Introduction des nombres relatifs - collège

Arnaud_G · August 2014

Bonjour.

Je lisais justement un article de l'IREM d'Aquitaine sur l'introduction des nombres relatifs au collège, et plus particulièrement en classe de cinquième :
http://www.univ-irem.fr/reperes/articles/73_article_497.pdf Page 65 (ou 7 du fichier PDF), on peut y lire, je cite :

Pour 9 + …. = 7 : La plupart des élèves disent dans un premier temps que c’est impossible,mais parfois un ou deux proposent de remplacer les pointillés par l’objet “ – 2 ”, trouvé par intuition.
Le professeur relance alors le travail en exigeant que cette égalité soit complétée. Il explique que jusque là effectivement c’était impossible, mais ce jour un grand pas va être franchi.
Des élèves demandent alors s’ils peuvent compléter par autre chose qu’un nombre seul, le professeur leur répond par l’affirmative et ils proposent alors de remplacer les pointillés par 7 – 9 ou par 2 – 4, ou 0 – 2. Ce qui donne :
9 + (7 – 9) = 7 ou 9 + (2 – 4) = 7.
On a établi dans une situation précédente, à un autre moment de l’année, que (a + b) – c = a + ( b – c), on en déduit donc que le calcul est possible car : 9 + (7 – 9) = (9 + 7) – 9 = 7.
Lors de la mise en commun, les élèves confrontent leurs solutions, on peut en déduire que :
7 – 9 = 2 – 4 = 1 – 3 = ….. = 0 – 2 = – 2
Le professeur explique alors que les écritures 7 – 9 ; 2 – 4 ; 0 – 2 sont différentes écritures d’un nouveau nombre désormais noté “ – 2 ”.

Mais alors que faire si les élèves ne trouvent pas, par intuition, ce fameux nombre "-2" ?

Comment arriver à écrire ces égalités : 7 – 9 = 2 – 4 = 1 – 3 = ….. = 0 – 2 = – 2 du coup ?

christophe c · August 2014

Il explique que jusque là effectivement c’était impossible, mais ce jour un grand pas va être franchi.

Parfois on se demande si les auteurs ne revivent pas en boucle leur enfance. On ne décrète pas à la place des spectateurs que le film est bon.

AG a écrit:

2/ Mais alors que faire si les élèves ne trouvent pas, par intuition, ce fameux nombre "-2" ?
1/ Comment arriver à écrire ces égalités : 7 – 9 = 2 – 4 = 1 – 3 = ….. = 0 – 2 = – 2 du coup ?

Profite des derniers jours de vacances plutôt que de t'angoisser comme ça.

1/ arriver à les écrire? Bin en les écrivant! Tu voulais peut-être demander "arriver à les prouver irréfutablement"? Est-ce vraiment important?Voir* pour une suggestion qui marche bien aussi pour convaicre (sans que ce soit une preuve formelle)

2/ le coup des dettes* ça marche bien au cas où tu n'aurais pas d'idée de secours. (* 9 euros + une dette de 2 euros = 7 euros)

Fin de partie · August 2014

Pour 9 + …. = 7 : La plupart des élèves disent dans un premier temps que c’est impossible,mais parfois un ou deux proposent de remplacer les pointillés par l’objet “ – 2 ”, a écrit:

C'est bien d'enseigner en 5ème dans les beaux quartiers, les parents ont déjà avancé le cours jusqu'en terminale S. B-)

Plus sérieusement, comment un élève de 5ème pourrait deviner tout seul, sans être instrumentaliser comme un perroquet , l'existence du nombre -2?

PS:
J'ai surement déjà indiqué cette référence, mais dans le court métrage "Charlotte et son cancre", Eric Rohmer signalait le paradoxe, en apparence: comment peut on diviser un nombre par un autre et obtenir au final un nombre qui est plus grand que le premier? Diviser en français courant signifie, entre autres, séparer en morceaux plus petits. Comment dès lors, après division, peut-on avoir des morceaux plus gros que ce qu'on a divisé? B-)

Arnaud_G · August 2014

christophe c > Ca ne m'angoisse pas du tout, rassure-toi, c'est juste que ça m'intéresse comme réflexion sur le programme de 5e.

Fin de partie > C'est justement tout l'intérêt de ma question ...

Samuel DM · August 2014

FdP a écrit:

Plus sérieusement, comment un élève de 5ème pourrait deviner tout seul, sans être instrumentaliser comme un perroquet , l'existence du nombre -2?

En réalité il ne le découvre pas, il l'a déjà rencontré dans plusieurs contextes (températures, dettes...). Le point difficile est de comprendre que $9+(-2)$ revient à faire $9-2$, de la même façon (et tu le dis bien après), que diviser par un nombre compris strictement entre $0$ et $1$ augmente.

Sinon ArnaudG, il y a de grandes chances qu'au primaire ou en sixième tes élèves aient eu un professeur qui utilisait un système de +1 et -1 pour noter l'oral donc le concept n'est pas forcément étranger.

kioups · August 2014

FdP : avec les températures, ça marche super bien. Je pose toujours une question de ce type en 6ème, ça fonctionne très bien !

ninja2000 · August 2014

Pendant ce temps-là, en Asie...

Dasson0 · August 2014

Bonjour,

Quelques souvenirs et avis avec un recul d'une cinquantaine d'années...

L'introduction souvent utilisée : le voyage en ascenseur
http://rdassonval.free.fr/flash/ascenseurrelatifs.swf (*)

L'introduction par désintingration :
http://rdassonval.free.fr/flash/desintegration.swf

Une écriture "en couleur" ou une écriture qui distingue les deux sortes de signe + et les deux sortes de signe - est utilisée, le passage à l'écriture simplifiée est faite après de nombreux exercices...
Actuellement, le passage à l'écriture simplifiée me semble trop rapide, l'élève peut réussir sans avoir bien compris...

L'introduction la plus "mathématiquement satisfaisante" par classe d'équivalence de couples de naturels est considérée aujourd'hui comme inabordable ; j'ai pourtant souvenir que ça passait plutôt bien...

*Un premier programme en basic1.0 pour nanoréseau utilisait un ascenseur. J'ai été surpris de l'efficacité pédagogique de ces "mathématiques dynamiques".

Roland Dassonval.