algèbre

mike11 · October 2004

on travaille dans l'ev des matrices (2,2)
Soit f un endomorphisme dont la matrice vérifie EM

pour tout réel x on a
x^2+ax+b=0
de racines réelles x1 et x2
pour toute matrice M (2,2) on a EM:
M^2+aM+b=0

sachant que je suis arriver à la suite d'une question au résultat suivant:

S: f^2+(-x1-x2)f+x1x2
je pense que l'on peut à partir de la dire que S est nulle en se servant de EM mais je ne vois pas comment le justifier

(j'aurais tendance à dire que comme f est un endo elle est complétement determinées par sa matrice A, ou A est la matrice (2,2) de vecteurs colonnes f(e1) et f(e2) ((e1,e2) base cano de l'espace de départ)
on a donc avec cette construction f(x)=Ax donc prenons un vecteur de l'espace de départ et prenons son image par S:
(A^2)x+(x1-x2)*Ax+x1x2 et après je suis bloqué.

je vous remercie d'avance

JC5 · October 2004

C'est quoi $S$??

mike11 · October 2004

S est l'équation f^2+(-x1-x2)f+x1x2

mike11 · October 2004

c vrai que j'ai parler de prendre l'image par S mais je savais pas trop comment dire....
et pour mon prob alors??

JC5 · October 2004

$f$ est complètement déterminée par sa matrice $A$ mais de plus l'application qui permet cette identification est un isomorphisme d'algèbre de l'espace des endomorphismes muni de sa structure d'espace vectoriel et de la composition dans l'espace des matrice carré pour sa structure d'algèbre,,

donc nécessairement, $A^2 +a A +b=0$ donne $f^2 +a f +b=0$ ...

c'est d'ailleurs ce qui tu as fait à la fin de ton message,

évite d'ailleurs d'écrire $x_1x_2$ mais plutot $x_1x_2 I_2$ $I_2$ matrice identité (2,2), lorsque tu écris des équations matricielles.

mike11 · October 2004

ok merci bien

mike11 · October 2004

je voudrais savoir si 1) et 2) sont équivalents.

1) f est un endo elle est complétement determinées par sa matrice A, ou A est la matrice (2,2) de vecteurs colonnes f(e1) et f(e2) ((e1,e2) base cano de l'espace de départ)
on a donc avec cette construction f(x)=Ax .

2)on définit alors f l'endo canoniquement associée à la matrice A.

JC5 · October 2004

oui c'est équivalent, mais attention cela parce que la matrice canoniquement associé à un endomorphisque $A$ est celui defini dans $\R^2$ muni de sa base canonique,

Si dans 1) tu considères la $A$ de $f$ mais pour une autre base, ce n'est plus les mêmes endomorphisme ($f$ et l'endophisme canoniquement associée à la matrice).

mike11 · October 2004

ok merci
un petit truc encore (je reviens en arrière ):

comment passer de (A^2)x+(x1-x2)*Ax+x1x2 *id2
à (A^2)+(x1-x2)*A+x1x2

parce que pour faire cela on a éliminer le vecteur x si on avait eu A(x) avec A une application j'aurais été d'accord mais la A est une matrice multipliée par un vecteur.

mike11 · October 2004

je fais une confusion ??

mike11 · October 2004

je sais que ce n'est pas très agréable de prendre un problème en cour de route mais si quelqu'un pouvais éclaircir ce point noir je lui en serait reconnaissant.

Alain Debreil · October 2004

Bonsoir Mike

Si tu as $Ax=Bx$ pour toute colonne $x$ ($A,B$ des matrices) alors en particulier pour les $x$ vecteurs de la base canonique.
Les 2 matrices $A,B$ ont donc mêmes colonnes ($Ae_i$ est la $i^{\grave{e}me}$ colonne de la matrice $A$) donc $A,B$ sont égales.

Alain

mike11 · October 2004

vous venez de me faire penser à une chose
c'est en fait ce que vous m'avez dit en "remixer"

l' expression (A^2)x+(x1-x2)*Ax+x1x2 *id2 est vraie pour tout vecteur x

(de l'ensemble des matrices carrées (2,2)) donc elle est aussi vraie pour le

vecteur identité donc en prenant x=identité on a

(A^2)+(x1-x2)*A+x1x2*id

et x1x2*id=x1x2

donc (A^2)+(x1-x2)*A+x1x2

(la manière dont je détail vous parait peut etre un peut exagérer mais je fais ca pour etre bien sur de tous comprendre donc si une chose est fausse ou incorrecte n'hésitez pas)

est-ce que c'est bon alain ?

Alain Debreil · October 2004

Bonsoir Mike

Tu as montré que
$A^2.x+(x_1-x_2)*A.x+x_1x_2*id_2.x = 0$ pour tout vecteur $x$ et pas pour toute matrice de $\mathcal{M}_{2,2}(\R})$.
Ensuite tu parles du "vecteur identité", mais il n'y a pas de vecteur identité dans $\R^2$.

Par contre tu peux considérer les vecteurs de la base canonique $(e_1,e_2)$ qui sont 2 colonnes de $\R^2$
Ainsi
$A^2.x+(x_1-x_2).A.x+x_1x_2.I_2.x = (A^2+(x_1-x_2).A+x_1x_2.I_2).x = B.x$ en appelant $B$ la matrice $A^2+(x_1-x_2).A+x_1x_2.I_2$.

$B.x = 0$ pour tout $x$, en particulier pour les 2 vecteurs de base $e_1,e_2$
Or $B.e_1$ est la 1ère colonne de la matrice $B$ de même $B.e_2$ est la 2ème colonne de la matrice $B$.
$B.e_1=0$ et $B.e_2=0$ donc les 2 colonnes de $B$ sont nulles, ou encore $B=0$
finalement on a l'égalité (de matrices) $A^2+(x_1-x_2).A+x_1x_2.I_2 = 0$.

Alain

mike11 · October 2004

je vais peut etre vous paraitre embetant mais si on travaille dans

l'ensemble des matrices carrées (2,2) alors mon vecteur x est une matrice

carrée (2,2)
et dans l'ensemble des matrices carrées (2,2) j'ai bien I2 qui est la matrice identité mais qui est aussi un vecteur parcequ'on est dans l'ensemble des matrices carrées (2,2).

(je pense que vous avez lu le post de jc un peu plus haut qui n'a rien à voir avec le problème).

(je rapelle comment j'ai obtenue l'expression :
(A^2)x+(x1-x2)*Ax+x1x2 *id2
en disant que l'endomorphisme f qui était completement déterminé par sa matrice A ou A est l'image des vecteurs de la base vectoriel de départ (ens des matr carrrées (2,2) par f décomposer la base de l'espace vectoriel d'arriver (encore l'ensemble des matrices carrées (2,2).
et f est l'endomorphisme de l'ensemble des matrices carrées c'est à dire qu'il associe à un vecteur x (qui fait partie de l'ensemble des matrices carrés qui en est donc une) le vecteur Ax qui est encore une matrice carrée(2,2).

je remercie la personne qui aura pris le temps de se plonger dans le problème.

amicalement
mike.

Peter0 · October 2004

bonjour mike,
je pense que ce que tu fais est juste.
et que effectivement alain n'a pas vu que l'on travaillait dans l'ensemble des matrices carrées (2,2).

Alain Debreil · October 2004

Bonjour Mike

Reprenons ta dernière réponse:

> je vais peut etre vous paraitre embetant

Non tant que tu n'as pas compris, il faut que tu exprimes tes doutes et incompréhensions.

> mais si on travaille dans l'ensemble des matrices carrées (2,2)
> alors mon vecteur x est une matrice carrée (2,2)
> et dans l'ensemble des matrices carrées (2,2) j'ai bien I2 qui est la
> matrice identité mais qui est aussi un vecteur parcequ'on est dans
> l'ensemble des matrices carrées (2,2).

Tu travailles dans l'ensemble des matrices (2,2), mais revérifies ton énoncé et ton cours, on appèle "vecteur" les éléments de l'ev de base $E$ et "matrice" ou "endomorphisme" des applications linéaires $E \rightarrow E$ c'est à dire transormant un vecteur $x\in E$ dans un vecteur $f(x)\in E$. Ou exprimé sous forme de matrices, qui transforment une matrice colonne $X$ en une matrice colonne $AX$.

Plus tard, quand tu étudieras les endomorphisme de matrice, tu considèreras les matrices comme des vecteurs, mais il y a beaucoup d'autres notions à assimiler avant.

> (je pense que vous avez lu le post de jc un peu plus haut
> qui n'a rien à voir avec le problème).

Au risque de te contrarier, il a tout à voir au contraire.

> (je rapelle comment j'ai obtenue l'expression :
> (A^2)x+(x1-x2)*Ax+x1x2 *id2
> en disant que l'endomorphisme f qui était completement déterminé par
> sa matrice A ou A est l'image des vecteurs de la base vectoriel de départ

Jusque là tout va bien

> (ens des matr carrrées (2,2) par f décomposer la base de l'espace
> vectoriel d'arriver (encore l'ensemble des matrices carrées (2,2).

Ici il y a confusion. Si l'ensemble de départ et d'arrivée est l'ensemble des matrices(2,2), qui est un espace vectoriel de dimension 4, la matrice correspondante de $f$ serait une matrice (4,4).
Par contre si l'espace de départ est l'espace vectoriel $E$ de dimension 2, alors la matrice de $f$, dans la base canonique, est une matrice (2,2).

> et f est l'endomorphisme de l'ensemble des matrices carrées c'est à dire
> qu'il associe à un vecteur x (qui fait partie de l'ensemble des matrices
> carrés qui en est donc une) le vecteur Ax qui est encore une matrice
> carrée(2,2).

Relis ton énoncé, on se place dans l'ensemble des matrices (2,2) qui satisfont l'Equation Matricielle:
$$M^2+aM+bI_2 = 0 \qquad \qquad(EM)$$
on te demande de montrer que si $f$ est l'endomorphisme correspondant à la matrice $M$ dans la base canonique de $E$, $f$ satisfait l'équation
$$f^2+af+b.id = 0$$
Ensuite on te dit que le polynôme $X^2+aX+b$ admet 2 racines réelles $x_1,x_2$.
Puis on doit te demander de trouver les valeurs propres de $M$ et de montrer que $M$ est diagonalisable.
et finalement de trouver toutes les matrices $M$ qui satisfont $(EM)$.

> je remercie la personne qui aura pris le temps de se plonger
> dans le problème.

Si j'ai pu t'aider à comprendre ce problème, j'en serais pleinement satisfait.

Alain

mike11 · October 2004

premièrement je vous remercie pour la réponse plus que complète que vous m'avez apporté.
ce que j'ai compris
en fait f va de l'ensemble des matrices (4,1) dans l'ens des matrices (4,1) et associe à un vecteur x de coordonnées une matrice colonne(4,1) une autre matrice colonne (4,1) issue du produit Ax.

j'ai à peu près compris la structure générale;
on a l'ensemble des vecteur (mon Kev)
cet ensemble de vecteur est amené dans "l'ensemble des coordonnées de ces vecteurs" par une certaine application qui à x associe ses coordonnées et
mon endo renvoi cet "ensembles de coordonnées" dans mon kev de départ .

mais j'ai bien relu votre post et il y a encore des choses que je ne comprend ,peut etre me l'avez vous déjà expliquez et je n'ai pas saisi et je m'en excuse tout en vous remerciant pour votre patience...

ici mon kev de départ c'est l'ensemble des matrices carrées (2,2) et si une matrice carrée n'est pas un vecteur qu'est-ce qu'un vecteur de l'ensemble des matrices carrées (2,2).

mike: en vous remerciant

algèbre

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