Division euclidienne TS Spécialité
Bonjour,
M'intéressant au programme de TS spécialité, je constate que la division euclidienne est au programme. Dans le BO il est juste mentionné "Division euclidienne".
Dans tous des livres que j'ai consultés on trouve :
A) La division euclidienne avec le diviseur positif.
"Soit a un nombre entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q;r) d'entiers relatifs tels que 0 =< r < b et a = bq + r. "
La démonstration dans les conditions du a)
Par quoi cette restriction est-elle justifiée ? Comment interpréter le BO.
Dans le supérieur la généralisation à b entier relatif non nul est étudiée.
Merci.
ps : y a peut-être des infos que j'ai loupées au niveau des dernières publications ...8-)
B-)
M'intéressant au programme de TS spécialité, je constate que la division euclidienne est au programme. Dans le BO il est juste mentionné "Division euclidienne".
Dans tous des livres que j'ai consultés on trouve :
A) La division euclidienne avec le diviseur positif.
"Soit a un nombre entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q;r) d'entiers relatifs tels que 0 =< r < b et a = bq + r. "
La démonstration dans les conditions du a)
Par quoi cette restriction est-elle justifiée ? Comment interpréter le BO.
Dans le supérieur la généralisation à b entier relatif non nul est étudiée.
Merci.
ps : y a peut-être des infos que j'ai loupées au niveau des dernières publications ...8-)
B-)
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Réponses
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1. Division euclidienne et divisibilité
1.1. Divisibilité dans Z
1.2. Propriétés de la divisibilité
1.3. Division euclidienne dans N
Théorème et démonstration
1.4. Division euclidienne dans Z
Théorème admis et exemples
2. Congruences
Le spécimen numérique est consultable sur le site de Nathan après inscription : http://www.nathan.fr/specimens/viewer.asp?ean=9782091726649
Je pense que d'un point de vue pédagogique, il vaut mieux s'en tenir à une démonstration avec $b \in \N^*$ puis indiquer brièvement ce qui change lorsque $b < 0$.
D'une façon plus générale, lorsque l'on enseigne l'arithmétique élémentaire, je pense qu'il vaut mieux l'enseigner comme "arithmétique des entiers naturels", puis élargir à $\Z$ de façon naturelle.
reste positif versus le reste minimal.
Exemple : division de -24 par 7 :
$-24 = (-3)\times 7 +(-3)$ ou $-24=(-4)\times 7+(+4)$
Cordialement