transformation de Mellin

Benoit0 · November 2004

Helo,

Quelqu'un a t il de la documentation sur cette transformation (pas Mathworld il n'y a pas assez de détails) ou une preuve de la formule donné à :

http://mathworld.wolfram.com/MellinsFormula.html

Merci à JJ et aux autres!

JJ0 · November 2004

Bonjour Benoit,

La formule de Mellin se démontre facilement en partant des deux séries infinies classiques suivantes (respectivement les fonctions ln(Gamma) et digamma) : 1713

Benoit0 · November 2004

Bonjour et merci beaucoup JJ!

borde1 · November 2004

Ah...Je pensais que vous vouliez la formule d'inversion de Mellin : si $f$ est une fonction définie sur $]0;+\infty[$ à valeurs réelles et si $$\int_{0}^{\infty} |f(x)| x{\alpha - 1} dx \ll 1$$ pour un certain $\alpha$ strictement positif, alors, pour tout réel $c$ strictement supérieur à $\alpha$, on a : $$ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s-1} dx \Longleftrightarrow f(x) = \frac {1}{2 \pi i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} F(s) x^{-s} ds$$

Borde.

borde1 · November 2004

Lire $$\int_{0}^{\infty} |f(x| x^{\alpha - 1} dx en ligne 3...

borde1 · November 2004

Lire $$\int_{0}^{\infty} |f(x| x^{\alpha - 1} dx \ll 1$$ en ligne 3.

Benoit0 · November 2004

Merci Borde. C'est que je pensais que la formule de Mellin s'obtenait aussi par la transformation de Mellin. La preuve directe de JJ me va mais ce serait bien aussi si avec une simple inversion.

Borde c'est pas le gars à cause de qui j'ai acheté "Exercices de th des nimlbres" de Parent et "Th probabiliste et analytique des nombres" de Tenenbaum suite à des commentaires sur amazon ;-)

borde1 · November 2004

Heu...Si, sans doute...Enfin, selon toute probabilité : il est vrai qu'il y a quelques années, j'ai fait 1 ou 2 commentaires sur amazon à propos de ces livres.

Alors : que penses-tu de ces ouvrages ? (Parent est très bon, non ? A tel point que je crois qu'il y en a eu une traduction...anglaise !)

Pour la transformée de Mellin (autre que par Wolfram), il y a bien sûr "Table of Integrals, series & products" de I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik (ouf...), Academic Press, ISBN = 0-12-294757-6.

Si ton but est à visée théorie des nombres, alors va voir "An introduction to transform theory", par D.V. Widder, encore academic Press (1971), ISBN = 0-12-748550-3.

good luck,

Borde.

Benoit0 · November 2004

Parent est très riche et survole beaucoup d' aspects de la théorie des nombres Outre les classiques on y trouve les congruences de Ramanujan sur les partitions, les formes modulaires, l''équirépartion mod1... Les corrigés sont bien développés. Il y a des exos assez durs (pour moi) en th algébrique qui requièrent de bonnes bases mais c'est très plaisant et montre la richesse de la discipline. Ca change des ouvrages classiques d'introduction à la th des nombres. Faut juste se faire à la typo!
Tenenbaum : un must (+ le tome d'exos).
Benoit.

borde1 · November 2004

Pour Benoit. Je partage tes jugements, mais attention au livre de Tenenbaum : il faut (même avec les corrigés des exos) avoir une assez solide expérience en théorie analytique des nombres pour bien suivre les raisonnements et calculs intervenant là-dedans (surtout en ce qui concerne la partie analyse complexe, où il n'est pas toujours évident de bien comprendre comment on majore les termes restes...). Je trouve aussi qu'il manque un résultat sur les sommes courtes de fonctions multiplicatives (théorème de Shiu, par exemple)...Tu peux cependant lui associer un autre livre de Tenenbaum, écrit quelques années auparavant (si tu le trouves, car ce n'est pas évident) : il s'agit de "Divisors" écrit en collaboration avec R. R. Hall en 1987 (Cambridge University Press, ISBN = 0-521-34056-X), mais, là aussi, il faut être bien armé...

Bon courage,

Borde.