Espace lp
dans Les-mathématiques
Soit lp l’espace des suites (xn) telles que ∑ן xnןp est fini, muni de la norme Np définie par
X=(xn), Np(X)= (∑ן xnןp)1/p .
Montrer que si 1≤ p ≤ q , alors Nq(X) ≤ Np(X).
(Dans l'expression de la série et de la norme, p et 1/p sont en exposant).
Merci d'avance.
X=(xn), Np(X)= (∑ן xnןp)1/p .
Montrer que si 1≤ p ≤ q , alors Nq(X) ≤ Np(X).
(Dans l'expression de la série et de la norme, p et 1/p sont en exposant).
Merci d'avance.
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Réponses
<BR>si <!-- MATH $1 \leq p < q$ --><IMG WIDTH="70" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2004/12/9/45057/cv/img1.png" ALT="$ 1 \leq p < q$">
<BR>on peut supposer que <!-- MATH $N_{q} (x) = 1$ --><IMG WIDTH="75" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2004/12/9/45057/cv/img2.png" ALT="$ N_{q} (x) = 1 $">
<BR>alors <!-- MATH $1 = \sum (x_i)^q \leq \sum (x_i)^p$ --><IMG WIDTH="156" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2004/12/9/45057/cv/img3.png" ALT="$ 1 = \sum (x_i)^q \leq \sum (x_i)^p $">
<BR>car chaque <!-- MATH $x_i \leq 1$ --><IMG WIDTH="48" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2004/12/9/45057/cv/img4.png" ALT="$ x_i \leq 1 $">
<BR>et donc <!-- MATH $N_p(x) \geq 1$ --><IMG WIDTH="75" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2004/12/9/45057/cv/img5.png" ALT="$ N_p(x) \geq 1 $">
<BR>et donc <!-- MATH $N_q(x) \leq N_p(x)$ --><IMG WIDTH="108" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2004/12/9/45057/cv/img6.png" ALT="$ N_q(x) \leq N_p(x) $">
<BR>j espere moi pas dire bétise<BR>
Aucune réponse n'est satisfaisante.
Merci de réfléchir d'avantage.
il suffit de le faire dans le cas fini.
et dans le cas fini on se ramène à (pour r >=1 et des ak >0)
[sum(ak)^r]^1/r <= sum(ak)
je vous laisse réflechir et conclure..
( et bon exo dessiner dans le plan les spheres unites correspondant aux normes Np pour p=1, 2, 3, 10, 100,+oo.
d'ou justification de l'appellation "norme infinie" pour la norme du max)
Oump.
La démo de toutoune est parfaite (à part qu'il faut ecrire |x_i| à la place de x_i). C'est Tads qui as mal énoncé la définition de Np(x) en oubliant les modules!
Amicalement,
Georges
Merci àtous ceux qui ont eu l'aimabilité de lire mon problème de de réflérir à propes. Je demande des excuses à ceux que j'ai offensé.
Une fois de plus merci de votre disponibilité.A+