pgcd négatif ?

alicia
alicia
dans Les-mathématiques
Bonjour

La définition du PGCD de a et b c'est le plus grand des diviseurs communs à a et b.
Si a et b ne sont pas de même signe, l'algorithme d'Euclide indique un PGCD négatif, or la définition nous incite à dire que c'est la valeur absolue de ce que l'on obtient.
Alors doit-on garder le résultat de l'algorithme ou bien changer le résultat obtenu ?
Merci

[Réserve tes majuscules aux débuts de phrases et aux noms propres : Euclide, plutôt que de les gâcher dans pgcd. AD]

Réponses

  • bob morane0
    bob morane0
    En fait, le pgcd est defini a un facteur inversible pres dans Z, les inversibles sont -1 et 1 (pour la loi *), voila...on prend souvent la valeur absolue car on prefere les nombres positifs...
  • alicia
    alicia
    oui mais en toute rigueur le pgcd de -3 et 5 c'est -1 ou 1 ?
  • riri
    riri
    ça dépend de la définition qu'on lui donne, ça dépend des profs, des auteurs, de toi... mais ça change rien !
  • alicia
    alicia
    ok merci
  • bigben23
    bigben23
    en toute logique le pgcd de -3 et 5 c'est 1
    car pgcd=PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR et comme 1 est plus grand que -1...
  • Ben
    Ben
    Pas vraiment, puisque l'on dit UN pgcd et non LE pgcd, qui se définit dans le cas d'un anneau principal comme un générateur de I + J où I et J sont des idéaux, il suffit alors de voir que les générateurs sont tous associés.
  • bigben23
    bigben23
    ok ça va je retire ce que j'ai dit
  • EnAllemagne
    EnAllemagne
    Bonjour

    Je me pose la même question qu'Alicia. Ou plus exactement comment doit-on présenter l'algorithme d'Euclide ?
    Par exemple chercher le PGDC (208, -303)
    J'aurais tendance à écrire l'algorithme d'Euclide pour (303, 208) et à dire que c'est le PGDC (208, -303) est le même que (303, 208)

    Soit

    303 = 1 * 208 +95
    208 = 2 * 95 + 18
    95 = 5 * 18 + 5
    18 = 3 * 5 + 3
    5 = 1 * 3 + 2
    3 = 1 * 2 + 1
    2 = 2 * 1 + 0

    Mais peut-on écrire l'algorithme d'Euclide ainsi :
    - 303 = -1 * 208 - 95 ???

    [Euclide (-325, -265) prend une majuscule en tout circonstance. AD]
  • sasou0
    sasou0
    Le programme ne gère pas les nombres négatifs. Cependant pour être rigoureux mathématiquement, tout dépend de la définition du PGCD retenue, défini sur N*, il est toujours positif, défini sur Z* il est positif ou négatif, c'est le même à un coefficient -1 près
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