Exercice 108 p 42, Repères TS
Bonjour,
dans cet exercice on démontre l'existence de la constante d'Apéry.
La dernière question demande d'écrire un algo pour avoir une valeur approchée à $\epsilon$ près de la valeur de la limite de la suite $(u_n)$ ($u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^3}$)
Ok, on fait comment?
Je me vois mal demander à mes TS de majorer les restes de la série (ils sont forts mais là je buggue aussi).
Si quelqu'un a une idée à me soumettre! Merci beaucoup!
F.D.
dans cet exercice on démontre l'existence de la constante d'Apéry.
La dernière question demande d'écrire un algo pour avoir une valeur approchée à $\epsilon$ près de la valeur de la limite de la suite $(u_n)$ ($u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^3}$)
Ok, on fait comment?
Je me vois mal demander à mes TS de majorer les restes de la série (ils sont forts mais là je buggue aussi).
Si quelqu'un a une idée à me soumettre! Merci beaucoup!
F.D.
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Réponses
Télescoper $\dfrac1{k(k^2-1)}$ ?
e.v.
Le reste est majoré par $$\sum_{k=n+1}^{\infty} \, k^{-3} \leq \int_{n}^{\infty} \, x^{-3}dx = \frac{1}{2n^2}$$ d'où introduire les deux suites adjacentes $$
\begin{cases}
&u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \, \frac{1}{k^3} \\
&v_n = \displaystyle u_n+\frac{1}{2n^2}
\end{cases}
$$ Cordialement,
Merci pour ces réponses :
- l'intégrale généralisée est Hors-Programme (mais c'était ma première idée)
- les suites adjacentes sont Hors-Programme (et le livre propose l'inégalité $u_n\leq 2-\dfrac{1}{n}$ qui n'est pas géniale)
J'avoue avoir cherché à joindre l'un des auteurs du manuel dont je pense qu'il est l'auteur de la question.
Merci encore,
amicalement,
F.D.
[La case LaTeX. AD][Merci bcp après 7h de cours, j'ai plus un neurone en place moi)
$$\sum_{k=n}^m \dfrac1{k(k^2-1)} = \dfrac12\left( \dfrac1{n-1}-\dfrac1m \right) - \dfrac12\left( \dfrac1{n}-\dfrac1{m+1} \right)$$
ça mouline tout seul, non ?
e.v.
DÉBUT LIRE e S=1 A=0 n=1 TANTQUE S>e FAIRE S=0 POUR k = n JUSQU'À n+1000 INCRÉMENT 1 FAIRE S=S+1/k^3 FINPOUR n=n+1 FINTANTQUE POUR k = 1 JUSQU'À n INCRÉMENT 1 FAIRE A=A+1/k^3 FINPOUR ÉCRIRE A FINc'est ce qui est demandé dans cet exos. Mais ce n'est pas ce que je demanderais aux élèves. La démonstration est hors de leur portée et l'algorithme aussi de toute façon ..... mais on peut leur faire "sentir " la démonstration après tout, ce n'est qu'une activité pour nourir la curiosité des meilleurs
lol pour la dernière remarque de Sylvain que j'avais vue dans un autre post.
Et oui! on leur demande des algo et, pourl'avoir rencontré, je sais que l'auteur du manuel qui a le plus de goût pour les algos, en a mis des bien sympathiques. Bon, bien sûr, je n'ai jamais vu d'élève capable de les comprendre mais c'est sympa.
Merci de vos remarques et précisions.
Pour ceux qui n'enseignent pas, entre nous (dans mon équipe de maths) on s'applique une règle : si je cherche >5minutes alors ça ne sert à rien pour les élèves.
Même si "sécher fait partie des mathématiques", il ne faut rien exagérer.
Amicalement,
F.D.
Si l'exercice était correctement posé, on demanderait aux élèves de montrer que $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}$ et $R_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} + \frac{1}{2n^2}$ sont adjacentes (sans introduire le vocabulaire mais en faisant démontrer chaque point de la définition). Ils en déduiraient l'existence de la limite. Et on serait alors raisonnablement en droit d'attendre un algorithme tout bête du type
Lire e
Assigner à n la valeur 1
Assigner à S la valeur 1
Tant que 1/(2n^2) > e faire
~~~n prend la valeur n+1
~~~S prend la valeur S + 1/n^3
Fin de Tant que
Afficher S
Je pense cependant, que l'algo que je propose fonctionne ....
1) Montrer, pour tout entier $k \ge 2, 1/k^3 \le \int_{k-1}^k 1/t^3 dt$.
2) En déduire, pour tous entiers $ m \ge n \ge 2, \sum_{k=n}^m 1/k^3 \le \int_{n-1}^m 1/t^3 dt$.
3) En déduire, pour tous entiers $ m \ge n \ge 2, \sum_{k=n}^m 1/k^3 \le 1/(2(n-1)^2)-1/(2m^2)$.
4) En déduire, pout tout entier $n \ge 2$, $S - \sum_{k=1}^{n-1} 1/k^3 \le 1/(2(n-1)^2)$ où $S$ est la somme de la série.
Si oui, pourrais-tu préciser quels sont les points trop difficiles ?
Personnellement, j'ai passé du temps en début d'année à faire comprendre que le raisonnement par récurrence était nécessaire pour démontrer qu'une assertion est vraie pour tout entier n et qu'il ne suffisait pas de la vérifier pour n = 1, 2, 1 000 ou 1 000 000. Idem pour le fait qu'une limite ne dépend pas des premiers termes (même des 10 000 premiers).
Ca me paraitrait anti-pédagogique d'aller expliquer une semaine plus tard que pour mon algo, je m'en fiche, je considère que 1000 termes du reste suffisent. Pourquoi 1000? Pourquoi pas 10 000 termes? Pourquoi pas 100 000?
A moins d'invoquer les limites de précision de la machine, je vois mal comment tu justifies ton choix.
Quand au fait que l'exercice soit mal posé, un bon conseil qui m'a été donné est de ne jamais donner un exercice sans l'avoir modifié (ou sans avoir une bonne raison pour ne pas le modifier).
Lorsque ce sera fait, il n'y aura pas à ruser pour utiliser l'intégrale généralisée. Si on n'en fait pas de théorie générale, elles apparaissent bien au programme dans le chapitre sur les variables aléatoires à densité (loi exponentielle, loi normale). Donc on peut tout à fait donner l'exercice en début d'année en donnant la suite adjacente clé en main et en demandant de prouver ses propriétés puis, dans le chapitre intégration, redonner un exercice d'étude des sommes de Riemann où cette fois les élèves ont à trouver "tous seuls" (c'est à dire largement guidés par les questions) l'expression de la suite adjacente.
A noter que si la notion de suite adjacente n'est pas au programme, on demande expressément d'étudier les approximations de réels et des exemples d'algorithmes comme la dichotomie donc d'étudier pas d'exemples de suites adjacentes En gros, on doit montrer plein de belles voitures, observer qu'elles vont vites mais surtout pas prendre le temps d'ouvrir le capot pour expliquer qu'elles roulent grâce à un moteur.
Une question bête : quelle est la méthode utilisée pour obtenir ce résultat ?
l'exercice considère la suite des sommes partielles, puis demande de démontrer sa croissance puis que le terme $u_n$ est majoré par $2-\dfrac{1}{n}$
Je suis sans doute un peu biaisé. J'ai vu pour la première fois ces comparaisons séries/intégrales au lycée (dans un bouquin) pour montrer la divergence de la somme des $1/n$ et j'avais trouvé ça très beau. Clairement ici ce ne serait pas un petit exercice mais plutôt un gros devoir à la maison pour les éventuels motivés.
@gb : cet exercice est vu comme une application du théorème "de convergence monotone" (toute suite monotone et bornée est convergente).
L'idée étant que la monotonie est triviale et que l'on établit (par récurrence) que $u_n\leq 2-\dfrac{1}{n}$. Malheureusement, je ne crois pas que cette inégalité produise quoi que ce soit dans le contexte de la dernière question.
Amicalement,
F.D.
i)
il y a quatre propriétés
- la complétion ($\mathbb{R}$ est un espace métrique complet)
- la connexité (il n'y a pas de trous dans la droite réelle)
- l'axiome de borne supérieure (ce qui garantit l'existence d'une limite commune
aux suites adjacentes)
- la fait que les nombres décimaux ont deux développements décimaux , un propre , l'autre impropre avec une infinité de "9" (on voit que l'existence des développeemnts décimaux impropres permet la connexité de la droite - paradoxe de Zénon)
cf. Laurent Schwartz dans son livre "Topologie générale et analyse fonctionnelle".
sont elles équivalentes ?
ii) on va regarder si l'on peut calculer $\zeta(3)$ (la formule vaut une médaille F.... en chocolat, tout le monde cherche cette formule depuis des lustres
en considérant cette unique série
$$F(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{(-1)^{n+1}}{n} \, \frac{1}{n^2} \, x^n$$
comme diverses sommes barycentriques de sommes de poids $ log(2)$, $\frac{\pi^2}{6}$ et $\frac{3}{4} \, \zeta(3)$ , en essayant de faire jouer un rôle à $\gamma$
ça m'étonnerait...
cordialement,
ps ça ne marche pas, je vais essayer une formule de Poisson en posant
$$G(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{(-1)^{n+1}}{n} \, \frac{1}{n^2} \, e^{-n^2x^2}$$