Intégrale de fonction réciproque
dans Les-mathématiques
Bonjour,
j'ai rédigé 3 démonstrations de l'égalité suivante avec divers changements de variables, aucune ne me convient pour la soumettre à des éleves de Terminale.
Intégrale de a à b de f(x)dx + Intégrale de f(a) à f(b) de f^(-1)dx = b.f(b) - a.f(a).f(x) étant monotone continue sur ]a, b[.
Y a t il un esprit simple et rigoureux qui puisse me guider...?
Merci.
Blaise de Normandie.
j'ai rédigé 3 démonstrations de l'égalité suivante avec divers changements de variables, aucune ne me convient pour la soumettre à des éleves de Terminale.
Intégrale de a à b de f(x)dx + Intégrale de f(a) à f(b) de f^(-1)dx = b.f(b) - a.f(a).f(x) étant monotone continue sur ]a, b[.
Y a t il un esprit simple et rigoureux qui puisse me guider...?
Merci.
Blaise de Normandie.
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Réponses
De la part d'un étudiant en physique qui aime les maths et qui lui aussi est Normand (25 km au nord de Rouen).
d'abord je fais un dessin
par ex on prend 0<a<b ; f croissante de f(a)>0 à f(b) >f(a)
la somme des deux integrales s'interprete géométriqement et donne exactement la différence des aires des rectangles de cote (0 b)et (0,f(b))
d'une part et d'autre part du rectangle de cotes (0,a) et (0,f(a))
en supposant f monotone et affine par morceaux on a le résultat impeccable..
c'est seulement apres cette approche géométrique, à mon avis ,qu'on peut s'interroger sur une preuve valable ..dans le cadre de ce qu'on fait en terminale.
Oump.
Merci d'avance
Baptiste Prépa Mpsi