Que vaut 0^0 ?

Michel26 · September 2006

physiquement 0^0=1 parce que l'univers est parti d'un point mathématique 0 et est devenu 1 par 0^0.

GuYem · September 2006

Au niveau purement algébrique, dans un anneau quelconque, on définit la puissance nième d'un élément a quelconque de l'anneau par récurrence :

a^0 = 1 (unité de l'anneau)
a^n = a*a^(n-1)

Du coup 0^0 ça fait 1, dans R aussi.

Après si on met de l'analyse là dedans ...

JJ · September 2006

Bonjour,

Voilà donc le serpent de mer (ou le monstre du Power Less) qui refait surface !
Simplement rappelons que, d'une façon générale, 0^0 est indéterminé (comme par exemple 0/0 est indéterminé).
Par exemple (et, bien sûr, non exclusivement) on peut définir formellement 0^0 comme une limite de x^y avec x tendant vers 0 et y tendant vers 0 simultanément. Selon les façons dont l'un et l'autre tendent vers 0, la limite est différente.
Toutefois, si dans un contexte mathématique particulier, des conditions supplémentaires font que la 0^0 ait une valeur unique, dans ce contexte, on donnera à 0^0 cette valeur, qui peut être alors dite "conventionnelle" (ce terme ne me plait pas : je le trouve ambigu).
Je n'ai pas le courage de rechercher les liens qui renvoient aux nombreuses questions sur ce sujet. Des figures avaient été données pour illustrer cette indétermination dans le cas où l'on considère 0^0 en tant que limite de x^y ou (y^x). Voici celles que j'ai sous la main : 5021

ezize · September 2006

Bonjour,

Une réaction au message de martial plus haut ... tu parlait qu'il existe une unique application d'un ensemble vide dans lui-même : c'est l'application vide ... ne s'agit-il pas de l'application identité plutôt ? le caractère vide n'est-il pas attribué aux ensembles ?

Bruno · September 2006

Bonjour ezize.

Qu'appelles-tu "caractère vide" d'un ensemble ? En théorie des ensembles on démontre qu'il existe un unique ensemble n'ayant aucun élément et que l'on désigne par $\varnothing$.

L'ensemble $\varnothing^2 = \varnothing \times \varnothing$ est l'ensemble vide lui-même aussi n'existe-t-il qu'un seul graphe inclus dans $\varnothing^2$ ; ce graphe qui est un graphe fonctionnel définit donc une unique application de l'ensemble vide dans lui-même que l'on appelle quelque fois "l'application vide". Bien entendu, tu peux l'appeler "l'identité de l'ensemble vide" si tu préfères, cela ne change absolument rien aux propriétés de l'objet.

Bruno.

ezize · September 2006

Merci Bruno pour ces explications ... ce qui a provoquer ma réaction c'est juste l'appellation "application vide", et je me suis dit qu'il n'y a qu'un objet mathématique qu'on peut dire qu'il est "vide" et c'est "l'ensemble" ... mais apparemment, cette appellation existe quelque fois comme tu as dit. Peut-être s'agit-il d'un abus de language...

Bruno · September 2006

D'accord pour l'abus de langage ezize, pour des raisons de théorie des catégories, on doit l'appeler l'identité $\big($ainsi $\hom(a,a)$ contient toujours un élément neutre$\big)$. Mais le terme "application vide" a un petit côté provocateur.

Bruno