algèbre

C'est quoi $S$??

$f$ est complètement déterminée par sa matrice $A$ mais de plus l'application qui permet cette identification est un isomorphisme d'algèbre de l'espace des endomorphismes muni de sa structure d'espace vectoriel et de la composition dans l'espace des matrice carré pour sa structure d'algèbre,,

donc nécessairement, $A^2 +a A +b=0$ donne $f^2 +a f +b=0$ ...


c'est d'ailleurs ce qui tu as fait à la fin de ton message,

évite d'ailleurs d'écrire $x_1x_2$ mais plutot $x_1x_2 I_2$ $I_2$ matrice identité (2,2), lorsque tu écris des équations matricielles.

oui c'est équivalent, mais attention cela parce que la matrice canoniquement associé à un endomorphisque $A$ est celui defini dans $\R^2$ muni de sa base canonique,

Si dans 1) tu considères la $A$ de $f$ mais pour une autre base, ce n'est plus les mêmes endomorphisme ($f$ et l'endophisme canoniquement associée à la matrice).

Bonsoir Mike

Si tu as $Ax=Bx$ pour toute colonne $x$ ($A,B$ des matrices) alors en particulier pour les $x$ vecteurs de la base canonique.
Les 2 matrices $A,B$ ont donc mêmes colonnes ($Ae_i$ est la $i^{\grave{e}me}$ colonne de la matrice $A$) donc $A,B$ sont égales.

Alain

Bonsoir Mike

Tu as montré que
$A^2.x+(x_1-x_2)*A.x+x_1x_2*id_2.x = 0$ pour tout vecteur $x$ et pas pour toute matrice de $\mathcal{M}_{2,2}(\R})$.
Ensuite tu parles du "vecteur identité", mais il n'y a pas de vecteur identité dans $\R^2$.

Par contre tu peux considérer les vecteurs de la base canonique $(e_1,e_2)$ qui sont 2 colonnes de $\R^2$
Ainsi
$A^2.x+(x_1-x_2).A.x+x_1x_2.I_2.x = (A^2+(x_1-x_2).A+x_1x_2.I_2).x = B.x$ en appelant $B$ la matrice $A^2+(x_1-x_2).A+x_1x_2.I_2$.

$B.x = 0$ pour tout $x$, en particulier pour les 2 vecteurs de base $e_1,e_2$
Or $B.e_1$ est la 1ère colonne de la matrice $B$ de même $B.e_2$ est la 2ème colonne de la matrice $B$.
$B.e_1=0$ et $B.e_2=0$ donc les 2 colonnes de $B$ sont nulles, ou encore $B=0$
finalement on a l'égalité (de matrices) $A^2+(x_1-x_2).A+x_1x_2.I_2 = 0$.

Alain

Bonjour Mike

Reprenons ta dernière réponse:

> je vais peut etre vous paraitre embetant

Non tant que tu n'as pas compris, il faut que tu exprimes tes doutes et incompréhensions.

> mais si on travaille dans l'ensemble des matrices carrées (2,2)
> alors mon vecteur x est une matrice carrée (2,2)
> et dans l'ensemble des matrices carrées (2,2) j'ai bien I2 qui est la
> matrice identité mais qui est aussi un vecteur parcequ'on est dans
> l'ensemble des matrices carrées (2,2).

Tu travailles dans l'ensemble des matrices (2,2), mais revérifies ton énoncé et ton cours, on appèle "vecteur" les éléments de l'ev de base $E$ et "matrice" ou "endomorphisme" des applications linéaires $E \rightarrow E$ c'est à dire transormant un vecteur $x\in E$ dans un vecteur $f(x)\in E$. Ou exprimé sous forme de matrices, qui transforment une matrice colonne $X$ en une matrice colonne $AX$.

Plus tard, quand tu étudieras les endomorphisme de matrice, tu considèreras les matrices comme des vecteurs, mais il y a beaucoup d'autres notions à assimiler avant.


> (je pense que vous avez lu le post de jc un peu plus haut
> qui n'a rien à voir avec le problème).

Au risque de te contrarier, il a tout à voir au contraire.


> (je rapelle comment j'ai obtenue l'expression :
> (A^2)x+(x1-x2)*Ax+x1x2 *id2
> en disant que l'endomorphisme f qui était completement déterminé par
> sa matrice A ou A est l'image des vecteurs de la base vectoriel de départ

Jusque là tout va bien

> (ens des matr carrrées (2,2) par f décomposer la base de l'espace
> vectoriel d'arriver (encore l'ensemble des matrices carrées (2,2).

Ici il y a confusion. Si l'ensemble de départ et d'arrivée est l'ensemble des matrices(2,2), qui est un espace vectoriel de dimension 4, la matrice correspondante de $f$ serait une matrice (4,4).
Par contre si l'espace de départ est l'espace vectoriel $E$ de dimension 2, alors la matrice de $f$, dans la base canonique, est une matrice (2,2).

> et f est l'endomorphisme de l'ensemble des matrices carrées c'est à dire
> qu'il associe à un vecteur x (qui fait partie de l'ensemble des matrices
> carrés qui en est donc une) le vecteur Ax qui est encore une matrice
> carrée(2,2).


Relis ton énoncé, on se place dans l'ensemble des matrices (2,2) qui satisfont l'Equation Matricielle:
$$M^2+aM+bI_2 = 0 \qquad \qquad(EM)$$
on te demande de montrer que si $f$ est l'endomorphisme correspondant à la matrice $M$ dans la base canonique de $E$, $f$ satisfait l'équation
$$f^2+af+b.id = 0$$
Ensuite on te dit que le polynôme $X^2+aX+b$ admet 2 racines réelles $x_1,x_2$.
Puis on doit te demander de trouver les valeurs propres de $M$ et de montrer que $M$ est diagonalisable.
et finalement de trouver toutes les matrices $M$ qui satisfont $(EM)$.


> je remercie la personne qui aura pris le temps de se plonger
> dans le problème.

Si j'ai pu t'aider à comprendre ce problème, j'en serais pleinement satisfait.

Alain