Implique.

Christophe C:
Je n'ai pas besoin de porte-parole. :-D

ils finissent par s'adapter, présenter le visage que tu veux leur voir (ie d'attardés profonds) afficher, c'est un processus humain normal. a écrit:

J'aimerai que tu me dises où tu vois dans mes propos que je veux voir des "attardés profonds" dans les élèves de lycée? :-D

Pour en revenir au sujet du fil de messages:

Crois-tu qu'il soit si facile d'expliquer la différence entre:


a) Pour tout n entier P(n)=>P(n+1) (ou: a') Pour tout n entier, Si P(n) est vraie alors P(n+1) vraie.)

b) Pour tout n entier P(n) est vraie.

A des élèves de terminale?

Avec deux ou trois exemples bien choisis de raisonnement par récurrence tu finis de convaincre que les mathématiques c'est de la magie. B-)-
(Le raisonnement par récurrence ressemble, au tout premier abord, à de la magie pure)

PS:
Le vocabulaire consacré au lycée: hérédité , ne me parle pas beaucoup alors j'imagine que je ne dois pas être le seul dans ce cas. (cela induit l'idée qu'il y aurait quelque chose de vertical alors que je vois plutôt de l'horizontalité induite par =>)

@ev: ce n'est pas techniquement moi qui ait fait disparaître les messages de Model, mais la raison de la disparition est que c'est une tentative de retour de quelqu'un qui a été banni. Et ça, chez les modos, on n'aime pas, et on sévit :-D


J'aurais tendance à répondre "oui" à ta question néanmoins. D'ailleurs, perso, je n'utilise amais le signe $"\Rightarrow"$ quand je rédige une récurrence.

Un exemple : Pour tout $n\geq 1$, soit $(H_n)$ la proposition : $1+\cdots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Montrons par récurrence que $(H_n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.

Remarquons que $\dfrac{1(1+1)}{2}=1,$ donc $(H_1)$ est vraie.

Supposons que $(H_n)$ soit vraie pour un entier $n\geq 1$, et montrons que $(H_{n+1})$ est alors vraie.

On a $1+\cdots +n+ (n+1)=(1+\cdots+n) +(n+1).$ Par hypothèse de récurrence, ceci est égal à
$$\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{2(n+1)+n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$

Ainsi, $(H_{n+1})$ est vraie. Par principe de récurrence, $(H_n)$ est vraie pour tout $n\geq 1.$

J'ai bon ??

Gregingre:

Tu confirmes me semble-t-il mon impression. Tu évites d'écrire un truc qui ressemble à Pour tout n entier , P(n)=>P(n+1)

J'évite effectivement de l'écrire, parce que bien mathématiquement correct et parfaitement compréhensible pour un matheux aguerri, ça passe moins bien et c'est moins intuitif pour les étudiants. Et en plus, j'évite au maximum d'utiliser des symboles mathématiques dans les rédactions, surtout devant mes étudiants quand j'essaye de le faire comprendre qu'une démonstration (quelle qu'elle soit) n'est pas une succession de symboles cabalistiques.

On pourrait aussi rédiger d'une autre manière le point litigieux, peut-être plus claire (??), en disant :

soit $n\geq 1$. Montrons que si $H(n)$ est vraie, alors $H(n+1)$ est vraie. Ce qui est sans doute plus proche de l'énoncé du principe de récurrence.

GreginGre a écrit:

Pour tout $n\geq 1$, soit $(H_n)$ la proposition : $1+\cdots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Montrons par récurrence que $(H_n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.

On peut faire mieux et montrer que $(H_n)$ est vraie pour tout $n\geq 0$. :-D

Bon. J'abandonne, tu es vraiment borné.

Bonjour FdP,
On dirait que tu prends plaisir à compliqer les choses pour te battre avec des chimères.
Il faudrait que tu ailles prendre un peu l'air aujourd'hui ..

Sincèrement. jacquot

christophe, j'ai caché ton post pour que la discussion puisse se calmer si elle doit se continuer.
jacquot

Je ne sais pas si tu auras le temps de voir, Jacquot cachera peut-être: je te le redis: toi, tu l'as utilisée à chaque fois dans tes posts précédents. Identifie où.

Pour tenter de répondre à H.

Soit à démontrer que la suite $\Big(\dfrac{1}{n}\Big)_{n \in \mathbb{N^*} }$ converge vers $0$.

Une définition de la convergence vers $0$ d'une suite est:

On dit qu'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ si et seulement si:

Pour tout $\epsilon>0$, il existe $N$ entier tel que si $n>N$ alors $\mid u_n\mid<\epsilon$

Donc cela veut bien dire que si pour chaque valeur de $\epsilon>0$ on peut trouver un entier et vérifier qu'une règle est vraie on parvient à conclure que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$

La façon dont on trouve un entier $N$ adéquat n'est pas importante.

$\epsilon>0$ étant fixé, on prend $N$ le plus petit entier qui est supérieur à $\dfrac{1}{\epsilon}$

Il nous reste à vérifier qu'avec cet entier la règle suivante se vérifie:

Si $n>N$ (est vraie) alors $\mid u_n\mid<\epsilon$ (est vraie).

En effet, si on a $n>N$ alors par définition de $N$ on a $N>\dfrac{1}{\epsilon}$ et donc $n>\dfrac{1}{\epsilon}$

et d'après les règles sur les inégalités on a $n\epsilon>1$ puis $\epsilon>\dfrac{1}{n}$ c'est à dire $\dfrac{1}{n}<\epsilon$ or $n>0$ donc $\mid \dfrac{1}{n}\mid=\dfrac{1}{n}$ et ainsi $\mid \dfrac{1}{n}\mid<\epsilon$

et la règle est donc vraie et par conséquent la suite $\Big(\dfrac{1}{n}\Big)_{n \in \mathbb{N^*} }$ converge vers $0$


PS:
La seule chose qu'il me semble avoir utilisé est une forme de transitivité.

Si une cause C entraine une conséquence et que cette conséquence entraine une deuxième conséquence C2 on peut
dire que C entraine la conséquence C2. C'est un principe intuitif.

PS2:
J'ai relu à nouveau le forum je n'ai toujours pas vue de définition autre qu'intuitive de "A OU B" et donc la situation est me semble-t-il qu'on sait dresser la table de vérité de "A OU B" sans avoir une définition précise de ce qu'est cet objet.

Si $n>N$ est fausse l'implication reste vraie de toute façon alors pourquoi se préoccuper de ce cas? B-)-

Quand on parle de limite d'une suite on sait bien que la seule connaissance de ce qui se passe pour de petites valeurs de $n$ ne permet aucune conclusion de toute façon.

Pourquoi veux-tu t'intéresser donc au cas où $n \ge N$ est fausse? B-)-

Et qu'on a besoin de savoir que A => B est vraie lorsque A est fausse ! a écrit:

Dans l'exemple que j'ai donné plus haut? Je ne vois pas pourquoi concrètement.
On ne s'intéresse concrètement qu'à vérifier qu'une règle est vraie, c'est à dire qu'on ne considère que le cas A vrai et on veut en déduire que B est vrai, ce qui permettrait de vérifier que la règle est vraie.

A mon affirmation, un peu tonitruante que des propositions comme $0>1 => \pi \in \mathbb{Q}$ n'ont pas un grand intérêt pratique on m'a demandé si je rangeais dans le même sac:
des propositions A=>B où A est "$\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$"?

Dans la boîte à outils des techniques pour prouver un résultat, il y a une technique qui s'appelle la preuve par l'absurde.

Pour prouver qu'une proposition est fausse on suppose qu'elle est VRAIE et on espère aboutir à une contradiction ce qui permet de conclure que la proposition qu'on a supposé vraie est fausse. (cela me semble intuitif cette façon de raisonner).

@H: il utilise 15 fois que (nonA) => (A=>B) (tu lui as même fait remarquer!!) et rien que dans les deux derniers posts où y a des maths, il l'utilise à chaque fois.

Mais il dit "je ne vois pas où je l'ai utilisé".

Même moi, je ne poste plus pour tenter quoique ce soit. En plus il le dit lui-même qu'il l'utilise, et ce au moment où il l'utilise** et 2 posts plus bas, il dit "je ne l'utilise pas" :-D Tu vois bien que ça ne peut être qu'un amusement!

Remarque: peut-être que tu as fait le pari que tu arriveras à lui faire dire "oui j'avoue je l'utilise". Mais même là, t'as déjà gagné. Ou peut-être le pari que "il existe une date d telle qu'à tout instant t>d, fdp ne dit plus "je ne l'utilise pas" :-D "

** je précise pour les futurs lecteurs, mais je n'en cite que 2, flemme d'aller en chercher 5 ou 6:

fdp sans changer une virgule a écrit:

Si $n>N$ est fausse l'implication reste vraie de toute façon alors pourquoi se préoccuper de ce cas?

fdp sans changer une virgule a écrit:

On s'en tape du cas H(n) faux (puisque dans ce cas Hn =>H(n+1), sans rien à justifier***)

[small]*** le rajout (évident et évidemment sous-entendu) est de moi[/small]

@Christophe.

Oui tu as raison. La discussion ne présente plus aucun intérêt. S'il joue, qu'il joue seul. S'il veut comprendre, il dispose de tous les éléments nécessaires pour cela.

Comme tu le dirais peut-être, pour les jeunes qui passent dans le coin : (A => est tout simplement une abréviation pour (B ou (non A)).