Comment fabriquer des génies ?

bonjour,

j'ai pondu ce petit texte de didactique qui s'appuie:
- sur le fait que j'ai étudié des choses abstraites il ya fort longtemps
- que je suis âgé et donc mes idées ont eu le temps de mourir
- que je suis revenu aux maths après une interruption de plusieurs dizaines d'années

exemple concrêt:
en "topologie " , on donne des surfaces (on appelle ça "variétés") une définition
incroyablement abstraite qui est la suivante

La donnée d'une "surface" est la donnée de bijections locales $\phi_i$ entre $R^2$ et la surface,
en se disant que la seule chose connue, est le changement de cartes $\phi_j^{-1} \circ \phi_i$
entre deux cartes de l'atlas.

les étudiants doivent se dépatouiller avec cette définition abstraite et réussir à pondre des théorèmes
et "voir" (ce qui est loin d'être évident en dimensions supérieures)

sauf exceptions (Milnor, Boy..) les gens s'en sortent honorablement maais ne deviennent pas des créateurs.
En fait, on manque de "génies" en maths, d''une manière générale qui est dû aux méthodes d'apprentissage.

on devrait exposer les choses de la manière suivante, beaucoup plus pragmatique , concrête mais
qui demande plus de réflexion, qui serait de se dire:


i) je reçois la définition axiomatique, certes


ii) j'ai un vrai atlas de géographie, admettons, avec deux cartes du Brésil distinctes (le type de projection n'est pas indiqué), une page 38 et l'autre page 39, admettons.
Chaque fois que je dessine un objet (un lac, une distance, un dénivellé,une courbe de niveau, etc..) page 38, j'ai une fonction de changement de cartes justement , qui me redessine cet objet ,page 39.

Avec cette fonctionnalité de changement de cartes, je dois reconstituer la surface, disons plongée,ie, la surface terrestre du Brésil , avec sa courbure et son modelé.

Si les gens se posaient les problèmes de cette façon,ie, de manière à la fois concrête et imaginative et laborieuse et constructive, au lieu d'avoir des ânes qui sont empêtrés dans le formalisme, comme des enfants confrontés à l'orthographe en primaire, qui souffrent évidemment, on aurait des génies des mathématiques qui auraient le profil de mécanos devenus ingénieurs automobiles,ie, concrêts-abstraits.
parce que la technique s'est vraiment construite concrêtement.


donc voilà, il y avait (et il y a toujours sans doute) une façon formaliste voire axiomatique ,d'aborder les mathématiques
qui gêne l'éclosion de "génies", ie, de gens qui vont voir par exemple des noeuds en dimension 4 ou 5 ,
(les noeuds borroméens en dimenssion 4 ou les polynomes d'Alexander , c'est le truc difficile à visualiser)


Ce qui m'inquiète, à l'instant présent, ce n'est pas le "niveau", la baisse de niveau, etc, non c'est plutôt
la rareté des créateurs en mathématiques, qui vient du fait que les apprentissages ne sont
pas intériorisés.


Les gens que l'on forme bien, sont "bons" ou "très bons" en maths. Mais les "créateurs" sont rares ,
je pense que c'est dû au formalisme. Rappelez vous de Louis Renault, à la base, il était mécanicien.

voili-voilou.