Ensemble des parties d'un ensemble

Bonsoir


Pour toto

grace a ce resultat qu'on deduit que$ P(\N)$ est non dénombrable.

@+

Jaybe : Je suis à peu près sûr que oui, car il fut un grand utilisateur de l'argument diagonal (celui qui est utilisé ici). Et il a participé à la création et au développement de la théorie des cardinausx et des ordinaux.
Ce qu'il n'avait pas, c'est une théorie des ensembles formalisée (sur la logique, ou par axiomatique genre ZF). Il a fallu attendre Frege pour celà.

A t'on toujours #P(E)>= #E?

bonjour,

je "coince" depuis plusieurs jours sur cette démonstration de la diagonale de Cantor.
Je ne comprends pas pourquoi on pose l'ensemble $ F$ des éléments $ x$ de E tels que $ f(x)$ ne contient pas $ x$.
On peut très bien imaginer une application f allant de E vers l'ensemble des parties de E et associant toujours à un élément $ x$ de E une image dans laquelle $ x$ n'apparaît pas.
Par exemple, si E est un ensemble d'entiers, l'image de $ 2$ pourrait être \{3, 4\}, l'image de $3$ être \{1\}, etc.
Merci de m'aider à trouver la clef qui me fera avancer...

Bonjour Néophytte.

"Je ne comprends pas pourquoi on pose ..." : Simplement parce que ça permet de faire fonctionner la démonstration. Quant à savoir pourquoi cette idée est arrivée, c'est difficile, mais il y a déjà une injection évidente : $x\mapsto\{x\}$ qui n'est pas surjective pour un ensemble non vide, et l'argument "diagonal" est une sorte d'inversion de cette idée.

"On peut très bien imaginer une application f allant de E vers l'ensemble des parties de E et associant toujours à un élément $ x$ de E une image dans laquelle $ x$ n'apparaît pas." Oui, on peut imaginer. Et cette application non plus n'est pas surjective : E lui-même n'est pas une image. ici, tu as F=E.

Mais surtout, tu es à côté de la question (voir l'explication de Bruno).

Cordialement.

(*) rectifié suite à la remarque de Meu . Mais on peut remplacer 2 par 3 ou 5, voire même par 1. Rectifié suite à l'insistance malsaine de Meu.

Il va falloir créer un délit de racisme antivide .

Bruno

Tout ça me rappelle un cousin à moi - Arthur qu'il s'appelle - qui ne supporte pas l'ensemble vide.

amicalement,

e.v.

Meu a écrit:

Le racisme anti-vide a encore frappé !

Ah, non, au contraire, j'ai évité de compliquer une explication en l'évitant comme contre exemple éventuel ! Mais je vais rectifier.

Cordialement.

[édit :pas de rectification, suite aux messages malsains suivants]

ou plutôt, qu'elle est surjective !!

Ce que veut simplement dire Meu à juste titre, c'est que l'application $f: x\mapsto\{x\}$ de $\emptyset$ dans $\mathcal{P}(\emptyset)$ n'est pas surjective. Si on écrit "$x\mapsto\{x\}$ qui n'est pas surjective pour un ensemble non vide", on risque de faire croire que cette application $f$ est surjective (et, en tout cas, que celui qui écrit ça le croit).

Ben v'la que je suis malsain....
Allez, pique pas ta crise, Gérard ! Si tu n'avais pas mis "non vide", je ne serais certainement pas venu te titiller. C'est toi qui a créé un problème là où il n'y en avait pas, sous le (mauvais) prétexte de faire simple. C'est le genre d'attitude qui pousse les rédacteurs du projet de programme de MPSI à se limiter aux "familles indexées par un ensemble non vide". Pourquoi ajouter "non vide" ?

De deux choses l'une : ou bien il se fiche de l'ensemble vide et, comme il a déjà déclaré avoir compris, toute cette histoire ne peut pas l'embêter et le dérouter. Ou bien il se demande ce que tu as voulu dire en excluant explicitement l'ensemble vide, et il était bon de tirer ça au clair.
Par ailleurs, ça n'aurait pas pris cette proportion si tu ne t'étais pas entêté.

J'arrive après la controverse et donc après les modifs de posts, etc, mais @Gérard, il y a encore un post où subsiste:

Gérard: Comme l'application vide est surjective...

Est-ce volontaire? Surjective de quoi dans quoi?

Rien à voir, mais tu dis "discussion malsaine qui suit" à un moment. J'ai l'impression d'avoir tout lu, je n'ai pas vu grand-chose de spécial :S ? Qu'est-ce qui est malsain?

Je crois que je vais finir par ne plus écrire quoi que ce soit sur ce forum, où, dès qu'on écrit une explication simple, des esprits forts se croient obligés de mettre leur grain de sel puriste (quelle importance qu'on puisse interpréter autrement un phrase que ce pourquoi elle a été écrite si on est spécialiste du domaine, quand il s'agit d'expliquer à un débutant ?)

Je ne sais pas avec quelle fréquence ça arrive (ce que tu dénonces là), mais je ne vois pas en quoi dans ce fil (échanges récent, j'ai pas lu les "ya 8ans"), la question se pose. Ce n'est pas bien grave, je m'en fiche un peu, mais c'est vrai que ta "précaution "non vide"" appelait une précision, non? :S :S (ce qui me gêne est qu'on dirait que tu trouves que cette précision n'aurait pas dû être donnée :S )

Depuis une dizaine d'années, j'ai vu disparaître les questionneurs collégiens (ceux qui viennent fuient vite !), puis lycéens, puis même les étudiants en L1/L2. Les étudiants de classes prépas se font rares ... Normal : dans un fil, il faut chercher les réponses à la question au milieu des interventions sans rapport. Est-ce vraiment l'avenir de ce forum, de servir d'exutoire à des spécialistes ?

[size=x-small]J'avoue que ce n'est pas spécialement mon impression. Sans entrer sur les taux de fréquentation du forum, bien au contraire je trouve que de plus en plus de questions sont du style "boite à bac" et de moins en moins de choses approfondies. Après, je peux me tromper. Mais dire que la "clientèle" novice s'est enfui, bin, tout de même, je n'arrive pas comment tu en arrives à cette conclusion.[/size]

Ce que je crains est que je trouve que tu te blesses un peu facilement et ça ne me fait pas plaisir, tu donnes souvent (et tu as développé une manière de décrire les choses ainsi positive) des explications simplifiées qui rendent service aux gens, c'est une qualité, mais dommage que parfois tu sembles blessé par des remarques qui ne sont pas du tout là pour ça. Il est tout de même difficile de reprocher à Meu d'avoir précisé "attention: ça marche aussi pour l'ensemble vide" après ce que tu avais dit.

ok, mais enfin me semble que les "titillages de Meu" n'ont pas varié ni augmenté en fréquence (bien au contraire même, il vient lui-même moins souvent), par ailleurs, tu sais bien qu'il aime bien défendre l'ensemble vide, donc peut-être as-tu raison sur l'ambiance générale du forum (disons que la question reste posée), mais là, effectivement, je pense que tu t'es montré un peu susceptible, car l'échange précis de ce fil aurait pu avoir lieu il y a 5 ans à la virgule près. Moi-même des fois, je m'en veux un peu de ne pas "défendre" l'ensemble vide (bon je trouve pas d'autres mots, bref... ) dans certaines remarques par-ci par là, sa prise en compte est souvent une bonne façon d'inviter les gens à réfléchir à chaque détail, c'est un peu le prix à payer de la science, l'irréfutabilité.

-D -D

Ce n'est qu'une démarche personnelle de ma part, mais je crois qu'une façon de bien s'amuser dans la vie (tout en aidant les autres) est d'être "fier de ses bêtises". Je n'irai pas jusqu'à dire que je suis fier de toutes les conneries que je raconte (car je suis assez prolixe et dans le lot, y a des trucs qui pourraient être économisés), mais disons que quand on accepte d'être un rigolo qui n'a aucune réputation ou je ne sais quoi à défendre, la vie intellectuelle me semble bien plus légère.

Il est vrai que la science est là pour proposer des choses ayant un fort degré de certitude, mais il y a toujours les mots magiques "sauf erreur, blabla" qui sont un extraordinaire joker pour être tranquille.

Par ailleurs, je n'ai pas d'exemple en tête, mais il m'est arrivé plus d'une fois où j'avais pourtant parlé sérieusement (je ne parle pas du forum, mes souvenirs remontent à plus de 25ans je crois) et où une faille s'était glissé dans mon argumentaire et sidéré j'assistais à telle ou telle remarque d'autrui qui démontait d'un coup LA TOTALITE de ma conclusion. C'est bête, j'ai l'exemple sur le bout de la langue, mais j'arrive pas à le retrouver :X

Ces moments sont enrichissants pour tout le monde je pense, et il est aussi dommage de passer à côté

neophytte écrivait:
> On peut très bien imaginer une application f allant de E vers l'ensemble des parties de E et
> associant toujours à un élément $ x$ de E une image dans laquelle $ x$ n'apparaît pas.
> Par exemple, si E est un ensemble d'entiers, l'image de $ 2$ pourrait être \{3, 4\}, l'image de
> $3$ être \{1\}, etc.


Quel est l'antécédent de $\N$, considéré comme une partie de $\N$, par ta bijection ?