Pourquoi e^(it)=cost+isint ?

Bonjour ,
Comme il faut passer par la définition d'une exponentielle complexe ,ça paraît difficile sans faire de l'analyse complexe .T'as les cours de Michèle Audin en ligne qui devraient t'éclairer en restant de difficulté modérée.Il ya aussi un cours dans la collection Ellipses "Eléments d'Analyse complexe" de Pabion.
Voilà. Bonne journée.
Jean-Louis.

Une question à TheVelho : avant de te poser cette question, sait tu au moins ce qu'est un cosinus (ie la véritable définition)? Moi à ton niveau d'étude c'était plutôt ça qui me choquait...;-)

@+

Et quelle définition du cosinus donnes-tu, sigma ?

Pour la question subsidiaire, la bonne question est plutot "comment d\'efinit-on $i^i$".

Je pense que par "véritable définition " du cosinus on entend $$cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ et pour le sinus $$sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

Pour pouvoir s'asseoir il faut déjà être debout

Je pense que la démonstration de ton cours est à la fois tout à fait rigoureuse et une grosse arnaque (mais pas où tu le sous entends).
En effet,admettant f'(t)=if(t) et la donnée de f(0), on a bien cos(t)+i sin(t) qui coîncide avec exp(it) puisqu'elles verifient la même équation et coîncident en un point (théorème d'unicité des solution).
Là où ça ne va pas c'est que ton prof a dérivé sans remords sin et cos, de même qu'exponentielle peut être sans avoir prouvé qu'il avait le droit. Je me souviens qu'on n'a pas justifié la dérivabilité de sin et cos avant la deuxième année.
Cette preuve est correcte si on a prouvé auparavant que sin et cos sont des fonctions dérivables et qui ont bien la dérivée qu'on a appris. Ce qui est franchement pas facile étant donné que tu n'as sans doute pas de définition exacte de ces fonctions.
Bien sur, si par un moyen ou un autre (genre sin est la solution de y''+y=0 vérifiant blablabla), ton prof a construit le sin et le cos et calculé leur dérivée, ben ça va...

En terminale, on peut définir $exp(x)$ pour $x$ réel, comme étant la fonction réciproque du logarithme.

Mais pour définir $exp(i*t)$ où $t$ est réel, on doit d'abord déninir $exp(z)$ pour $z$ complexe... pas d'autre alternative.

Pour montrer que $exp(i*t)=cos(t)+i*sin(t)$, il faut D'ABORD définir ce qu'est l'exponentielle, le sinus, cosinus !!

Bref, pour faire les choses proprement, on peut partir de la théorie des séries entières, et montrer que pour tout z complexe, la série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ définit bien un nombre complexe, que l'on notera $exp(z)$.

Ensuite, quelqu'un a donné les définitions des sinus (complexes !) et cosinus complexes pour tout z.

Ta formule est donc évidente, il n'y a rien à prouver, tout est conséquence des définitions.

Mais là où il y a du boulot, c'est de montrer pourquoi cos(B)=AB/AC pour un triangle ABC rectangle en A. Bref, il faut montrer les liens géométriques entre la formule théorique et les angles. Et là y a du boulot. Qu'est-ce qu'un angle ? Comment définir la mesure d'un angle ? (En fait 'LA' mesure d'un angle n'hexiste pas, c'est une classe d'équivalence...)

On dépasse largement le niveau de Terminale.
D'ailleurs en Terminale, on ne dispose pas des outils permettant de justifier cela rigoureusement.

Les idées d'équations différentielles sont caduques car elles font appel à des outils bien au-delà de la théorie des séries entières !!

Un autre truc (mais je repete peut etre ce ki a deja été dit, g po tout lu):

en terminale, je me souvient avoir vu qu'on pouvait écrire tout nombre complexe sous la forme re^(i.t).

Ici, tu prends r=1 => tu te retrouves avec un nombre complexe de module 1. Dans le plan complexe, tu peux donc déssiner t->e^(it) comme le cercle unité.

Et là, une petite astuce: kan tu avais un point M sur le cercle trigo, ses coordonnées sont données par (cos t, sin t), où t est l'angle formé par le vecteur OM et l'axe des abscisse.
Tu recases ça dans le plan complexe, et donc e^(it) est le point de coordonnée (cos t, sin t). D'où e^(it)=cos t + i sin t

Lolotte

En fait la quetion subsidiaire est la vraie question difficile : donner un sens à $i^i$ revient à calculer $ln(i)$ et c'est là qu'on fait vraiment de la vraie analyse complexe pour de vrai ; l'histoire de sinus et cosinus c'est pour les gamins en couches-culottes à côté de ça... ;-)

Comme le souligne GERARD il y a pas mal de réponses possibles et a priori aucune n'est privilégiée. Intuitivement on peut se dire que $ln(i)$ est le complexe $z$ tel que $e^z=i$ mais on voit bien qu'il y a un hic parce que $exp$ n'est pas injective sur $\C$. Si tu continues à faire des maths TheVelho (ce que je te souhaite) tu verras des réponses ultra-élégantes à ces questions...

tret a très bien résumé la manière de définir rigoureusement $e^{iz}$, $\sin$ et $\cos$ qui ne sont donc vraiment définis que lors d'un cours de Math spé ou de DEUG/License.

Pour poursuivre un peu le débat, n'oublions pas que $\pi$ est également défini à ce même moment comme :
$$\pi = 2 \inf \{x \geq 0\ |\ \cos{x} = 0 \} $$

Marrant que personne ne soit parti de la formule de De Moivre.

On va faire ça à la Euler.

On part de
$$\cos n\theta=\frac{(\cos\theta+i\sin\theta)^n+(\cos\theta-i\sin\theta)^n}{2}$$
On fait alors tendre $n$ vers $+\infty$ de sorte que $\theta=x/n$ est infiniment petit, $\cos\theta=1$ et $\sin\theta=\theta=x/n$. En substituant, on obtient
\begin{align*}
\cos x=\cos\theta&=\frac{(\cos\theta+i\sin\theta)^n+(\cos\theta-i\sin\theta)^n}{2}\\
&=\frac{(1+ix/n)^n+(1-ix/n)^n}{2}.
\end{align*}
En égalisant $e^{\omega}$ avec $1+\omega$ pour $\omega$ infiniment petit, on a
$$e^{a}=(e^{a/n})^n=\left(1+\frac{a}{n}\right)^n$$
d'où l'on déduit, en remplaçant $a$ par les quantités $ix$ et $-ix$,
$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.$$

La même procédure avec
$$\sin n\theta=\frac{(\cos\theta+i\sin\theta)^n-(\cos\theta-i\sin\theta)^n}{2i}$$
donne
$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$$

On obtient alors en additionnant les deux résultats précédents
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$.

Ceux qui trouveraient que > ont certainement raison (mais Euler ne s'embêtait pas trop avec ces tracasseries).

Une autre démonstration de la formule $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$ due à Euler:

On par de $\sin x=y$ d'où $x=\sin^{-1}y=\int dy/\sqrt{1-y^2}$. On introduit alors le changement de variable $y=iz$ pour obtenir
$$x=\int\frac{idz}{\sqrt{1-(iz)^2}}=i\int\frac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=i\ln\left(\sqrt{1+z^2}+z\right).$$
Puiqsue $z=y/i=\sin x/i$, il s'ensuit que $z^2=\sin^2 x/i^2=-\sin^2 x$, et l'expression précédente devient
$$x=i\ln\left(\sqrt{1-\sin^2 x}+\frac{\sin x}{i}\right)=i\ln(\cos x-i\sin x).$$
Donc,
$$ix=i^2\ln(\cos x-i\sin x)=\ln\frac{1}{\cos x-i\sin x}=\ln(\cos x+i\sin x),$$
et en passant à l'exponentielle, on a alors
$$e^{ix}=e^{\ln(\cos x+i\sin x)}=\cos x+i\sin x.$$

Euler donna une troisième preuve que $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ basée sur les séries entières.

Euler part de
$$1=\cos^2\theta+\sin^2\theta=(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta).$$
On a alors
\begin{align*}
(\cos\theta\pm i\sin\theta)(\cos\phi\pm i\sin\phi)&=(\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi)\pm i(\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi)\\
&=\cos(\theta+\phi)\pm i\sin(\theta+\phi).
\end{align*}
En prenant $\theta=\phi$, on obtient
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos(2\theta)+i\sin(2\theta)$$
et
$$(\cos\theta-i\sin\theta)^2=\cos(2\theta)-i\sin(2\theta).$$

A partir de là, Euler en déduisit que l'on retrouvait la même propriété pour des puissances plus grandes et formula le résultat général (i.e. le théorème de De Moivre)
$$(\cos\theta\pm i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)\pm i\sin(n\theta)\quad\text{pour tout}\quad n\geq1.$$

Il s'est servi de ces formules dans différentes publications pour obtenir les solutions d'équations du quatrième degré, pour trouver le développement en séries entières du cosinus et du sinus ou encore pour obtenir $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

Merci, Eric.

Pour sigma, ta definition de $\\pi$ est la plus affreuse que j\'ai jamais vu, et sans vouloir paraitre offensive, elle merite meme pas le nom de definition, tout juste le nom de \'\&quotremarque\" et encore une remarque qui n\'a aucune utilite

Et en quoi est ce pratique ?

Et ça évite de définir la longueur d'un cercle ou l'aire d'un disque, donc d'avoir recours à l'intégration !

Oui, autant essayer de démontrer que $\cos \pi = 0$ en prenant pour définition :
$$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)$$
ou :
$$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$$

C'est un défi intéressant...

OUPS !!!!!!!

Bon je vais tenter un peu de m'expliquer (et au passage je m'excuse pour mon dernier post, il est pas tres sympa)

Quand je dis que cette "definition" est 'affreuse', je trouve que c triste d'utiliser une telle sophistication (inf, exponentielle complexe) pour definir un nombre qu'on connait depuis plus de 2000 ans, et quand je parle de son 'inutilite', je veux tout simplement dire que les mathematiciens qui ne savaient pas ce qu'etait (precisement) une borne inferieure n'etaient pas pour autant gene pour utiliser le nombre pi et demontrer des trucs avec.

Ca va peut etre faire sourire certain, mais moi si on me demande de prouver que
exp(i$\pi$)+1=0, et ben je trace un cercle trigonometrique ...

Alors maintenant, il a cette histoire de faire les choses proprement. Je suis tout a fait d'accord que la "definition" que donne sigma est rigoureuse, et qu'on peut s'amuser a redemontrer un tas de choses avec. Mais bon voila, plus je fais des maths, et plus je me rends compte que la rigueur c'est bien, c'est meme indispensable mais ca fait pas tout ! Par exemple (pour rester a l'epoque des grecs) quand Archimede calcul l'aire du disque, il commence par inscrire un carre dans le cercle, puis il voit qu'en doublant successivement le nombre de cote du polygone, la difference entre les deux aires devient arbitrairement petite, et c'est donc en pensant a l'aire d'un polygone avec une infinite de cote qu'il trouve le resultat, et meme si sa demo est rigoureuse (double demo par l'absurde), c pas la rigueur qui lui a permis de trouver son resultat.

Bon bref, je m'egare un peu, tout ce que je voulais dire c que cette "definition" (que je n'ai jamais vu dans aucun cours, et c tant mieux) denature la vrai realite de pi et que je ne trouve pas que ce point de vue soit tres fecond.

Pour sigma : la définition que tu donnes de $\pi$ est exactement celle que j'ai vue en spé, en 1977.
Plus précisément, mon prof disait : "L'ensemble des solutions positives de l'équation cosx=0 admet un plus petit élément. Ce plus petit élément, nous l'appellerons Pi sur deux !"

Je ne comprends pas pourquoi vous introduisez ici des jugements de valeurs du type "cette définition de $\pi$ est triste", "affreuse" ou remet en cause "l'histoire" de $\pi$. Le but du mahématicien est précisemment de s'affranchir de ces passions.

Avant, on définissait une courbe continue comme une courbe que l'on pouvait tracer sans lever le crayon et cela suffisait aux géomètres débordant d'intuition. La définition par les $\varepsilon$ fait depuis l'unanimité et c'est tant mieux, car certains problèmes de rigueur n'apparaissent plus.

Je pense qu'il faut rester moderne, et ne pas hésiter à remettre les acquis précedents en cause. La définition de $\pi$ que j'ai donnée (je me suis trouvé d'ailleurs un peu prétentieux de l'appeler MA définition dans mon post précédent...) axxocie immédiatemment $\pi$ aux fonctions circulaires, et ça, c'est pas mal parce que c'est quand même son utilité première.

@+

D'accord, Sigma, mais c'est la première définition qu'on voyait de e (Avec les programmes actuels, on le définit souvent autrement). Je comprends donc Abed. Et le goût (les préférences) n'est pas à exclure en maths. Il explique même les évolutions dans la formation (voir la pénible époque des "maths modernes", le rejet jusqu'à aujourd'hui des "maths appliquées" par de nombreux matheux, etc.
Mais la rigueur est utile, j'en conviens. Elle est essentielle à la formation des matheux. C'est pourquoi j'apprécie à sa juste valeur (extrèmement forte) la redéfinition de Pi à l'aides des séries entières.