vecteur (définition)

Bonjour Steph.

Je commencerais par faire du latin.

Je demanderais donc des mots de la même famille (morphologique) jusqu'à obtenir véhicule et voiture. Je leur ferais grâce de vexillaire qui n'est que rarement dans leur lexique.
Je demanderais ensuite les sens usuels de vecteurs.

Ensuite la même leçon assommante qu'on trouve dans tous les bouquins.

amicalement,

e.v.

Bonjour.

Je trouve que c'est pas mal ! Si tu faisais la même chose avec "fraction" ou "racine carrée", tu serais surpris.
En fait, la bonne question n'est pas ce qu'est un vecteur, mais ce qu'on en fait. Et, pour certains élèves seulement se pose la question "c'est quoi". Pour eux, on peut donner une définition. Plutôt du style "ce qui est commun à des bipoints équipollents" pour ne pas parler de classe d'équivalence, ou bien le triplet direction/sens/longueur qui s'illustre par une flèche qu'on peut déplacer parallèlement à elle même sur le plan ou dans l'espace.
Mais ce qui compte à ce niveau, c'est les calculs qu'on peut faire avec, donc lien avec longueur, parallélisme et sens sur une droite, relation de Chasles, proportionnalité, ...

Par contre ta définition ne dit pas grand chose, elle induit une confusion entre vecteur et translation. D'ailleurs si on leur donne un jour la règle "un couple de points définit une unique translation", devront-ils penser que ce couple de points est un vecteur ?

Pour ma part, j'utilisais souvent l'image d'un parallélogramme ABCD, sur lequel je marquais la flèche de D vers C notée $\overrightarrow {AB}$.

Cordialement.

Mon idée est - modestement - d'essayer de faire comprendre l'ubiquité du vecteur. En tant que moteur de la translation, il est partout dans le plan, prêt à bondir pour transformer un point en un autre.
Contrairement au vecteur en physique qui n'est souvent qu'un torseur mal déguisé.

Pour faire comprendre la puissance des vecteurs j'aime beaucoup cet exercice infaisable sans les vecteurs (ne le donnez pas aux élèves c'est des coups à cramer deux heures) :

Soit $ABCD$ et $ABEF$ deux parallélogrammes, démontrer que $CDEF$ est aussi un parallélogramme (peut-être aplati).

amicalement,

e.v.

@Joseph,

oui enfin sauf que les tenseurs tu ne les enseignes pas à des lycéens, ceux
à qui tu les enseignes ont déjà un bagage mathématique plus important, et en plus
ce n'est pas une notion fondamentalement nouvelle car les étudiants savent déjà
ce qu'est une application multilinéaire quand on introduit cette notion.
La nouveauté dans l'introduction des tenseurs est plus dans la facon de les utiliser.

Eric

Eric,

dans ce cas, c'était en première S, donc pour des élèves qui ont déjà eu une présentation de la notion de vecteur (vue en seconde, maintenant). Mais je suis d'accord que l'idée de "faire réinventer les notions" par les élèves est fantaisiste, ces notions ayant souvent mis des centaines d'années à s'éclaircir (celle de vecteur, entre autres, cristallisée très tardivement).

Ev,

j'aime bien ton exercice !

Cordialement.

En seconde, on nous demande maintenant de "définir" les vecteurs à partir de la translation, alors que lorsque j'étais petit on définissait les translations après avoir défini les vecteurs.

On commence donc par définir la translation, et la définition qu'on donne à partir de points milieux ou de parallélogramme ça passe très très mal.

Ensuite, à un moment ou à un autre, on est donc amenés à écrire quelque chose du genre : la translation qui envoie le point A sur le point B est appelée la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Et là, si on va chercher les élèves, il y en a forcément un qui dit : "Mais Monsieur, c'est quoi au juste un vecteur ?". A ce stade, on a envie de lui répondre : si tu n'as rien compris, c'est normal...

Et donc un peu plus tard on écrit quelque part qu'un vecteur est caractérisé par 3 informations : norme, direction, sens (enfin, il faut faire attention avec le mot caractérisation parce qu'ils ne le comprennent pas). Mais si on donne ça en définition, on se fait descendre par les inspecteurs...

Autre grand moment : définir la somme de deux vecteurs à partir de la composée de deux translations : on perd les deux tiers de la classe...

L'autre jour je démarre le chapitre "Vecteurs" avec mes 1S. Pour commencer je pose la question "c'est quoi pour vous un vecteur ?"

Oui oui, c'est l'introduction qu'on choisit lorsque l'on en a pas. Dans l'école d'ingénieurs où j'enseigne, j'ai longtemps commencé mon cours par "Qu'est-ce qu'une base de données, pour vous~?" La différence était que je m'attendais à un certain nombre de réponses~:
-- "grande quantité de données" (non pertinente)
-- "multi-utilisateurs"
-- "utilisateur lambda" sans compétence informatique
-- et une dernière, que j'ai oubliée, mais qui complétait l'idée qu'en bases de données, les données priment sur les traitements, ce qui me permettait (enfin~!) d'entamer le cours.
J'ai renoncé à cette introduction, qui était surtout une grosse perte de temps (mis à part peut-être -- et j'ai des doutes sur ce point -- l'incitation à poser des questions en cours).

Au fait, que répondrais-tu à ta propre question~?

Si tu ne sais répondre que par le formalisme, comment veux-tu que les étudiants y répondent~?
Et si tu sais répondre autrement, pourquoi ne pas employer cette réponse comme introduction~?

"exercice infaisable sans les vecteurs " mais avec les complexes...

Cela fait maintenant 3 ans que j'enseigne le nouveau programme de 2nde. Je crois que les élèves ont à peu près compris cette année la notion de vecteur. J'ai fait ainsi :
1. Longueur d'un segment et milieu d'un segment (cours et exercices, pour commencer la géométrie analytique en douceur)
2. Rappels sur les parallélogrammes (définition, caractérisation avec les milieux, exercices de maniement, notamment un ex où l'on prouve que si ABDC est un parallélogramme et CDFE aussi, alors ABFE aussi -- sauf si je me trompe dans l'ordre des lettres) -- je ne me casse pas la tête avec les parallélogrammes aplatis !
3. Définition d'un vecteur en disant que c'est un couple de points du plan, en définissant l'égalité de vecteurs en terme de parallélogramme et en prouvant la transitivité grâce à l'exercice fait à la fin du point 2 + exercices (au départ, il faut juste dire des vecteurs égaux sur une figure, ensuite en construire, ensuite les meilleurs ont à faire une ou deux petites démo)
Le vecteur AB se représente dans le plan par une flèche qui part de A et va vers B (c'est juste un dessin)
4. Coordonnées d'un vecteur (avec la preuve vecteurs égaux <--> coordonnées égales (+exercices, notamment où l'on construit un point défini par une égalité vectorielle et où on demande le calcul de ses coordonnées)
5. Translations (avec définition rigoureuse)

Voilà grosso modo. J'ai l'impression, ainsi, de faire un truc à peu près rigoureux.
Dans une deuxième leçon je parle de ku et de vecteurs colinéaires ; dans une 3ème de la relation de Chasles (mais là, mon cours est mauvais, je crois qu'ils n'ont pas bien compris les deux premières années)

Bref : vecteur = couple du points du plan

Bonsoir maeloumalo.

Ah, j'oubliais qu'il suffisait de dire "je vois que..." pour que la démonstration soit correcte.
Exemple: "Je vois que les zéros non triviaux de $\zeta$ sont sur la droite $\Re(z) = \frac12$ et je joins mes coordonnées bancaires."

Si le but des vecteurs est de résoudre des exercices de géométrie sans faire de figure, je les classerais plutôt parmi les animaux nuisibles.

e.v.

Bonjour ev,

Je pensais que lorsque tu ironisais lorsque tu disais que ton exercice n'est pas faisable sans les vecteurs.
Comme les programmes de seconde exigent que l'on utilise la symétrie centrale pour définir les vecteurs, je me disais que l'on pouvait supposer connues les propriétés de la symétrie centrale.
Dans ce contexte, on peut envisager ton exercice, en proposant de le résoudre en utilisant les propriétés de la symétrie centrale, puis avec les vecteurs. On voit alors que les vecteurs permettent d'écrire une démonstration plus courte, et sans doute plus élégante.

Je ne compare pas la géométrie du lycée à la conjecture de Riemann, loin s'en faut. Je pense au contraire que nous sommes contraints d'apporter la preuve de l'intérêt d'aller au delà des observations, même en TS. Je reste convaincu que l'enchainement logique de plusieurs notions abstraites dans le but de construire une preuve est sans doute ce qui fait une des forces de l'enseignement des mathématiques. (En plus des applications directes aux autres sciences.)


Pour Gerard0,
Notre difficulté aujourd'hui lycée est d'accepter de s'écarter momentanément de la rigueur bourbakiste. C'est loin d'être évident.
Néanmoins, on peut bien fixer un point pour définir un représentant de chaque élément de la classe d'équivalence dont tu parles ? Je ne vois pas où est le problème ?


Cordialement.

Bonsoir Gerard0,

Je voulais parler en effet de la construction de l'espace affine sous-jacent à l'espace vectoriel en essayant d'utiliser un vocabulaire adapté aux élèves, mais ce n'est pas simple. Je n'insiste pas, pour ne pas embrouiller davantage les choses et je me dis que je ferais sans doute mieux d ene plus en parler du tout...

J'essaye aussi de parler des points comme étant "matériels" et des vecteurs comme étant la traduction d'une translation (je dis déplacement en classe, en associant le geste au mot), donc je parle des vecteurs comme étant plus "immatériels". Mais c'est déjà vu, et sans doute plus clair, en physique. Que peut-on dire de plus du point de vue des maths, je ne sais pas ?

Je suis de ton avis lorsque tu dis que la définition la plus simple est la différence entre l'extrémité et l'origine, et c'est sans doute la plus parlante.

Pour ce qui est du calcul barycentrique, je crains qu'il prenne la voie des oubliettes, et sans doute à court, terme, toute la géométrie du triangle.

J'ai des classes de seconde cette année, et 62 à 63% de leur classe d'âge est arrivée au lycée. Par ailleurs, en faisant ma progression, je dois accorder 12 heures aux vecteurs en seconde.
Agissant bêtement pour essayer de respecter le programme, en 1èreS, ça se corse, j'ai prévu 8 heures sur généralités sur les vecteurs, puis 8 heures sur le produit scalaire, et enfin 12 heures sur les applications du produit scalaire. (temps d'évaluation inclus). On ne va pas bien loin dans les exercices...Le moindre exercice un peu fin sur les vecteurs demandant pas mal de temps de réflexion. Les élèves maîtrisant mal les techniques de cacul, on est vite bloqué.
Je suis assez pessimiste pour les cuvées des bacs 2012 et 2012, la récolte n'est pas prometteuse...
Je plains les profs de fac qui vont devoir enseigner l'intégration par parties (entre autres)...

Cordialement

Bonsoir Bugs.

Ta solution m'interesse. De même que celle de maeloumalo utilisant les symétries.

amicalement,

e.v.

Je n'ai pas très bien compris le message de Gerard0 concernant mon message précédent. Était-ce une attaque sur la rigueur de mon cours ?
J'ai l'impression de faire une leçon tout à fait rigoureuse du point de vue mathématique, en m'appuyant uniquement sur les propriétés déjà connues des élèves (propriétés des parallélogrammes, théorème des milieux, coordonnées du milieu d'un segment).

Par ex, pour "la transitivité" AB=CD et CD=EF entraîne AB=EF, la démonstration (que je fais dans le cours) est immédiate à partir de l'exercice suivant :
ABDC est un parallélogramme de centre I. CDFE est un parallélogramme de centre J.
1. Faire une figure (attention à l’ordre des lettres !)
2. Prouver que la droite (IJ) est parallèle à chacune des droites (BF) et (AE).
3. Démontrer que le quadrilatère ABFE est un parallélogramme.

Pour la propriété vecteurs égaux équivaut à coordonnées égales, c'est immédiat avec les coordonnées du milieu d'un segment.

Etc.

Bonsoir Prof de 2nde.

je n'ai pas attaqué "la rigueur de mton cours", vu que je ne le connais pas. Simplement la phrase que j'ai citée. Un vecteur n'est pas un couple de points (un bipoint comme on disait dans mon jeune temps).
Pour moi la qualité essentielle d'un prof (de lycée, mais aussi ailleurs) n'est pas "la rigueur de mson cours", mais ce qu'il fait comprendre à ses élèves. En évitant ce genre d'approximation, bien évidemment, quitte à bien distinguer entre ce qui est "rigoureux" (usage des règles et définitions) et ce qui est "sens" (signification, compréhension).
Maintenant, si ta phrase est maladroite, je peux avoir eu tort de la relever.

Cordialement.

Une question que je me pose.

Pensez-vous qu'il soit pertinent d'introduire les vecteurs par l'étude des vecteurs de la droite ?

amicalement,

e.v.

Bonjour ev,

Jmb2009 a fait en détails la solution à laquelle je pensais.

Concernant l'étude des vecteurs de la droite, on fait pas mal de choses en seconde sur la colinéarité, mais on ne caractérise la droite par un point un vecteur qu'en 1ereS.
Effectivement, lorsque je parlais de ce que l'on ne voit pas sur la figure, je pensais aux vecteurs pour étudier les faux alignements. (C'est tout de même plus pratique que d'avoir à déterminer une équation de droite.)

Tout ce que l'on fait avec les vecteurs en géométrie plane doit pouvoir être fait en utlisant les propriétés du parallélogramme, ou les calculs avec les coordonnées (selon que l'on utilise des coordonnées ou non).Je me demande d'ailleurs si ce n'était pas un des arguments de Jacques Moisan losqu'il a proposé la suppression des vecteurs en seconde. Il me semble qu'il disait que c'était un outil qui n'était utile qu'aux scientifiques. C'est à confirmer...

Cordialement.

La propriété "si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme" est de niveau 5ème.
(Tu peux par exemple la trouver dans le manuel Sesamath : http://manuel.sesamath.net -> manuel de 5ème, Propriété P25 dans le lexique).

Elle devrait faire l'affaire.

Amicalement

Bonjour Ev.

"J'attends donc toujours la démonstration avec intérêt." Je ne vois pas laquelle. Celle de Jmb2009 n'utilise pas l'idée de "non croisé". mais j'ai sans doute raté une marche.

"Pensez-vous qu'il soit pertinent d'introduire les vecteurs par l'étude des vecteurs de la droite ? "
Il me semble que c'est malsain, car trop simple, trop proche de ce qui est déjà connu pour faire apparaître ce qu'est le vecteur (c'est déjà difficile dans le plan et l'espace). On a le même problème avec l'introduction des fonctions en troisième par fonction linéaire et fonction affine : La notion de fonction est cachée dans la linéarité déjà étudiée. Alors qu'avec une étude rapide de la notion de fonction, avec des exemples simples, les fonctions linéaires et affines apparaissent comme des cas particuliers simples (donc du "facile")
Pour ma part, je n'avais rien compris à ce chapitre de troisième, bien qu'ayant eu la meilleure note à la composition qui a suivi (j'avais écrit sans comprendre).

Cordialement.

Désolé Ev,

je pensais que la droite des milieux était vue en cinquième.

D'accord avec ta remarque, mais ce n'est pas sain. D'ailleurs, les deux fois que je l'ai vécu, j'étais très mal à l'aise. Si ça avait duré, je n'aurais pas aimé les maths (et j'aurais été prof de français !).

Cordialement.

ev écrivait:

---

> Bonjour Bugs.
>
> Le problème étant de démontrer qu'un quadrilatère
> est non croisé. Voir le message de jmb2009.
> J'attends donc toujours la démonstration avec
> intérêt.
>
> e.v.


Enseignant moi-même en 4ème, et ayant été plusieurs fois confronté à cet exercice et...
il me semble qu'on admet implicitement que le quadrilatère est non-croisé. (en tout cas les exercices corrigés des livres ne mentionnent pas cette possibilité)

Du coup, pour les élèves, cet exercice est effectivement "résolu" avec les propriétés de 5ème :
ABCD et ABEF parallélogrammes donc AB = DC = FE et (AB)//(DC)//(FE)
donc CDFE parallélogramme :

cela me titille car j'ai l'impression qu'on pourrait trouver une justification niveau collège comme quoi CDFE n'est pas croisé !

Une idée quelqu'un ?

Mais bon, ça n'aide probablement pas vraiment à comprendre l'utilisation qu'on fait des vecteurs en mathématiques... a écrit:

A mon humble avis, je dirais que pour un mathématicien, un vecteur est (en général) un élément d'un espace vectoriel, et ce qui l'intéresse, ce sont les propriétés (de stabilité entre autres) de ces vecteurs.
Par la suite, le mathématicien a l'habitude de représenter par des vecteurs "de type collège" des objets mathématiques très compliqués !

Pour le physicien, en effet, le vecteur représente agréablement une force. Après, peut-être aime-t-il davantage des champs de vecteurs ? (ou pire, mais je vais pas entrer dans les détails n'étant pas du tout calé)

Pour l'ingénieur, l'architecte, je vois bien l'utilisation des vecteurs pour représenter des forces.

Voilà comment je vois l'utilisation des vecteurs par différents types de professionnels.

Amicalement.

Bonsoir,

J'ai relu le programme de seconde et il me semble que le programme ne donne pas de définition d'un vecteur.
Il est écrit que l'on doit définir la translation qui transforme un point A en un point B et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ associé.

"A tout point C du plan, on associe, par la translation qui transforme A en B, l'unique point D tel que [AC] et [BD] ont le même milieu."

Au collège, lorsque l'on utilise la réciproque du théorème de Thalès, on s'en sort en parlant de point alignés dans le même ordre, mais je ne vois pas comment éviter une "observation".
Je crois bien qu'il y a un manque de cohérence, on définit des vecteurs et la notion de sens est alors définie par une observation.
L'argument des concepteurs des programmes doit sans doute être que le formalisme viendra plus tard ?