intégrale par transformation de Fourier

Bonsoir

$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{sin(\pi x)}{\pi x})^2 e^{i \pi xy} dx$


est la transformation inverse de fourier $(x\longrightarrow \frac{sin(\pi x)}{\pi x})^2$ qui est la transf de fourrie du produit de convolution $1_{[-\pi,\pi]}*1_{[-\pi,\pi]}$ (modulo des cstes a determiner)

Nous sommes dans les bonnes conditions pour appliquer l'inversion(sans passer par les distributions)

le bon y donne le resultat

bonjour

la transformée de Fourier sur R de sint/[t(1+t²)] se décompose en

intégrale sur R de sint.sin(tx).dt/[t(1+t²) et intégrale sur R de sint.costx.dt/[t(1+t²)

la convergence ne pose pas de problème quelle que soit x
la première intégrale est nulle puisque la fonction à intégrer est impaire en t

la seconde intégrale est égale à 2 fois l'intégrale sur R+ de sint.costx.dt/[t(1+t²)]
puisque la fonction à intégrer est paire en t
et cette intégrale I(x) est fonction paire en x ce qui permet de limiter l'étude à x > 0

tu décomposes t/[t(1+t²)] = 1/t - t/(1+t²) et aussi la forme trigonométrique sint.cos(tx) = (1/2)[sint(1+x)/2 + sint(1-x)/2]

en utilisant les résultats de l'intégrale de Dirichlet et de l'intégrale de Laplace (dérivée par rapport à x) il vient:

I(x) = pi - (pi/2)[exp(-1/2 - x/2) + exp(-1/2 + x/2)] soit encore (avec ch cosinus hyperbolique)

I(x) = pi - pi.ch(x/2)/(rac(e)) dont nous vérifions la parité en x

cordialement

Re-Bonjour,

Erreur de ma part, le resultat est I = 1/2 (comme annonce par Leo) et non pas 1.

BRgds.
fjaclot;