Groupe résiduellement fini

bonjour,

pour la deuxième question, pour un entier $n \neq 0$, considère un nombre premier $p$ qui ne divise pas $n$ et la projection de $\Z$ dans $\Z/p\Z$ alors $n$ n'apas pour image $ \overline{0}^p$.

Pour $\Q$,un raisonnement par l'absurde convient effectivement, ensuite pour un élément $p/q$ dont on suppose que $f(p/q) \neq e_F$, il suffit de réfléchir à l'image de $\frac{p}{nq}$ où $n$ est l'ordre de $F$.

Bon courage.

Bonjour,

Je vais tenter d'être aussi clair que possible:

Effectivement le goupe additif Z est résiduellement fini, en voici la preuve. On se donne n un élément de Z non trivial i.e différent de 0. Il nous faut fabriquer un groupe F fini ! et un morphisme disons f de G vers F tel que f(n) est différent de l'élément neutre de F.
Tu remarqueras tout d'abord, que l'on peut supposer sans nuire à la généralité que n>0 (en effet f(-n)= -f(n) ou (f(n))^-1 selon que la loi de F est notée additivement ou multiplicativement); par suite, f(n) est différent du neutre de F si et seulement si f(-n) l'est. Ce point étant, nous allons distinguer deux cas:

1er cas: n=1 ici il suffit de prendre F= Z/2Z et f la surjection canonique de Z sur Z/2Z. F est bien fin (il a deux éléments) et f(1)= 1+2Z est différent de 2Z qui est le neutre de F= Z/2Z ! (1 est impair) et on a gagné!

2ème cas: n>1, ici n va se décomposer en produit de facteurs premiers, ses facteurs premiers (ou si tu préfère ses diviseurs premiers) sont finis (et pour cause, ils sont tous inferieurs ou égaux à n, il y a donc au plus n, en fait beaucoup moins!); comme l'ensemble des nombres premiers est lui infini (c'est le fameux théorème d'Euclide, pour la preuve voir la dernière remarque ci-après), il va exister donc un premier disons q, différent de tous les facteurs premiers divisant n de sorte que q et n sont premiers entre eux, il suffit alors de considérer le groupe fini F= Z/qZ et f la surjection canonique de Z sur Z/qZ. Il semble clair que f(n):= n+qZ est différent de qZ= élément neutre du groupe quotient ( additif) Z/qZ. En effet, n+qZ= qZ équivaut à q divise n ce qui est absurde puisqu'alors pgcd (n,q)=q (car q divise n)=1 ( puisque n et q 1ers entre eux) et donc on aurait q=1 or q étént premier q>1.

Passons à prsent à la dernière question: Q est n'est pas résiduellement fini. Il est assez facile de prouver cela, l'ingrédient principal est le suivant:
Pour tout sous groupe propre H de Q le groupe quotient Q/H est infini.

Tout d'abord, il est clair qu'il est possible de parler du groupe quotient Q/H vu que Q est Abélien (tous ses sous-groupes sont normaux!)) , par ailleurs par propre, je veux dire que H est différent de Q. Imaginons cela établis, et voyons comment l'on déduit simplement que Q est n'est pas résiduellement fini. Raisonnons par l'absurde: si Q était résiduellement fini, il va exister un morphisme f de Q vers un groupe fini F tel que f(1) est différent de l'élément neutre de F (j'ai appliqué la définition de avec x=1 qui est bien différent de 0= élément neutre de Q, mais tout autre élément différent de o aurait fait l'affaire), mais alors Ker(f) est un sous-groupe propre de Q vu qu'il ne contient pas 1 (ne pas oublier que: f(1) est différent de l'élément neutre de F signifie exactement que 1 n'est pas dans le noyau de f). On achève mainteant le raisonnement en invoquant le premier théorème d'isomorphisme:
Q/Ker(f) isomorphe à Imf. or Imf est un sous groupe du groupe fini F, il est donc lui même fini, par suite Q/Ker(f) serait fini ce qui est absurde, puisqu'un quotient de Q n'est jamais fini si le sous-groupe par lequel on quotiente est propre, or on vient de voir que Ker(f) est un sous-groupe propre de Q.

Il nous reste, pour être complet, vérifier l'implication H propre dans Q implique Q/H infini.
Pour ce faire, il nous faut rappeler quelque chose:

Soit G un groupe, et K un sous-groupe normal d'indice n, alors pour tout g dans G, g ^n est dans K. C'est clair, c'est une conséquence du Théorème de Lagrange. On considère le groupe quotient G/K (qui a bien un sens vu que K est distingué dans G) alors par Lagrange, pour tout g dans G, (gK)^n=K (ne pas oublier que dire que K est d'indice n c'est dire que le groupe quotient G/K est d'ordre n) i.e (g^n)K=K i.e g^n est dans K pour tout g dans G.

A présent, supposons un instant que Q/H est fini d'ordre n, on aurait alors nr est dans H pour TOUT r dans Q (attentionici, les groupes sont additifs, c'est donc nr qui est dans H et non r^n okay! ).Comme r/n est aussi dans Q (c'est clair; si r=a/b, alors r/n: a/bn) on aurait aussi n r/n dans H pour tout r dans Q i.e pour tout r dans Q r est dans H i.e H= Q ce qui est absurde puisque H est supposé propre!!

J'espère que c'est clair, autrement tu pourras toujours me contacter par mail, j'en serai ravis.

Remarque:

A propos d
u théorème d'Euclide relative à l'infinitude des nombres premiers. Soit p1, p2,...,pm, m nombre premiers, nous allons fabriquer un autre qui n'est pas dans cette liste, cela montrera bien que ce type de nombre sont en nombre infini.
Pour ce faire, on considère l'entier a= (p1 x p2 x...xpm)+1
De deux choses l'une: ou bien a est premier et il n'est pas dans la liste initiale puique il leur est strictement supérieur par construction !
Ou bien il est non premier (donc composé), par conséquent, il admet un diviseur premier q et q est différent des pi pour i=1,2,...,m car a n'est manifestement pas divisible par aucun pi pour i=1,2,...,m. (a=1modpi, pour i=1,2,...,m , i.e le reste de la division de a par pi est 1).

Enfin une question de notation: le symbole := signifie égal par définition

Voilà c'est tout et bon courage!!