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Exercice 108 p 42, Repères TS

Envoyé par FrancoisD_pas_logge 
FrancoisD_pas_logge
Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Bonjour,

dans cet exercice on démontre l'existence de la constante d'Apéry.
La dernière question demande d'écrire un algo pour avoir une valeur approchée à $\epsilon$ près de la valeur de la limite de la suite $(u_n)$ ($u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^3}$)

Ok, on fait comment?
Je me vois mal demander à mes TS de majorer les restes de la série (ils sont forts mais là je buggue aussi).

Si quelqu'un a une idée à me soumettre! Merci beaucoup!

F.D.
H
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Comparaison à une intégrale ?
ev
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
avatar
Bonjour François.

Télescoper $\dfrac1{k(k^2-1)}$ ?

e.v.
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Bonjour, je rédige les idées évoquées par e.v et H

Le reste est majoré par $$\sum_{k=n+1}^{\infty} \, k^{-3} \leq \int_{n}^{\infty} \, x^{-3}dx = \frac{1}{2n^2}$$ d'où introduire les deux suites adjacentes $$
\begin{cases}
&u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \, \frac{1}{k^3} \\
&v_n = \displaystyle u_n+\frac{1}{2n^2}
\end{cases}
$$ Cordialement,
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
avatar
Bonsoir,

Merci pour ces réponses :
- l'intégrale généralisée est Hors-Programme (mais c'était ma première idée)

- les suites adjacentes sont Hors-Programme (et le livre propose l'inégalité $u_n\leq 2-\dfrac{1}{n}$ qui n'est pas géniale)

J'avoue avoir cherché à joindre l'un des auteurs du manuel dont je pense qu'il est l'auteur de la question.
Merci encore,
amicalement,
F.D.

[La case LaTeX. AD][Merci bcp après 7h de cours, j'ai plus un neurone en place moi)
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Le livre du professeur ne corrige que les 3 premières questions et évite soigneusement cette dernière question.... l'auteur ne devait pas savoir comment faire non plus ....
H
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
On ne peut pas faire des intégrales généralisées sans le dire, à la main ? Pour $m \ge n$ on obtient une majoration de $\sum_{n \le k \le m} u_k$ puis on fait tendre $m$ vers l'infini. Non ? Je n'ai jamais eu des terminales sous la main et je n'ai jamais eu à respecter un programme donc je ne me rend pas bien compte.
ev
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
avatar
En écrivant $\dfrac1{k^3} < \dfrac1{k(k^2-1)}$ et $\dfrac1{k(k^2-1)} = \dfrac12\left( \dfrac1{k-1} - \dfrac2k + \dfrac1{k+1}\right)$ et
$$\sum_{k=n}^m \dfrac1{k(k^2-1)} = \dfrac12\left( \dfrac1{n-1}-\dfrac1m \right) - \dfrac12\left( \dfrac1{n}-\dfrac1{m+1} \right)$$
ça mouline tout seul, non ?

e.v.
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
On doit pouvoir justifier sans vraie démonstration qu'on peut se contenter de majorer une partie du reste de la série (ici j'ai choisi d'aller au maximum jusqu'à 1000 termes), ce qui permet d'utiliser cet algo (avec LARP). Pas de vraie démonstration, mais ce n'est peut-être pas ce qui est demandé
DÉBUT
    LIRE e
    S=1
    A=0
    n=1
    TANTQUE S>e FAIRE
        S=0
        POUR k = n JUSQU'À n+1000 INCRÉMENT 1 FAIRE
            S=S+1/k^3
        FINPOUR
        n=n+1
    FINTANTQUE
    POUR k = 1 JUSQU'À n INCRÉMENT 1 FAIRE
        A=A+1/k^3
    FINPOUR
    ÉCRIRE A
FIN



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
avatar
On demande vraiment des trucs pareils (faire des algo plutôt que des maths) aux élèves maintenant ? Pas étonnant qu'ils votent pour que 2/3*3/2=0, après tout c'est un algo qui permet d'avoir une réponse à donner au prof...
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Sylvain,
c'est ce qui est demandé dans cet exos. Mais ce n'est pas ce que je demanderais aux élèves. La démonstration est hors de leur portée et l'algorithme aussi de toute façon ..... mais on peut leur faire "sentir " la démonstration après tout, ce n'est qu'une activité pour nourir la curiosité des meilleurs
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
avatar
Salut,

lol pour la dernière remarque de Sylvain que j'avais vue dans un autre post.

Et oui! on leur demande des algo et, pourl'avoir rencontré, je sais que l'auteur du manuel qui a le plus de goût pour les algos, en a mis des bien sympathiques. Bon, bien sûr, je n'ai jamais vu d'élève capable de les comprendre mais c'est sympa.

Merci de vos remarques et précisions.

Pour ceux qui n'enseignent pas, entre nous (dans mon équipe de maths) on s'applique une règle : si je cherche >5minutes alors ça ne sert à rien pour les élèves.

Même si "sécher fait partie des mathématiques", il ne faut rien exagérer.

Amicalement,

F.D.
afk
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
@dido, théoriquement, ça me parait faux et en plus l'algorithme est bien compliqué.

Si l'exercice était correctement posé, on demanderait aux élèves de montrer que $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}$ et $R_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} + \frac{1}{2n^2}$ sont adjacentes (sans introduire le vocabulaire mais en faisant démontrer chaque point de la définition). Ils en déduiraient l'existence de la limite. Et on serait alors raisonnablement en droit d'attendre un algorithme tout bête du type

Lire e
Assigner à n la valeur 1
Assigner à S la valeur 1
Tant que 1/(2n^2) > e faire
~~~n prend la valeur n+1
~~~S prend la valeur S + 1/n^3
Fin de Tant que
Afficher S
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Je suis d'accord que si l'exercice était ainsi posé, ça serait bien mieux.
Je pense cependant, que l'algo que je propose fonctionne ....
H
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Pour être concret, tu penses que l'exercice suivant est hors de porté même des meilleurs élèves ?

1) Montrer, pour tout entier $k \ge 2, 1/k^3 \le \int_{k-1}^k 1/t^3 dt$.
2) En déduire, pour tous entiers $ m \ge n \ge 2, \sum_{k=n}^m 1/k^3 \le \int_{n-1}^m 1/t^3 dt$.
3) En déduire, pour tous entiers $ m \ge n \ge 2, \sum_{k=n}^m 1/k^3 \le 1/(2(n-1)^2)-1/(2m^2)$.
4) En déduire, pout tout entier $n \ge 2$, $S - \sum_{k=1}^{n-1} 1/k^3 \le 1/(2(n-1)^2)$ où $S$ est la somme de la série.

Si oui, pourrais-tu préciser quels sont les points trop difficiles ?
H
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
@dido : ton algorithme est pragmatique mais il n'y a a priori pas d'énoncé mathématique associé. Par ailleurs, au niveau complexité il est très très gourmand !
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Ne pas oublier que le chapitre sur les suites doit être un des premiers, donc les intégrales ne sont pas encore vues; tout dépend quand on propose cet exercice bien sur.
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
H, oui, je suis d'accord ..... c'est du bricolage avec les moyens mathématiques du bord des élèves à cette époque de l'année
afk
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
@dido On est obligé de "faire sentir" certaines choses parce qu'on a pas le temps de les prouver mais il faut au moins qu'elles soient démontrables (si possible dans un cadre raisonnable).

Personnellement, j'ai passé du temps en début d'année à faire comprendre que le raisonnement par récurrence était nécessaire pour démontrer qu'une assertion est vraie pour tout entier n et qu'il ne suffisait pas de la vérifier pour n = 1, 2, 1 000 ou 1 000 000. Idem pour le fait qu'une limite ne dépend pas des premiers termes (même des 10 000 premiers).

Ca me paraitrait anti-pédagogique d'aller expliquer une semaine plus tard que pour mon algo, je m'en fiche, je considère que 1000 termes du reste suffisent. Pourquoi 1000? Pourquoi pas 10 000 termes? Pourquoi pas 100 000?
A moins d'invoquer les limites de précision de la machine, je vois mal comment tu justifies ton choix.

Quand au fait que l'exercice soit mal posé, un bon conseil qui m'a été donné est de ne jamais donner un exercice sans l'avoir modifié (ou sans avoir une bonne raison pour ne pas le modifier).
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
afk, oui, les précisions de la machine sont un bon argument. Et j'ai bien précisé que je ne donnerais pas cet exercice à mes élèves
afk
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
@H Il faut considérer qu'ils débutent tout juste avec le symbole $\sum$, les propriétés élémentaires (distributivité) leurs posent déjà des problèmes. Tu peux être sur que le fait d'avoir deux indices variables pour les bornes va en déconcerter plus d'un. D'autre part l'intégration ne sera vue que dans quelques mois.

Lorsque ce sera fait, il n'y aura pas à ruser pour utiliser l'intégrale généralisée. Si on n'en fait pas de théorie générale, elles apparaissent bien au programme dans le chapitre sur les variables aléatoires à densité (loi exponentielle, loi normale). Donc on peut tout à fait donner l'exercice en début d'année en donnant la suite adjacente clé en main et en demandant de prouver ses propriétés puis, dans le chapitre intégration, redonner un exercice d'étude des sommes de Riemann où cette fois les élèves ont à trouver "tous seuls" (c'est à dire largement guidés par les questions) l'expression de la suite adjacente.

A noter que si la notion de suite adjacente n'est pas au programme, on demande expressément d'étudier les approximations de réels et des exemples d'algorithmes comme la dichotomie donc d'étudier pas d'exemples de suites adjacentes En gros, on doit montrer plein de belles voitures, observer qu'elles vont vites mais surtout pas prendre le temps d'ouvrir le capot pour expliquer qu'elles roulent grâce à un moteur.
gb
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
avatar
Citation
FrancoisD
dans cet exercice on démontre l'existence de la constante d'Apéry.

Une question bête : quelle est la méthode utilisée pour obtenir ce résultat ?
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
bonjour,
l'exercice considère la suite des sommes partielles, puis demande de démontrer sa croissance puis que le terme $u_n$ est majoré par $2-\dfrac{1}{n}$
H
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
Merci pour ces infos.

Je suis sans doute un peu biaisé. J'ai vu pour la première fois ces comparaisons séries/intégrales au lycée (dans un bouquin) pour montrer la divergence de la somme des $1/n$ et j'avais trouvé ça très beau. Clairement ici ce ne serait pas un petit exercice mais plutôt un gros devoir à la maison pour les éventuels motivés.
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
avatar
Bonjour,

@gb : cet exercice est vu comme une application du théorème "de convergence monotone" (toute suite monotone et bornée est convergente).
L'idée étant que la monotonie est triviale et que l'on établit (par récurrence) que $u_n\leq 2-\dfrac{1}{n}$. Malheureusement, je ne crois pas que cette inégalité produise quoi que ce soit dans le contexte de la dernière question.

Amicalement,

F.D.
Re: Exercice 108 p 42, Repères TS
il y a sept années
bonjour,

i)
il y a quatre propriétés
- la complétion ($\mathbb{R}$ est un espace métrique complet)
- la connexité (il n'y a pas de trous dans la droite réelle)
- l'axiome de borne supérieure (ce qui garantit l'existence d'une limite commune
aux suites adjacentes)
- la fait que les nombres décimaux ont deux développements décimaux , un propre , l'autre impropre avec une infinité de "9" (on voit que l'existence des développeemnts décimaux impropres permet la connexité de la droite - paradoxe de Zénon)

cf. Laurent Schwartz dans son livre "Topologie générale et analyse fonctionnelle".

sont elles équivalentes ?

ii) on va regarder si l'on peut calculer $\zeta(3)$ (la formule vaut une médaille F.... en chocolat, tout le monde cherche cette formule depuis des lustres :D)
en considérant cette unique série
$$F(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{(-1)^{n+1}}{n} \, \frac{1}{n^2} \, x^n$$
comme diverses sommes barycentriques de sommes de poids $ log(2)$, $\frac{\pi^2}{6}$ et $\frac{3}{4} \, \zeta(3)$ , en essayant de faire jouer un rôle à $\gamma$

ça m'étonnerait...

cordialement,

ps ça ne marche pas, je vais essayer une formule de Poisson en posant
$$G(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{(-1)^{n+1}}{n} \, \frac{1}{n^2} \, e^{-n^2x^2}$$
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