce qui fait que certains d'entre eux croient que deux droites parallèles se rejoignent "très loin", ou ne savent pas calculer l'aire d'un triangle, ni construire l'orthocentre d'un triangle avec une règle et un compas (même avec le mode d'emploi sous les yeux), etc.

Pour ce qui est de mon fils, je crois que je vais le laisser consolider ses acquis pour l'instant et je me poserai la question peut-être dans un an. Je vais éviter le "concours d'opérations" car il n'aime pas faire du calcul sans but précis et il n'est motivé pour le calcul que quand il a un petit problème à résoudre. De plus, je gagne facilement à ce genre de compétitions contre 99% de la population.

Cidrolin · July 2011

Il y a une méthode désastreuse : la méthode Chavignaud, publiée à Paris en 1852

par sa veuve et son fils. On soustrait en vers $20\,130-1\,726=18\,404$

"De même, pour ôter de vingt mille cent trente,

Mille sept cent vingt-six, une règle constante

Me dit d'agir ainsi : j'ôte six unités

De dix, en empruntant sur ces trois à côté,

J'écris quatre dessous. Trois d'une unité baisse,

Deux unités de deux font zéro que j'abaisse.

Sept centaines ici ne peuvent pas s'ôter

D'une centaine, il faut sur vingt mille emprunter

Dix mille, et laisser neuf au zéro qu'il remplace,

Et pour chaque zéro le neuf d'emprunt se place.

Sept retranchés de onze offrent quatre, et partant,

Un ôté de dix-neuf, que je trouve en passant,

Donne dix-huit ; ainsi j'indique en assurance

De mes deux quantités l'exacte différence."

Snowracer0 · July 2011

J'ai également appris la 2ème méthode et découvert la 1ère lorsque ma fille l'a apprise à l'école; je l'ai trouvée «plus logique» malgré les étages de chiffres barrés que certaines soustractions (comme celle dont tu parles) demandent; d'ailleurs, ce jour-là, elle a du s'y prendre à 2 fois pour arriver au résultat en soignant la présentation mais je voyais bien qu'elle réfléchissait à ce qu'elle faisait donc je ne lui ai pas parlé d'une autre méthode ; par ailleurs, j'ai l'occasion de côtoyer des élèves ayant appris les méthodes anglo-saxonnes d'opérations ou bien celles enseignées dans le système français; je pense qu'à partir du moment où la technique, quelle qu'elle soit, est efficace (à force de pratique), il suffit de leur dire qu'il existe d'autres types de présentation (et qu'aucun n'est meilleur qu'un autre, l'essentiel étant d'arriver au bon résultat); cela évite les yeux ronds des camarades ou la crainte de passer au tableau et de ne pas faire «comme les autres»; je garde un souvenir atroce de l'apprentissage de la division en CM1 avec un instit qui nous faisait réciter des phrases «par coeur» qui ne signifiaient rien pour moi «dans 24, combien de fois 5; il y va 4 fois» et qui nous gueulait dessus (quand il ne nous frappait pas, c'était en 1980) quand on passait au tableau et qu'on ne faisait pas ce que lui nous «apprenait» (car certains essayaient de s'en sortir avec la méthode «maison»); c'est mon instituteur du CM2 qui m'a sauvée quelques mois plus tard en me montrant comment faire ... sans avoir à prononcer ces phrases débiles.

Bouzar · August 2011

Bonjour

A défaut, la compensation fonctionne très bien.

$3101-1999 = (3101+1)-(1999+1)=3102 - 2000=...$

ev · August 2011

Bonjour à tous.

Est-ce qu'une bonne âme pourrait me poster la présentation de la soustraction $3101-1999$ car à ma courte honte je n'y arrive pas avec la première méthode proposée dans le lien du premier post.
Comme c'est les vacances, je ne peux pas demander à l'institutrice des enfants !

J'en déduis, mais ce n'est pas sûr, que j'ai dû apprendre avec la deuxième.

Merci d'avance,

e.v.

JLT · August 2011

(Ne pas tenir compte des points, c'est le forum qui ne conserve pas les espaces de mon message)
[Mais si le forum conserve les espaces en mode code (antépénultième bouton sur la fenêtre d'édition).

AD]

      0 9
  3 [s]1 0[/s][size=x-small]1[/size]1
- 1 9 9 9
__________
      0 2

    2[size=x-small]1[/size]0 9
  [s]3[/s] [s]1 0[/s][size=x-small]1[/size]1
- 1 9 9 9
__________
  1 1 0 2

Sylvain · August 2011

Bonjour,

j'ai appris la soustraction à retenue selon la première méthode, en CE1 (année scolaire 1988-1989), mais je crois que je ne saurais plus l'utiliser maintenant. Le mieux à mon sens, en reprenant l'exemple de Christophe, est de procéder ainsi :
1713-218=1713-(213+5)=1500-5=1495. De toute façon je fais ce genre de calcul de tête, étant trop fainéant pour sortir du papier, un stylo, ou taper sur les boutons de ma calculette. D'autant que ça va plus vite...

remarque · August 2011

Les deux soustractions mano a mano :

Edit : je m'aperçois que j'ai donné un avantage indu à la méthode 1 en écrivant plusieurs signes d'un coup alors que je ne crois pas l'avoir fait pour la méthode 2... bah tant pis. 20515