définir un nombre en 6ème
Première définition de la première leçon de maths de mon fils en 6ème :
"Définition : Un nombre entier est un nombre ou un chiffre positif sans virgule.
Remarque : Un chiffre est un nombre entier".
"Prof" trouvé à Pôle emploi ? En tout cas j'espère qu'il n'a pas le capes ...
"Définition : Un nombre entier est un nombre ou un chiffre positif sans virgule.
Remarque : Un chiffre est un nombre entier".
"Prof" trouvé à Pôle emploi ? En tout cas j'espère qu'il n'a pas le capes ...
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
"Un nombre entier est un nombre positif qui peut s'écrire sans virgule"
?
Autre chose : pour autant que je m'en souvienne, quand j'étais en 6e, je pensans que les chiffres étaient des nombres particuliers, plus précisément des nombres entiers compris entre 0 et 9. Je ne comprenais pas lorsque le prof insistait sur le fait que les chiffres ne sont pas des nombres.
Je suis pressée de voir comment il va définir les décimaux; les nombres qui s'écrivent avec des virgules ? Effectivement,123456,0 ne sera alors pas un entier ......
Pour moi, les nombres entiers naturels sont les nombres qui permettent de dénombrer, cad de compter les cailloux ......
Et si les chiffres sont des nombres, alors les lettres I,V, X, M, C sont des nombres......
Le monsieur en question m'a paru tout neuf (pas tout jeune) dans l'EN, on pourrait se dire qu'au minima, un tour sur wikipedia serait salutaire plutôt que cette définition sortie de je ne sais où....
Quelqu'un a du se dire que ce n'était pas trés grave de placer des incompétents en face de 6ème; mais bon, moi qui commençais à mettre la pression sur mon fils pour qu'il apprenne ses définitions par coeur ..... je vais peut-être lui demander de ne pas trop se fatiguer cette année .....
[Edit : quoique, si on dit qu'il fait -5 °C, ils doivent plus ou moins comprendre à quoi ça correspond, non ?]
Donc pourquoi pas :
"Un nombre entier est un nombre qui peut s'écrire sans virgule"
?
On ne peut pas *définir* ce qu'est un nombre au niveau 6e. Comme les chiffres s'identifient canoniquement à des nombres compris entre 0 et 9, dans le cerveau d'un enfant les chiffres et les nombres à un chiffre c'est la même chose.
Si on dit que C n'est pas un nombre, alors on devrait dire que 100 n'est pas un nombre, ce qui serait bizarre pour un enfant de 6e.
Il me semble que C est un nombre, mais la lettre C n'est pas un nombre; donc 2 est un nombre, mais pas le chiffre 2. Les 6ème peuvent comprendre ça je pense. Maintenant, ce n'est pas si grave que ça soit toujours pas trop clair dans la tête d'un enfant, ce n'est pas fondamental pour être capable de faire des maths bein sur, mais ce n'est pas une raison pour que le prof ne soit pas rigoureux !
Par exemple, dans le schéma suivant
*******
le nombre d'étoiles, exprimé en décimal, est 7, et il y a un seul chiffre décimal dans ce nombre. En binaire, ce nombre s'écrit 111 et comporte trois chiffres.
L'ennui avec ça c'est que les élèves de 6e ne voient pas d'autres bases de numération que la base dix.
Alors on pourrait dire que le nombre d'étoiles, écrit en romain, est VII, et il y a trois chiffres romains dans ce nombre.
Avec cet exemple je pense que ça devient compréhensible pour un élève. Mais tous les profs de 6e donnent-ils cet exemple ?
définition vûe en 6ème dans un collège bien réel
"Définition : Un nombre entier est un nombre ou un chiffre positif sans virgule.
Remarque : Un chiffre est un nombre entier".
ce qui ne convient pas du point de vue de la pédagogie: la définition est tautologique
(auto-référente). on ne peut pas définir un nombre en disant que c'est ...un nombre
qu'est qu'un schloksblurgh ? un schloksblurgh est un schloksblurgh positif sans virgule.
sait-on ce qu'est un schloksblurgh après en avoir lu sa définition ? non, on ne sait pas.
par contre, on sait que nécessairement un schloksblurgh s'écrit sans virgule.
donc 1234,0 n'est pas un schloksblurgh.
plus ennuyeux:
il y a des nombres réels, comme les oméga de Chaitin , qui n'ont pas, d'une certaine façon de chiffres, car on est dans l'impossibilité de les calculer.
(un argument pour se passer des chiffres pour définir un nombre entier)
on peut s'en sortir autrement
définition 1
on suppose savoir mettre en vis à vis des collections,des collections de n'importe quoi, des billes, des timbres, des crayons...
quand on peut mettre en vis à vis des collections d'objets
timbre du Pérou <----> bille rouge <----> stylo plume
timbre du Kurdistan <----> bille verte <----> bic
timbre de Sumatra <----> bille bleue <----> crayon
timbre de St-Etienne <----> bille jaune <----> feutre
on dira que leur nombre est cette propriété d'être en vis-vis (notée 4).
définition 2
un nombre est une mesure de multiplicité.
quand je réunis deux collections de timbres en une seule, j'en ajoute leur nombre
$\mu(A \cup
de comptage qui correspond à la réunion ensemblistes disjointe)
un enfant qui est confronté à une définition tautologique (qui se mord la queue),
n'apprend pas mais devra dés-apprendre pour progresser .
on vient de bousiller un futur prof de maths.
définition 3: définition par coupure.
De combien de places dois-je acheter une voiture ?
cahier des charges:
Nous devons rentrer à quatre personnes confortablement.
Six personnes seront à l'étroit, je n'ai pas le budget pour.
Nous devons dès lors acheter une voiture cinq places.
cette définition alambiquée prépare à la définition des nombres réels
par coupure.
en fait, il semble ne pas exister de définition non auto-référente des nombres entiers
parce que , ce que l'on a fait de plus sioux en la matière, c'était la définition Bourbakiste:
$0 = card(\emptyset)$ il n'y a rien à compter, ça fait zéro
$1 =card \{ \emptyset \}$ on compte l'ensemble vide, ça fait un,
$2=card \{ \emptyset; \{ \emptyset \} \}$ etc...
ce qui fait que c'est la secrétaire qui tapait le manuscrit Bourbaki qui comptait le nombre d'accolades...
H.Poincaré pensait qu'une définition non tautologique des entiers était impossible,
Dedekind ou Kronecker s'est fendu de la phrase historique
"En mathématiques, Dieu a créé les nombres et les humains tout le reste"
Quand à Péano, on peut discuter si sa définition
$\sigma(0)=1,\sigma(1)=2,.. ,n=\sigma^n(0)$ est tautologique ou non...
où $\sigma$ est la fonction "successeur"
cordialement,
oum,pi,beï,bouone,.. connaitre les chiffres n'est pas savoir compter. si on bricole un algorithme pour attribuer un chiffre à une collection d'objets, c'est gagné.
Ce sont des sixièmes! On doit leur faire faire des maths soit, mais de là à essayer de définir les nombres entiers rigoureusement...
Il suffit de partir de ce qu'ils ont appris à l'école primaire:
Les chiffres représentent l'alphabet numérique.
A l'aide des chiffres on écrit des nombres et là on fait le rapport à unités, dizaines, etc... qu'ils connaissent déjà très bien.
C'est bien suffisant à mon avis. Après si jamais certains sont chaud on a qu'à faire avec eux de la théorie des ensembles et construire l'ensemble des entiers naturels.
D'ailleurs on trouve toujours des collègues pour faire les pointilleux sur la définitions des entiers naturels mais bizarrement aucun qui essaie de justifier l'addition et les autres opérations élèmentaires.
Bref à mon humble avis Dido, ton fils est mal tombé sur ce coup là. Si il s'embrouille tu lui dis simplement de ne pas faire attention à ça et ça ne l'empechera pas de réussir en math. (:P)
-- Schnoebelen, Philippe
Sans parler de bases, les élèves savent (ou devraient/pourraient savoir) qu'un nombre peut être représenté de plusieurs manières :
$$
2=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\dots
$$
A moins que les fractions ne soient perçus que comme des résultats d'opérations...
C'est justement une des taches interessantes en 5èmes de faire le lien entre fraction quotient et fraction proportions et enfin de voir que tout ça représente des nombres, qui d'ailleurs peuvent être entier.
- entier
- décimaux
- fraction décimale
- addition de fraction décimale
- quotient
- fraction
- fraction irréductible
Il ne s'agit pas d'un objectif du primaire mais bien d'un des objectifs de la 6ème de mon point de vu même si beaucoup de choses ont déjà été vu jusqu'au CM2 c'est une évidence.
Cordialement,
-- Schnoebelen, Philippe
"les entiers naturels sont 0, 1, 2, 3, ..."
"les entiers relatifs sont 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ..."
-- Schnoebelen, Philippe
on n'arriverait pas à boucler le programme de 6ème avant la date du prochain big-bang.
Je crois qu'il serait bon que les enseignants (pas que ceux de maths d'ailleurs) se révoltent un bon coup et envoient chier furieusement tous les saccageurs de cerveaux que sont les concepteurs de programmes et autres inspecteurs qui entendent qu'ils soient respectés. Car ce faisant, les programmes sont peut-être respectés, mais pas la dignité humaine des élèves.
Je connais ce parallèle, mais la différence notable c'est que 0, 1,..., 9 sont des nombre tandis que "b" n'est pas un mot (en tout cas pas dans la langue française, et sans doute dans aucune langue du monde).
2 liens qui ne me paraissent pas mal (:P) pour la classe de 6ème :
lien 1 et lien 2
Cordialement
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
Visiblement, le jury du CAPES avait de bonnes raisons de ne pas pourvoir tous les postes...
les notions fondamentales de la géomètrie et les cinq groupes d'axiomes
définition: Nous pensons trois systèmes différents de choses; nous nommons les choses du premier système des points, nous les désignons par des majuscules A,B,C..; nous nommons droites les choses du deuxième système et nous les désignons par des minuscules a,b,c..; nous appelons plans les choses du troisième système et nous les désignons par des caractères grecs $\alpha,\beta,\gamma..$ Les points constituent les éléments de la géomètrie linéaire; les points et les droites sont les éléments de la géomètrie plane; enfin les points,les droites et les plans sont ceux de la géométrie de l'espace ou de l'espace lui-même.
Entre les points,les droites et les plans , nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que "être sur","entre","congruent";la description exacte et appropriée au but des mathématiques de ces relations est donnée par les axiomes de la géomètrie.
on peut classer les axiomes de la géométrie en cinq groupes: chacun de ses groupes exprime quelques faits fondamentaux,liés les uns aux autres, et qui nous sont donnés par l'intuition . Nous désignons comme suit ces groupes d'axiomes:
(1) axiomes d'appartenance
(2) axiomes d'ordre
(3) axiomes de congruence
(4) axiome des parallèles 8-)
(5) axiomes de continuité
Hilbert s'autorisait l'intuition dans un livre posant les fondements de la géomètrie.
cordialement,
Pourquoi est-ce choquant ? Le but de l'éducation reste tout de même de transmettre un peu de culture ce qui est la seul chose hélas que bien des élèves retiendront.
Commencer par les numérations qui ne sont pas celles qui nous est naturelles (la numération indo-arabe), je trouve que cela à plus de sens que d'essayer de se prendre la tête avec une définition théorique de quelque chose d'aussi naturel que d'avoir une notion de dénombrement comme le souligne Capesard.
Il faut aussi se mettre dans le contexte actuel où les inspecteur sont à fond sur l'interdisciplinarité et le culturel au sein des sciences (ce qui n'est pas plus mal car qui retiendra la définition d'un nombre entier après 10ans dans l'E.N. pour certains élèves cela ne leur dira rien tout simplement).
Personnellement, a mes zouaves, je leur donne comme définition d'un naturel:
Ce sont les nombres qui permettent de compter les objets. ex 0 1 2 etc....
Je dis que les chiffres 0 à 9 sont des nombres qui permettent d'écrire les autres nombres( et oui les chiffres permettent aussi de compter). En ce qui concerne les décimaux, je leur parle avant du découpage d'une unité. Par exemple, un dixième d'unité 1/10 qu'on note 0,1 etc...
Je leur parle aussi du lien entre le système décimale et le fait que nous ayons dix doigts.
Il n'y a rien de plus difficile, je trouve, que la définition d'un nombre. Saurais-tu expliquer ce qu'est un nombre si tu n'avais pas fait de longues études mathématiques????
Je suis d'accord pour dire que les entiers naturels sont les nombres qui permettent de compter, c'est ce que je faisais aussi avec mes 6ème. Il ne s'agit pas non plus de définir un nombre après de longues études, mais de ne pas dire de bêtise. S'il ne sait pas l'expliquer, alors qu'il s'en tienne à l'intiution et qu'il n'impose pas à ces gamins une définition totalement fausse et incompréhensible !
Je répète , il définit un entier comme étant "un nombre ou un chiffre positif sans virgule"
1) Confusion entre chiffre et nombre (préciser "nombre ou chiffre" peut faire penser qu'il pense qu'un nombre à un chiffre (en chiffre arabe, en base 10) sont des chiffres et que les nombres à plusieurs chiffres sont des nombres; c'est aussi ce que j'ai cru pendant longtemps, mais c'était avant de devenir prof, quand j'ai du faire cours aux 6ème, je me suis renseigné au lieu de dire des bêtises !)
2) un entier peut être négatif, il n'a pas précisé entier naturel
3) les gamins de début de 6ème ne savent pas ce que veut dire positif puisqu'il ne savent même pas que les nombres négatifs existent ! (Le minimum serait quand même de lire les programmes, non ?)
4) comme on l'a déjà dit, 2,0 est un "nombre à virgule" et est pourtant un entier
Bref, je trouve que 4 erreurs aussi grossières en si peu de mots est quand même un exploit. Tout ça dans une "définition" qui n'apporte absolument rien à la compréhension ou à la connaissances mathématiques des gamins !
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Définition : soit $b$ un entier naturel $\ge 2$. On appelle $\{0,1,\ldots, b-1\}$ l'ensemble des chiffres en base $b$.
Définition - proposition : pour tout entier naturel $n$, il existe et une seule famille presque nulle $(a_k)_{k\in\N}$ de chiffres en base $b$ telle que $n=\sum_{k\in\N} a_k b^k$. On appelle $a_k$ le $k$-ième chiffre en base $b$ de $n$, ou simplement le $k$-ième chiffre s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Lorsque $b=10$, on appelle également $a_0$ (resp. $a_1, a_2, a_3$) le chiffre des unités (resp. dizaines, centaines, milliers).
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Ceux qui disent que les nombres à un chiffre ne sont pas des chiffres sont priés de donner une définition mathématique de la notion de chiffre et d'expliquer pourquoi elle est meilleure que celle que je viens de donner.
ce qui est intéressant à regarder chez les enfants, c'est l'apparition naturelle de la numération
quand ils grandissent. ça doit se passer à peu près ainsi:
on compte une grande collection.
on fait des grands paquets (disons des centaines), on en compte trois, on met le résultat de côté: 3
on compte ensuite le reste avec des paquets plus petits, les dizaines. on en compte 2.
on met le résultat de côté: 2
On compte ce qui reste: une unité.
au final, le résultat est noté 321.
on voit sur cet exemple simple, qu'il serait possible de compter en base variable.
le choix du paquet plus petit dépend d'où l'on en est:
avec des milliers, puis des 49-aines , puis des 3-zaines, ça donnerait
$N=a10^3+b 7^2+c3^1+d$ , je me demande si ça marche (existence et unicité des chiffres)
(j'ai vû une fois le nombre $\pi$ , en base variable, écrit très simplement)
cordialement,
Définir un nombre, OK, au cours de nos études, nous avons vu des constructions de $\N ; \Z$ etc.
Définir un chiffre?
D'apèrs mon dictionnaire:
chiffre: "Caractère dont on se sert pour représenter les nombres"
ou, définition plus personnelle "signe (ou symbole) dont on se sert pour écrire les nombres"
Ainsi pour répondre à ma question posée plus haut (pour des élèves de Sixième):
le chiffre [size=x-large]2[/size] est plus grand que le chiffre [size=small]5[/size] mais le nombre 5 est supérieur à 2 (*).
M,D,C,L,X,V,I sont des chiffres romains
$\pi$ est-il un chiffre?
Les lettres de l'alphabet sont-elles des chiffres? (Elles permettent aussi d'écrire les nombres: zéro, un, deux, deux mille douze, etc.
Maintenant, tu nous mets au défi de donner une définition mathématique d'un chiffre, et je comprends mieux ton point de vue, qui est défendable
Mais, je pourrais te demander, en retour de me donner une définition mathématique d'un quantificateur
Saurais-tu définir $\exists$ ou $\forall$ ? Avec quel langage mathématique ?
(*)[size=x-small]Au regard de ta définition, je doute à présent de ma réponse[/size]
Pour ce qui est de la définition de $\forall$, on n'en a pas besoin parce qu'il n'y a pas de théorème mathématique qui parle de "$\forall$". De même, on ne définit pas $\in$. Le langage mathématique est constitué d'un nombre fini de symboles tels que $\forall$, $\in$, etc. qui sont soumis à des règles (le calcul des prédicats, les axiomes de Zermelo-Frankel), mais on ne cherche pas à donner de définition de ces symboles, mis à part donner des exemples et des explications pour guider l'intuition.
qui semble être un théorème d'existence écrit avec des morphismes (des flèches)
Mais peut-être y a-t-il moyen de la rectifier par une locution plus compliquée
Le but est quand même de parler de notions familières aux élèves, sans les embrouiller, sans nécessairement être rigoureux (sinon on refait les maths modernes) mais sans être brouillon non plus. Bref, ce n’est pas simple.
-- Schnoebelen, Philippe
Un énoncé pour des sixièmes doit êtr d'abord intelligible , même s'il comporte de petits raccourcis de langage.
Mon propos était de savoir comment on pourrait formuler cet énoncé en gardant la définition du chiffre de mon dictionnaire ...
Les définitions ne sont même plus à connaître, il ne reste plus qu'à savoir les appliquer (ce qui n'est pas si bête après tout). Ainsi, le but reste de formaliser c'est un fait car c'est l'objet de notre matière mais aussi et surtout que les élèves sachent appliquer les définitions et les propriétés. A partir de là, si une """"définition"""" non académique fonctionne pour transmettre l'idée et que les élèves puissent manipuler les nombres et les chiffres sans se taper la tête contre un mur, je pense que l'objectif est atteint.
Après, si le but est de ne former que des scientifiques, là, la question des "bonnes" définitions se poserait mais bon le pourcentage de scientifique qui sortent de l'école n'est pas ce qu'il y a de plus représentatif, beaucoup se limiteront au côté utilitariste des maths et non au côté axiome+dèf+prop+théo.
cool, je pensais être un gros con, ça va mieux merci Rémi.
S
* Je donne le nom si vous voulez.
-- Schnoebelen, Philippe