f dérivable => f continue / Pb de démonstration

Bonjour,

Soit $f$ une fontion d'une variable réelle.

On dit que $f$ est dérivable en $a \in \R$ ssi :

$$\lim_{h \to 0} \frac {f(a+h) - f(a)}{h}$$
existe.

Dans mon cours, je trouve cette dernière définition exprimée de la façon équivalente suivante :

(Définition 2):
$\exists x \in \R$, $\forall \epsilon > 0$, $\exists \eta >0$, $\forall h \in \R$,
$|h| 0$.

Si $|t - a| Ce que je ne comprends pas :

Comment peut on conclure à $\lim_{t \to a} (f(t) - f(a)) = 0$ à partir de l'inégalité $|f(t) - f(a) |\leq (\epsilon + |f'(a)|)\eta$ ??

C'est le $\eta$ en facteur qui me dérange. En effet, si je suis bien le principe de cette démonstration, on posé comme hypothèse que $|t-a|