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maths, éducation au raisonnement

Envoyé par nunuche 
maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Bonjour,
au cours de diverses discussions de comptoir virtuelles sur des forums de maths ou de sciences, j'ai souvent lu des messages de gens qui semblaient croire dur comme fer que l'apprentissage des maths développe une capacité à raisonner correctement dans la vie de tous les jours.

Je ne mets nullement en doute l'intérêt que peuvent représenter l'apprentissage de la démonstration, de la rigueur mathématique, la clarté du raisonnement, toutes choses que l'on pourrait effectivement apprendre en maths.

Cela pourrait effectivement permettre aux gens de baser leurs décisions sur des raisonnements solides au lieu de se contenter de brouillons d'idées intuitives et d'opinions qui ne reposent sur pas grand-chose.

Citation
Francis Bacon
Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer.

Mais qui apprend le raisonnement en maths dans le secondaire ?

J"imagine bien que quelques élèves, après avoir eu une révélation, se mettent à apprécier cette matière et apprennent effectivement à démontrer, construire des raisonnements rigoureux, comme espéré...

Mais les autres ?

La seule chose qu'ils apprennent et qui puisse ressembler un peu à de la rigueur, c'est la manière servile de recopier des exercices-types à la lettre.

Ce qui est déjà un "bon début", selon certains : pour pouvoir résoudre un exercice-type, il faut encore identifier de quel type d'exercice il s'agit, quels critères il remplit, puis il faut respecter toutes les étapes de résolution avec patience et abnégation.

Cela apprend déjà à être moins brouillon, plus ordonné, ce qui peut être considéré comme une bonne base pour, plus tard, faire des démonstrations rigoureuses.

De là à dire qu'on apprend à raisonner en maths, il y a quand même un fossé.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par nunuche.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Bonsoir,
Citation
nunuche
Mais qui apprend le raisonnement en maths dans le secondaire ?
....
La seule chose qu'ils apprennent et qui puisse ressembler un peu à de la rigueur, c'est la manière servile de recopier des exercices-types à la lettre.
Pourquoi enfoncer les portes ouvertes, après avoir pendant quarante ans vidé les programmes de tout intérêt on va supprimer les enseignants inutiles, c'est normal.
Mais comme, à part pleurer, nous n'y pouvons rien je crains de voir naître une belle discussion totalement inutile.
Un texte bien long pour finalement un message bien consensuel sur ce forum.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
C'est vrai, ce sujet a déjà été débattu, rebattu...
Et il n'y a effectivement pas matière à polémiquer (troller ?) dans ce que j'ai raconté au-dessus, je vais donc être un peu plus explicite sur ce que je ressens quand je lis des gens qui disent que les maths sont une école du raisonnement rigoureux.

J'ai l'impression de sentir dans leurs propos du mépris sous-jacent envers les non-scientifiques, qui seraient des minus habens auxquels il serait de toute façons vain de tenter d'enseigner les rudiments du raisonnement mathématique.

Comme une vieille opposition inconciliable entre scientifiques et non-scientifiques.

Et j'ai parfois l'impression que certains scientifiques n'ont pas spécialement envie de démocratiser (ne serait-ce qu'un peu) l'accès au raisonnement scientifique, alors que dans le même temps ils reprochent aux non scientifiques de ne pas maîtriser ce type de raisonnement.
Oui c'est clair. En fait enseigner le raisonnement mathématique c'est super facile mais on ne le fait pas de manière à garder cette qualité supérieure juste pour nous.

Franchement t'es sérieux là ?
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Ben, tu semblais te plaindre que c'était consensuel... spinning smiley sticking its tongue out

Enseigner le raisonnement mathématique, je ne pense pas que ce soit aussi compliqué qu'enseigner les maths.

Les programmes de mathématiques, algèbre élémentaire, fonctions... c'est ce qu'on pense indispensable d'enseigner dans le secondaire depuis que les cours de maths existent, mais ce n'est pas enseigner le raisonnement mathématique.

Le raisonnement mathématique pourrait être enseigné en prenant n'importe quel sujet mathématique pour support...

Par exemple des sujets qui seraient moins compliqués à enseigner, et permettraient de ne pas perdre de vue le côté "raisonnement".
Tu ne dis pas du tout la même chose dans ton message 1 et dans ton message 2.

Citation

Enseigner le raisonnement mathématique, je ne pense pas que ce soit aussi compliqué qu'enseigner les maths.

Cette phrase n'a pas de sens pour moi. Tant qu'on ne fait pas de raisonnement mathématique, on ne fait pas de maths (même si on appelle ça "cours de math" et que c'est une source de malentendus).

Par ailleurs, si apprendre le raisonnement mathématique était aussi simple, ça se saurait. Si t'as une approche pour l'enseigner, ce serait également intéressant de nous en parler.
(Je pourrais développer ou être moins sec, mais vu que tu balances souvent des trolls d'humeur sur le forum, je ne suis pas sûr que ça en vaille la peine. Je te laisse me rassurer en produisant un texte équilibré si tu le souhaites.)
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Citation
H
Tant qu'on ne fait pas de raisonnement mathématique, on ne fait pas de maths (même si on appelle ça "cours de math" et que c'est une source de malentendus).
Je suis bien d'accord.
Ce que je pense à propos du contenu des cours de maths, c'est que les élèves qui n'arrivent pas à suivre pourraient aussi bien apprendre à raisonner sur des contenus plus abordables pour eux, le raisonnement mathématique peut probablement être appris à partir de sujets très divers.

Et je crois que cela vaudrait le coup de laisser provisoirement de côté les sujets de bases classiques et indispensables à la culture du scientifique, si cela permettait aux élèves en difficulté d'utiliser leur cerveau au lieu de le déconnecter en entrant en cours de maths.

Evidemment, ne comptez pas sur moi pour vous donner un exemple concret de sujet qui serait plus abordable et permettrait de raisonner mathématiquement, je n'y connais rien.
Mais depuis le temps que je m'intéresse au sujet, j'imagine que même en maths élémentaires, le domaine est très vaste.

Il existe sûrement des sujets qui demandent des sauts conceptuels moins importants, un passage à l'abstraction moins abrupt, et qui permettraient aux élèves de continuer à raisonner de temps en temps, au lieu de tout le temps patauger sans savoir ce qu'ils font.

Je pense bien qu'il y a des sujets auxquels on a besoin de s'habituer de manière progressive, auxquels il est assez naturel de ne pas tout comprendre au départ, je ne dis pas qu'il faut supprimer tous les sujets abstraits et demandant des sauts conceptuels importants...

Simplement de temps en temps, il serait bon que les élèves faibles puissent évoluer sur du terrain solide, afin qu'ils puissent tester leur capacité à raisonner sur des sujets faisables, sans attendre une hypothétique compréhension, qui ne viendra peut-être jamais car ils finissent par jeter l'éponge.

L'idée dans les programmes de maths, c'est qu'un élève doit avoir acquis telle notion, puis telle autre, que ces notions sont indispensables, qu'il faut se lancer dans un genre de course contre la montre pour les acquérir toutes, et que donc il ne faut pas perdre du temps à apprendre à raisonner.

Parce que c'est peut-être ce genre de choses qui prend le plus de temps, c'est donc cela qu'on sacrifie.

Au bout du compte, les élèves font semblant de maîtriser des trucs, en réalité ils ne maîtrisent que dalle, mais les apparences sont sauves...

Et quand on parle d'enseigner des maths aux non-scientifiques, ce n'est pas pour leur apprendre à raisonner, mais plutôt pour leur faire appliquer des formules utilitaires dont ils auraient soi-disant besoin dans leur vie professionnelle.
Autant se servir d'un ordinateur...
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Citation

Et quand on parle d'enseigner des maths aux non-scientifiques, ce n'est pas pour leur apprendre à raisonner, mais plutôt pour leur faire appliquer des formules utilitaires dont ils auraient soi-disant besoin dans leur vie professionnelle.
Ce n'est pas tout à fait ça.
Les maths (mais je pense la physique aussi) c'est la quasi seule discipline ou tu fixes des règles (même pas très bien comprises) et tu t'y tiens strictement.
Récemment, je fais la fonction inverse. Puis j'énonce '' des nombres de même signe et leurs inverses sont rangés en sens contraires'' J'écris ça formellement. Il y en a qui n'ont pas pigé vraiment d'où ça venait ni ne maîtrisent les symboles < ou > . Mais formellement ils savent qu'ils peuvent passer de a < b < c à 1/c < 1/b < 1/a.
Plusieurs m'ont demandé à différentes reprises '' et s'il y a des négatifs et des positifs ?'' réponse de ma part '' on ne peut rien faire il n'y a pas de règle '' (en fait si en raisonnant plus finement, on peut s'en sortir)
Et c'est aussi l'intérêt des maths. Fixer des règles formelles et s'y tenir strictement. C'est bête comme truc mais il y a pas mal de personnes qui n' ''arrivent pas '' à respecter ça (je mets des guillemets car ce n'est pas un manque de capacité, peut-être qu'ils ont pas assez joué à des jeux de société étant jeunes)
Il y a une discipline qui ressemble beaucoup aux maths de ce point de vue (alors qu'il n'y a pas de maths dedans) c'est le Droit. (J'en ai fait un an.)
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Et bien, si c'était cela les maths ou la physique, je ne trouverais pas cela intéressant et je n'aurais pas envie d'en faire.
Et de ce fait, je ne serais pas ici pour me lamenter sur la façon dont les sciences sont enseignées.

Et la comparaison avec le droit ne me semble pas vraiment adaptée : la physique, c'est un peu les lois de la nature, les maths, euh... aussi.
Et dans le fond, si on en est capable, il y a en général des choses à comprendre sur comment ces lois fonctionnent.

Tandis que le droit, ce sont les lois de la société, élaborées par les hommes...
(même s'il y a probablement plein de trucs à comprendre aussi dans le droit, comme les motivations qui ont amené à la création de ses règles.)

Vu ce que dit Blueberry, les gens qui refusent de se plier aux lois mathématiques sans les comprendre seraient des espèces d'anarchistes, ce que je peux admettre : je suis moi-même assez rétive à l'autorité, et j'ai bien conscience que ça peut handicaper :
particulièrement pour les concepts mathématiques qui peuvent mettre du temps à être compris, et qu'on pourrait éventuellement apprivoiser peu à peu, en appliquant servilement sans comprendre, dans un premier temps.

Quant à la comparaison avec les jeux de société, elle est peut-être plus adaptée : peut-être que les enfants qui appliquent volontiers les règles mathématiques sans les comprendre considèrent cela comme un jeu.
Personnellement, je ne trouve pas ce jeu très captivant... eye rolling smiley
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Citation
Nunuche
Et bien, si c'était cela les maths ou la physique, je ne trouverais pas cela intéressant et je n'aurais pas envie d'en faire.
Et c'est bien pourquoi tu as eu des difficultés en classe et tu en es toujours traumatisée.
Car c'est bien un traumatisme que tu n'as jamais voulu régler, tes messages sur ce forum, tous dans le même sens, en témoignent.

La physique, c'est différent. Mais en maths, il n'y a que les règles. Et contrairement aux échecs, où il n'y a aussi que les règles, on joue seul (contre soi-même). Ou avec les autres pour trouver progressivement quelles sont les règles qui permettent d'avancer.

Il est probable que la plupart des gens qui n'aiment pas les maths ont réagi à une époque contre cette difficulté d'accepter de ne faire qu'appliquer les règles, d'où la tentation de "tricher" pour arriver vite au "résultat" (en croyant que c'est le résultat qui compte); puis progressivement, au lieu de connaitre de plus en plus de règles et de moyens de les appliquer, on comprend de moins en moins.

Les programmes n'ont rien à voir avec ça. Soit on a le droit de faire n'importe quoi, et ce n'est pas des maths. Soit on fait des maths et on doit se contraindre.


Cordialement.
Rémi_pas_logué
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
@Nunuche, tu prends un postulat faut: "tous les élèves souhaitent apprendre quelque chose". Avec cette hypothèse, il n'y a plus de problème pour appliquer ce que tu dis et en fait, tu n'aurais même plus besoin de le dire car le programme est fait pour ce type d'élèves justement.

Le fait est que ta phrase suivante est criant de vérité dans le problème des maths:
Citation
Nunuche
Et bien, si c'était cela les maths ou la physique, je ne trouverais pas cela intéressant et je n'aurais pas envie d'en faire.

Il ne devrait pas y avoir de "SI" dans ta phrase car les mathset la physique "C'EST CA" point final, il n'y a même pas à épiloguer sur le sujet en fait.

Le soucis étant que les élèves pour un grand nombre ne savent déjà pas respecter des règles de vie de classe et il faut leur apprendre à respecter des règles et même pire leur apprendre les règles des maths et de la vie (physique-chimie / SVT).

Le fait est que la pomme tombe sur le sol est une règle et il y a certes des équations et des notions de force derrière mais si on passe sous silence la partie théorique (non accessible au collège par exemple) et bien nous énonçons simplement une règle qui dans notre cas est toujours vraie. De même pour la reproduction en SVT étudié en SVT, on énonce des règles qui s'avère vraie dans la majorité des cas.

Et les maths c'est pire car la règle ne s'applique que dans le cas où elle est énoncé. Il n'y a pas de dérogation possible.

C'est bien cela le problème de la société face aux sciences vu que celles-ci a tendance à vouloir remettre en cause toutes les règles qui les entourent pour des raisons diverses et variées et cette même société croit que leur façon de faire dans a vie est applicable dans les sciences mais ce n'est pas le cas. Il faut s'y faire à défaut d'y adhérer au pire mais dans tous les cas 1/2+1/4 ne fera jamais 2/6 peut importe que tu le veuille ou non et que tu puisses dire que la règle est mal foutu ou non, il y a une règle, on l'applique point à la ligne.

Tu énonces le principe que le feu ça brûle à un enfant, il ne te croira pas et voudra remettre en cause la règle que tu lui as énoncé. Le bilan étant que la nature lui rappellera que le feu cela brûle, en effet.

Il ne faut pas réinventer la poudre tout le temps car cela ne sert strictement à rien. Tu parles de raisonnement et par conséquent il y a des règle dans l'argumentation et dans la forme de celle-ci si tu te refuses à t'y plier la sanction est immédiate à savoir la réponse est fausse tout simplement. Tout comme si tu fais un mélange de deux produit chimique provoquant une explosion, tu auras beau dire que cela n'explosera pas, cela explosera tout de même plus ou moins en fonction des concentration. Tu peux essayer de dompter la nature mais elle finit par te rappeler les règle et bien la logique c'est pire car tu ne peux même pas essayer de la dompter, elle est implacable et te rappellera directement les règles de son utilisation.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Citation
Rémi
C'est bien cela le problème de la société face aux sciences vu que celles-ci a tendance à vouloir remettre en cause toutes les règles qui les entourent pour des raisons diverses et variées et cette même société croit que leur façon de faire dans a vie est applicable dans les sciences
C'est bien pour cela que je dis que les règles des maths et de la physique ont peu à voir avec celles du droit... eye rolling smiley

Je sais qu'il y a quelque chose à comprendre en maths, alors qu'il n'y a pas grand-chose à comprendre quand on vous dit "la loi l'interdit".
Dans l'exemple que prend Blueberry, s'il me dit qu'il n'y a rien à comprendre et qu'il faut que j'applique cela sans chercher à comprendre, je sais bien qu'au fond il me raconte des salades.

Je ne remets pas en question les lois de la physique ou les lois mathématiques, je ne suis pas du genre à me demander pourquoi deux et deux font quatre, autrement j'aurais lâché l'affaire depuis longtemps et je m'intéresserais à l'art ou à la littérature....
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Citation

C'est bien pour cela que je dis que les règles des maths et de la physique ont peu à voir avec celles du droit..

Avec ce genre d'à peu près, tu ne risques pas de comprendre grand chose en sciences, ni en droit, ni dans pas mal de situations de la vie courante ! Je rappelle la phrase :
Citation
Blueberry
Il y a une discipline qui ressemble beaucoup aux maths de ce point de vue (alors qu'il n'y a pas de maths dedans) c'est le Droit. (J'en ai fait un an.)
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Et puis ?
J'ai bien lu sa phrase, mais je ne suis pas obligée de le croire.
Je respecte le point de vue de Blueberry, j'en prends compte, mais même si je n'ai fait ni droit ni maths, je ne crois pour l'instant pas vraiment au rapprochement qu'il fait entre droit et maths...

Quand je parlais des incompatibilités scientifiques/non-scientifiques, c'est que je trouve que tous les essais de discussions qu'on peut faire finissent souvent en dialogues de sourds, les uns prêtant aux autres des idées qu'ils n'ont pas et réciproquement.

La lumière au bout du tunnel était celle d'un train arrivant en sens inverse.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par nunuche.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Oui,

mais ce que tu as raconté n'a rien à voir avec ce qu'il disait.

Si tu ne comprends pas ce genre de phrase, c'est normal qu'il y ait dialogue de sourds !!!

Bon, je renonce, je te croyais de bonne foi.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Gérard, je ne comprends rien à ce que tu dis.sad smiley
(ça doit être que je suis non-scientifique...)

De quelle phrase tu parles exactement ?
Je ne suis pas d'accord avec ce que dit Blueberry, et je ne lui prête rien de plus comme idées que ce qu'il a écrit dans son message.
Après si j'élargis le propos, c'est de mon fait, je ne pense pas utiliser un procédé malhonnête pour lui attribuer des idées qu'il n'a pas.

Citation
Gérard
ce que tu as raconté n'a rien à voir avec ce qu'il disait.
Ben oui, puisque je ne pense pas comme lui...
Rémi_pas_logué
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Les maths reposent sur des postulats et des axiomes indémontrables qui génèrent par raisonnement logique tout le reste. Si tu refuses cela, tu refuses de faire des maths tout simplement et personne ne t'en voudra d'ailleurs car on peut faire plein de chose sans faire de maths ni adhérer au principe mathématiques car il est possible d'utiliser au quotidien les conséquences des maths sans pour autant comprendre comment cela fonctionne.

Une collègue a fait en AP cette année un travail sur la construction d'un jeu de société et donc de la règle du dit jeu. Elle s'est rendu compte tout simplement que les élèves refusaient de lire la règle d'une part (la lisant en diagonale pour en comprendre simplement les grande ligne et encore lorsqu'ils comprennent les grandes lignes) et d'autre part qu'il refuse d'utiliser les règles dans le jeu tout simplement. A partir de là, il devient impossible de faire des maths pour eux car il faut se contraindre à vouloir utiliser les règles tout simplement.

Tu écris ne pas remettre en cause l'idée que 2 et 2 font 4 mais tu fais semblant de poser des questions de fond à côté de cela sur le raisonnement et la logique des mathématiques.

Lorsque tu joues aux échecs pour reprendre l'exemple classique, tu ne déplaces pas le fou à la verticale ou à l'horizontale mais bien en diagonale, non ? Alors pourquoi croire que les mathématiques réagirait d'une autre manière? Lorsque tu ajoutes du sel dans de l'eau, il se dissout jusqu'à saturation de la solution, non? ET peut importe si tu inventes une autre règle du jeu, la dissolution se fera jusqu'à saturation.

Je ne comprend pas ton acharnement à essayer de trouver des choses là où il n'y en a pas en fait. C'est du masochisme pur de mon point de vu là. Tu te dis prête à travailler les mathématiques ou à comprendre son enseignement mais tu occultes l'essence même des maths à savoir la règle du jeu pour essayer de construire ta propre règle. Je ne comprend pas l'idée maîtresse qui t'anime surtout que tu dis que nous sommes dans un dialogue de sourds alors qu'on t'explique depuis quelque message sur trois intervenants (qui ne postent pas en simultané mais presque) qu'il y a une règle et qu'il faut s'y plier tout simplement pour réellement faire des maths.

Les maths se n'est pas de la cuisine où si on met plus de tel ingrédient et bien il y aura tout de même un gâteau à la fin même si ce n'était pas forcément le goût attendu au départ. Cela ne te convient pas comme tu l'as dis plus haut mais c'est juste un fait, il n'y a pas à revenir sur la règle d'un jeu, sinon, on va jouer à un autre jeu tout simplement mais il faut en être conscient à un moment donner.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Nunuche,

apprends à lire ! Blueberry n'a jamais dit que les règles du droit "ont à voir" avec celles des maths ou de la physique. Elles n'ont rien à voir !!
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
@Gérard : je n'ai pas dit que c'était Blueberry qui l'avait dit, c'est moi qui l'ai dit.
Ce qu'a dit Blueberry dans son message, tout le monde peut le lire.
Je ne vois toujours pas où est le problème...

@Rémi :
comme je l'ai dit plus haut, les règles mathématiques, les règles physiques, les règles chimiques... je les accepte, pas de problème.

Ce que je n'accepte pas, c'est qu'on m'oblige à les appliquer sans les comprendre, alors que je sens très bien qu'il y a quelque chose à comprendre, et qu'on ne me laisse pas le temps de le comprendre...

Il n'y a rien à comprendre dans les maths, c'est ça ?

Comme c'est commode...

Citation
Rémi
Les maths reposent sur des postulats et des axiomes indémontrables qui génèrent par raisonnement logique tout le reste.

Le problème réside dans "qui génèrent par raisonnement logique tout le reste".

Dans le secondaire, toutes les notions sont parachutées, rien ne génère rien, il n'y a pas de raisonnement logique.

A chaque fois qu'on part dans ce genre de discussions, il y a toujours quelqu'un qui vient vous expliquer qu'on ne peut pas tout démontrer parce que c'est trop compliqué, ou parce que c'est indémontrable, ou parce que c'est un postulat ou un axiome...
Et bien d'accord.

Mais il reste largement assez de choses que l'on peut démontrer, alors pourquoi ne pas le faire dans le secondaire ?
Rémi_pas_logué
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Là, j'avoue que je ne peux pas faire grand chose vu qu'il y a contradiction dans ton message et tu es convaincu de l'argumentation que tu cites.

Lorsque tu joues aux échecs, tu demandes aux constructeur pour qu'il t'explique pourquoi, il a décidé de déplacer le fou en diagonale plutôt qu'à l'horizontale ? Lorsque tu utilises ton téléphone portable, tu poses la question au constructeur pourquoi il faut rester appuyer sur une touche pour l'allumer ?

Désolé, je n'ai pas le numéro du créateur des mathématiques mais si je l'avais, je lui demanderai bien pourquoi, il a inventé un jeu où tout le monde souhaite comprendre pourquoi il y a une règle.

Sinon, pour les démonstrations aucun problème pour les faire mais à ce moment là, tu n'étudies qu'un seul domaine car pour démontrer rien que la théorie la plus élémentaire dans leur utilisation à savoir celles des angles, il me faut des matrice de rotation et une définition de ce qu'un un plan vectoriel ou affine orienté.
De même pour les démonstrations pour les symétries (visuellement très simple à comprendre) mais il me faut la notion d'application et d'image d'un point par une application ainsi que la notion de point fixe et donc de résolution d'équation et de paramétrage d'une droite ainsi que la notion de produit scalaire.

A l'époque des maths dite moderne, on a essayé de mettre en place la structure ensembliste, on a bien vu le tôlé qui s'en est suivi hélas. Les gens ne souhaitent, hélas, pas comprendre l'utilisation des règles car ils refusent déjà en premier postulat les règles elle-même. S'en suit un jolie matraquage inconscient de "les maths c'est dure", "c'est normal que ce soit difficile, c'est des maths", "ils sont nuls en maths de toute façon", ... ce qui abouti au statu quo actuel où on enlève de plus en plus ce que sont les maths pour ton plus grand plaisir à savoir essayer d'inventer la poudre en faisant de belles activités découvertes des notions (bien biaisé car sinon, inaccessible aux gamins) puis on leur explique où on peut utiliser chaque notion qu'ils étudient pour leur montrer l'intérêt (en gros, on leur parle de ce qu'ils comprennent pas faute de contenu conséquent: téléphone portable, GPS, menuiserie, plomberie, ...). Mais bon vu qu'il y aura toujours des personnes pour essayer de comprendre pourquoi il y a une règle, on continuera à appauvrir notre matière.
Après tout en physique, j'ai découvert dernièrement qu'il faisait un tp sur la génération d'électricité avec une bobine et un aimant par déplacement ou rotation. Les gamins sont épatés par le truc mais bon n'ont pas accès à la compréhension théorique du phénomène et on peut même pas l'aborder au vu de la complexité du phénomène mais bon continuons notre fuite en avant. La vie étant assez cyclique, il est probable que nous aurons un jour un autre groupe Bourbaki pour tenter de remettre en place la noblesse de notre science et d'ici là, on continuera à ne plus faire de maths.

Pour revenir à du sérieux, dans l'académie de Versailles en tout cas, on nous prend bien la tête pour bien mettre "propriété démontré" ou "propriété admise". Donc des démonstration, on en fait à la pelle mais seul au tableau avec des élèves qui gratte car ils savent bien que cela ne tombera pas au devoir de toute façon donc ils font plaisir au prof et copient ou font l'activité de démonstration juste pour le fun (l'une des plus belles démonstration en géométrie en 4ème pour moi étant que l'existence du point de concours des trois médianes d'un triangle et le fait que ce centre de gravité est situé au 2/3 de chaque médiane en partant d'un sommet et je vous avoue que même en la redemandant en contrôle les gamins n'y comprennent que dalle).
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Et oui, c'est bien le dialogue de sourd habituel qu'on peut avoir quand on "échange" avec des scientifiques.
Je sens le moment où une personne bien intentionnée va venir m'expliquer que la compréhension en maths, c'est un peu comme l'amour, c'est très surfait. eye rolling smiley
"on ne comprend pas les choses, on s'y habitue" Von neumann.

Mais bon, c'est sûr que je n'ai pas souvent fait de maths dans ma vie, mais j'en ai quand même suffisamment fait pour savoir quand on me raconte des histoires et quand on se paye ma tête à ce sujet.

(édit : j'ai posté en même temps que Rémi, donc sans lire le message au-dessus)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par nunuche.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Au sujet de la démonstration, en relisant après-coup mon message je me suis bien rendu compte que j'allais sans le vouloir faire partir la discussion vers le "tout démonstration" à la Bourbaki, ce qui n'est pas du tout ce qui m'intéresse en fait.

Le sujet que j'ai ouvert, c'est sur le raisonnement, pas sur la démonstration.
Peut-être que ça revient au même, mais la démonstration, c'est formel, et à vrai dire, en dehors de la géométrie, on n'en fait pas tellement dans le secondaire.

Par contre, des raisonnements, c'est à la portée de tous les enfants, ils peuvent les faire de plus en plus rigoureux, de manière à ce qu'à la fin ils soient prêts pour faire des démonstrations.

Et ce que je disais au début du fil, c'est que si les sujets abordés dans le programme traditionnel sont trop abstraits et compliqués pour que les enfants y comprennent quelque chose, de temps en temps, on pourrait revenir à des choses plus simples et qu'ils maîtrisent suffisamment, sur lesquelles ils pourraient exercer leurs capacités de raisonnement.

De cette manière, ils n'oublieraient pas totalement ce qu'on est censé faire en cours de maths. Et peut-être qu'ainsi on se rendrait compte qu'en fait, tous les élèves savent faire fonctionner leur cerveau, lorsque les objectifs sont adaptés.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par nunuche.
Je n'ai pas tout lu, je répond sur quelques points.

Le "tout démonstration", ce n'est pas simplement Bourbaki. C'est les maths.

Un raisonnement est nécessairement abstrait et il me semble que beaucoup de gens (peut-être même la plupart) sont incapables de faire des raisonnements simples et sont même incapable de comprendre la logique élémentaire. Tu sembles dire que faire apprendre cela est facile, il serait bon d'argumenter.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Exact, il suffit de penser au test de Wason.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Citation
H
il me semble que beaucoup de gens (peut-être même la plupart) sont incapables de faire des raisonnements simples et sont même incapable de comprendre la logique élémentaire
Je ne crois pas, j'ai plutôt l'impression que c'est prendre les gens pour des idiots.
De plus, à supposer que les gens soient vraiment incapables de raisonner correctement, le raisonnement, ça s'apprend, c'est comme tout, non ?
Alors il faut faire confiance aux gens et leur apprendre...

Par exemple, on avait déjà parlé sur le forum de la tâche de sélection de Wason, le test sur l'implication logique avec les quatre cartes à retourner.
Présenté dans sa version abstraite, 80 % de gens se trompent, alors que le même raisonnement, présenté sous divers habillages concrets, est sujet à nettement moins d'erreurs.

Je ne crois pas comme tu le dis que le raisonnement soit nécessairement abstrait.
L'abstrait, ça ne veut pas dire grand-chose : Paul Langevin, qui certes croyait beaucoup à l'éducation pour tous, avait dit que "le concret, c'est de l'abstrait rendu familier par l'usage", ce qui était quand même bien envoyé.

En partant de ce que les gens connaissent et en y allant progressivement, on peut apprendre l'abstraction, mais cela nécessite probablement de faire pas mal d'aller-retour entre ce qu'ils connaissent déjà et ce qu'ils ne connaissent pas.

Enfin, c'est le boulot du prof, quoi... :o Une tâche impossible avec trente enfants, je suis bien d'accord.

(Maintenant que je viens de finir d'écrire mon message, je viens de voir que Nicolas vient de poster un message aussi au sujet du test de Wason, mais apparemment pour illustrer le contraire...)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par nunuche.
Utilisateur anonyme
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
La vision du concrêt et de l'abstrait est bien subjectif, non ?

Je ne connaissais pas ce test. Des cartes, des lettres, des nombres, c'est très concrêt ! ;)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par blitz.
Un raisonnement est nécessairement abstrait : c'est un schéma abstrait que tu appliques à un cas particulier. Un exemple bidon : si le raisonnement implicite (abstrait !) que je devine derrière ceci "si tous les hommes étaient homosexuels, l'espèce s'éteindrait ; donc être homosexuel c'est mal" alors on obtiendrait aussi "si tout les hommes étaient curés, l'espèce s'éteindrait ; donc être curé c'est mal". Celui qui sort le premier argument utilise donc un raisonnement incorrect, incomplet ou que je n'arrive pas à deviner.

Le test de Wason suggère qu'en général les gens de raisonnent pas, mais qu'ils s'appuient sur des intuitions (apparement il y a des débats sur l'interprétation, ça fait partie des choses que j'aimerais lire un jour). Dès que c'est abstrait, beaucoup se trompent même sur des raisonnements hyper simple (dur de faire plus simple que dans ce test, n'est-ce pas ?).

Lorsque tu cherches à expliquer cela, il y a beaucoup de résistance ("ah mais ça c'est la logique des matheux", "oh mais le prof exagère", "c'est des lubies", "oui ben c'est bon c'est vrai ça ne sert à rien de le démontrer").

Et, bien entendu, les profs de maths (et les autres) ne cherchent jamais à enseigner le raisonnement... Il faut vraiment que tu arrêtes avec ces propos dignes d'un complotiste si tu veux être pris au sérieux.
Un truc qu'il faudrait éclaircir, c'est : sais-tu raisonner un minimum ? Si tu penses que oui, qu'est-ce qui te permet de l'affirmer ?
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Oui, je sais raisonner un minimum.
Je savais raisonner déjà toute petite, à ma mesure, comme tout le monde, je pense... :o
Je sais vérifier mes calculs quand j'en fais, jusqu'à être sûre qu'ils sont justes.
Je ne fais pas des démonstrations de haute volée, mais je sais ce que c'est que d'être sûre d'un résultat.

Et vu que je ne me suis jamais laissée impressionner par les profs de maths (du moins sur le sujet du raisonnement, pour le reste j'étais impressionnable), j'ai continué à raisonner pendant toute ma scolarité, et j'ai refusé d'appliquer les trucs que je ne comprenais pas. (j'étais un peu comme ces objecteurs de conscience, mais en maths).

Les cours de maths deviennent souvent des entreprises à décerveler les élèves alors qu'on pourrait plutôt penser qu'ils visent le but inverse.
DePassage
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Salut,

Juste deux remarques sur:
Citation

et j'ai refusé d'appliquer les trucs que je ne comprenais pas.

Qu'est-ce que comprendre ? La question n'est pas pas anodine, il me semble qu'il existe différents niveaux de compréhension, de plus il me semble que dans certains cas il faut accepter de ne pas comprendre.

Sur les différents niveau de compréhension: il me semble que plus on avance dans les maths, plus ce qu'on cache derière ce mot "comprendre" évolue. Par exemple il y a des résultats que je connais, que je sais appliquer (ce qui correspond au niveau de compréhension du secondaire), que je sais démontrer de manière rigoureuse (ce qui correspond, ou correspondait, au niveau de compréhension en prépa), mais que je ne comprend pas.

Apprès sur l'acceptation d'utiliser des choses qu'on ne comprend pas: il me semble qu'au niveau collège/lycée on n'a pas le choix (par exemple la définition d'un angle), mais qu'on détaillera plus tard. La raison pour laquelle on doit en connaitre beaucoup plus que nos élèves, c'est justement ce recul qui permet de mettre en avant des choses importantes ... pour plus tard. Que ce soit pour les méthodes (démonstration en géométrie et en arithmétique), ou pour les objets qui seront introduits plus tards (par exemple les vecteurs du plan et de l'espace pour les espaces vectoriels).
Rémi_pas_logué
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Bon fin de veines paroles, venons-en aux faits après tout.

Que proposes-tu concrètement ? Car la parlotte c'est bien sympa mais bon quand l'argumentation ne suffit plus, il faut redonner à l'auteur la tâche qui l'incombe à savoir l'argumentation.

Je pense pour ma part que tu fais un blocage simple face aux maths comme un spectateur fait un blocage devant un spectacle de magie.Or dans la magie il y a un truc alors que dans les maths, il y a des règles à suivre pour comprendre.

J'imagine que tu étais le genre d'élève à poser la question suivante: "Mais monsieur, pourquoi on passe à la racine carrée pour trouver la longueur AB alors qu'on avait AB²=28 ?" Non ? Si c'est le cas, il s'agit d'un réflexe qui t'empêche d'avancer car il y a une définition de la racine carrée qui est simplement appliquée, il ne faut pas chercher plus loin.

Les gens mystifient dans leur grande majorité les maths pour s'auto-convaincre ou s'auto-satisfaire que la matière est difficile et donc justifier ses incompréhension et faisant la chasse aux sorcières: "les scientifiques nous cachent tous les méchants pas beau". C'est comme un gamins qui pose toujours la question "Pourquoi" vers l'âge de 5-6 ans alors qu'il y a des choses qu'on ne peut expliquer ce qui n'est pas le cas des maths.

Conclusion et reformulation de la question vu que tu fais une auto-psy en gros avec toutes tes questions ce qui est honorable d'ailleurs, je ne remet pas en cause cela mais autant être clair: "Qu'est-ce que tu ne comprends pas concrètement ?" "Et qu'est-ce que tu proposes pour enseigner le fameux raisonnement caché si raisonnement caché il y a ?" (l'argumentation est vu en Français ne fin de 4ème et c'est l'un des pilier de la 3ème pour faire simple).
Il faudrait vraiment que tu détailles (des exemples de choses qui te bloquaient en secondaire ; comment enseigner le raisonnement ; qu'est-ce que l'on pourrait démontrer dans le secondaire (ça c'est sans doute facile mais ça nous permettrait au moins d'être sûr que tu ne parles pas dans le vide) ; ...).

Préfères-tu la présentation des maths telle qu'on l'aborde après le bac ? (As-tu étudié les mathématiques d'ailleurs ?)
HAL
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
> "Mais monsieur, pourquoi on passe à la racine carrée pour trouver la longueur AB alors qu'on avait AB²=28 ?"
> définition de la racine carrée qui est simplement appliquée, il ne faut pas chercher plus loin.


Hum. Cette équation admet bien deux solutions distinctes, et la solution négative ne convient pas. Pour un collégien, voire un lycéen, ce problème ne devrait pas être trivial et en l'occurrence, l'automatisme est plutôt nuisible...
xhpwh
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Citation
Blueberry
Plusieurs m'ont demandé à différentes reprises '' et s'il y a des négatifs et des positifs ?'' réponse de ma part '' on ne peut rien faire il n'y a pas de règle '' (en fait si en raisonnant plus finement, on peut s'en sortir)

eye popping smiley

Il n'y a pas de règle pour comparer deux nombres de signes distincts ???

Il faut "raisonner finement" pour comparer un nombre négatif avec un nombre positif ???

!!!
Rémi_pas_logué
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Ok HAL, mon exemple est mal choisi, en effet. Mais vu qu'on "définit" (on n'est même pas censé le faire d'ailleurs) en 4ème la racine carrée pour le théorème de Pythagore, il s'avère qu'on utilise du coup que des nombres positifs (même si je leur fais préciser, ils ne comprennent pas trop l'intérêt sur ce genre de problème vu que la notion d'équation du second degré n'est abordée qu'en 3ème, hélas).

@xhpwh, je pense que blue parlait du cas où l'on prend un nombre x tel que -1<x<6 puis le passage à l'encadrement de l'inverse de x. Ceci demande un raisonnement plus fin. Blue montre assez sa finesse de raisonnement ici et là pour éviter d'écrire des énormités telles que tu puisses l'avoir lu en lisant cette phrase de manière brute.
xhpwh
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Effectivement, Blue a écrit des doubles inégalités. Mea culpa.
JLT
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
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J'ai l'impression que nunuche voulait dire la chose suivante : certains élèves, jusqu'à un certain niveau (par exemple fin de l'école primaire) arrivent encore à raisonner pour résoudre des problèmes de maths. Puis, lorsque les difficultés conceptuelles augmentent, ils n'arrivent plus à suivre et finissent par cesser de raisonner, et ne font plus qu'appliquer bêtement des recettes de cuisine. Du coup, ils perdent contact avec ce que sont réellement les maths.

Peut-être qu'il serait utile pour ce genre de personnes de faire de temps en temps des exercices conceptuellement très simples, mais nécessitant un raisonnement, du type "jeux mathématiques"... A condition bien entendu qu'ils s'y intéressent...
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Une autre solution est d'orienter différemment des élèves qui manifestent des dons et des goûts différents et donc d'en finir une fois pour toutes avec l'idéologie mélangiste et ses vilains rejetons que sont collège unique, seconde indifférenciée, etc.

Il n'est pas nécessaire que tout le monde fasse des mathématiques, pas plus que du violon, de la menuiserie ou autre. Il faut seulement à tous des connaissances de base, que nous rappelle Demailly : lire, écrire, compter, à quoi il ajoute calculer. Et bien sûr l'histoire nationale pour promouvoir notre identité nationale et civilisationnelle. Quelqu'un m'a fait observer que c'était là le but de l'école primaire républicaine de Jules Ferry, c'est tout à fait cela.

Bonne journée.
RC
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
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Ce n’était pas son seul but.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
bs
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
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Bonjour,

"Il y a une discipline qui ressemble beaucoup aux maths de ce point de vue (alors qu'il n'y a pas de maths dedans) c'est le Droit".

Plutôt hallucinant de lire cette phrase émanant d'un professeur de mathématiques.

Oser comparer la Mathématique : science exacte, science pure, science dure, science universelle avec le Droit qui n'est même pas une science, qui varie d'un pays à un autre, qui est interprétée dans le Zig par certains juges et dans le Zag par d'autres juges selon leur sensibilité et ce au sein d'un même pays, relève d'une méconnaissance profonde de la notion de science, et des mathématiques en particulier. [et peut s'apparenter à une forme de mépris envers les mathématiques]

Amicalement.



Edité 11 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
JLT
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
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Autres remarques :

1. Les maths donnent des outils pour raisonner dans la vie quotidienne, mais on voit sur des exemples que lorsqu'il s'agit de politique ou de religion, de nombreux mathématiciens mettent leur raisonnement en mode "veille".

2. Il n'est pas nécessaire de faire des maths pour apprendre à raisonner, écrire des dissertations structurées en français ou en histoire-géographie permet également de raisonner. Par contre, seules les maths permettent de faire des raisonnements quantitatifs.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Je ne crois pas du tout que les math soient d'une quelconque utilité pour raisonner dans la vie quotidienne, car leur type de raisonnement s'applique exclusivement aux objets idéaux sur lesquels ils s'exercent spécifiquement, et ladite vie quotidienne comporte des situations autrement complexes. En particulier, la logique binaire du tiers exclu ne s'y applique pas du tout. La vie quotidienne peut s'appréhender avec d'autres outils, des raisonnements spécifiques (par exemple juridiques, contrairement au message de bs), ou l'intuition, ou même la foi, pour ceux qui l'ont (ce qui n'est pas mon cas), ou autres.

Face à un problème réel de la vie, ou une situation politique, des mathématiciens différents prendront des options différentes. Et JLT de nous expliquer en substance que la seule option c'est la sienne et que si les autres en ont d'autres, c'est parce qu'ils << mettent leur raisonnement en mode "veille" >>.

En réalité, c'est parce que leur choix est motivé par tout autre chose que leur qualité de mathématicien, laquelle n'a généralement pas d'utilité dans la circonstance.

Tous les mathématiciens devraient-ils être communistes comme Kahane, ou talas comme Lafforgue, ou nationalistes comme feu Malliavin ? Lesquels mettent leur raisonnement en mode "veille" ? J'ai hâte de le savoir, mais vu la tonalité dominante des messages extra-maths de ce forum, je devine la réponse ...

On rigole bien. Bonne journée

RC



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Raymond Cordier.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
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@bs : j'ai du mal à construire une distance claire entre les disciplines. A titre personnel, dans ma scolarité j'ai particulièrement apprécié, outre les maths, l'informatique, le français, la philosophie, l'histoire. Mais je n'ai jamais eu beaucoup de goût pour la physique, ne parlons pas de la chimie, de la biologie ou de la géologie. Si je n'avais pas rencontré les maths, je me serais vraisemblablement dirigé vers des études de lettres.

Alors, la comparaison avec le droit ne me paraît pas plus absurde qu'une autre. D'ailleurs, il y a peu, un collègue d'une université de sciences humaines m'a expliqué que dans les conseils d'universités, c'était avec les juristes qu'ils se comprenaient le mieux, que les paroles dites étaient claires et pas filandreuses.
bs
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
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Bonjour,

Je ne connais la vie professionnelle qu'à travers une multinationale à laquelle j'ai consacré toute mon énergie et n'ai donc aucune expérience du milieu universitaire.

Pour ce qui est du droit, quand nous avions un problème de type juridique dans une usine, sur un chantier, avec un fournisseur, un client,... il nous était fortement conseillé de l'exposer au Service Juridique du Siège. Lorsqu'on sortait de l'entretien, non seulement, le problème n'était pas résolu, mais on héritait de deux nouveaux problèmes supplémentaires, c'était devenu la grosse rigolade d'aller consulter le service juridique.

@RC : "La vie quotidienne peut s'appréhender avec d'autres outils, des raisonnements spécifiques (par exemple juridiques, contrairement au message de bs), ". Il ne me semble pas avoir dit le contraire, mon propos concerne uniquement la comparaison mathématique/droit en tant que science exacte/non science:)

@aléa : "J'ai du mal à construire une distance claire entre les disciplines." Pour ma part, quand j'étais petit, dans ma scolarité j'ai particulièrement apprécié mathématiques, physique, sciences naturelles (ça s'appelait comme-ça), français, musique, puis plus tard histoire, géographie, arts et je reste imperméable à la philosophie, au droit, à la sociologie,... J'ai toujours ressenti cette différence entre sciences exactes et sciences humaines, que ce soit avec ma famille, mes amis, mes interlocuteurs dans la vie de tous les jours et encore plus avec les experts en sciences inexactes du CNRS régulièrement invités sur les plateaux télé, et qui viennent déclamer "leur" vérité.

Bonne journée.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par bs.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
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Je pense que la comparaison entre les juristes et les mathématiciens viennent du fait qu'on raisonne à partir de prémisses que sont respectivement les lois et textes réglementaires et les axiomes et règles de dérivation.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Bonjour


Ça , c'est exactement ce que les juristes essayent de nous faire croire....
Après on a la foi ou on ne l'a pas.....
JLT
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
avatar
Je précise mon message précédent quand je disais que des mathématiciens mettent parfois leur raisonnement en mode "veille".

1. Une des erreurs les plus fréquentes consiste à confondre cas particulier et cas général. Par exemple : on voit dans l'actualité qu'un membre $x$ d'un groupe de personnes $X$ commet une action $A$. On en conclut que tous les membres de $X$, ou du moins la plupart d'entre eux, commettent l'action $A$.

2. Autre erreur commune : pour comparer deux options possibles, sélectionner uniquement les critères de comparaison qui permettent d'argumenter dans le sens que l'on veut.

3. Et aussi : ne pas avoir conscience que tout le monde ne raisonne pas avec les mêmes axiomes, d'où un dialogue de sourds.

N.B. Je n'ai jamais dit que ma pensée est meilleure que celle des autres, j'ai mes propres axiomes et je reconnais aux autres le droit de ne pas les accepter et de choisir d'autres axiomes. Mais j'essaye tout de même de ne pas commettre les erreurs 1--3 ci-dessus.
Re: maths, éducation au raisonnement
il y a six années
Citation
bs
Oser comparer la Mathématique : science exacte, science pure, science dure, science universelle avec le Droit qui n'est pas une science, qui varie d'un pays à un autre, qui est interprétée dans le Zig par certains juges et dans le Zag par d'autres juges selon leur sensibilité et ce au sein d'un même pays, relève d'une méconnaissance profonde de la notion de science, et peut s'apparenter à une forme de mépris envers les mathématiques.
Faut te calmer mon vieux...
Cela dit, un tel propos de ta part relève quant à lui d'une méconnaissance profonde de la notion de droit et c'est toi qui affiche ton mépris



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Blueberry.
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