Ligne de niveau & barycentre
dans Les-mathématiques
Salut, petite question toute bête :
Soit A,B et C trois plans du plan non alignés
2||MA+MB+MC||=3||MB+MC||
Je dois faire comment quand j'ai des coefficients ?
Je fais le barycentre G((B,1)(C,1) et G'((A,1)(G,2)) ??
Soit A,B et C trois plans du plan non alignés
2||MA+MB+MC||=3||MB+MC||
Je dois faire comment quand j'ai des coefficients ?
Je fais le barycentre G((B,1)(C,1) et G'((A,1)(G,2)) ??
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Réponses
Si G = bar{(A,a), (B,b) (C,c)} alors pour tout point M on a l'égalité vectorielle : (a+b+c) MG = a MA +b MB +c MC
Cela reste vrai bien entendu avec deux points
Soit A,B et C trois plans du plan non alignés
2||MA+MB+MC||=3||MB+MC||
Soit G barycentre de (A,1) (B,1) et (C,1)
Et G' barycentre de (B,1) (C,1)
Alors tu as :
2||MA+MB+MC||=3||MB+MC||
2||MG+GA+MG+GB+MG+GC||=2||MG'+GB+MG'+GC||
2||3MG||=2||2MG'||
6||MG||=4||MG'||
3||MG||=2||MG'||
il y'a deux positions de M
on peut même trouver les coordonnés du point M avec [GG']
[MG] et [MG']=(3/2)[MG]
Cordialement Yalcin
alors [MG']=(3/2)y
on a G'(Vx;0) et M(a,b) a et b deux réels qu'on va déterminer
on a : y²=a²+b² et ((3/2)y)²=(a-Vx)²+b²=(a²+b²)-2aVx+x=y²-2aVx+x
Donc (5/4)y²=x-2aVx
Donc a=(x-(5/4)y²)/(2Vx) d'où b=-V(y²-a²) et b=-V(y²-a²)
Cordialement Yalcin
Pour tout point M du plan, MA +MB+MC = 3MG et MA+MB=2MI (relations vectorielles).
En reinjectant ca dans l enonce, on trouve 6MG=6MI soit MG=MI (relations de longueurs).
L ens des pts cherches est l ens des points equidistants des points G et I ( qui sont fixes): c est la mediatrice de [IG].
Voila, regarde bien cet exo, c est un classique de recherche de lieux de pts avec les barycentres.
Alors tu as :
2||MA+MB+MC||=$\textcolor{red}{3}$||MB+MC||
2||MG+GA+MG+GB+MG+GC||=$\textcolor{red}{2}$||MG'+GB+MG'+GC||
2||3MG||=2||2MG'||
Cordialement Yalcin