intégrale par transformation de Fourier
dans Les-mathématiques
Titre initial : Calcul d'une intégrale à l'aide de la transformation de Fourier des distribution
Bonjour à tous,
tout est dans le titre.
Soit à calculer : $$\int_{-\infty}^{+\infty} \Big(\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\Big)^2 \cos(\pi x) dx$$
J'étais tombé sur 4 sur pi au carré mais je ne retrouve plus comment j'avais fait et je pense que c'était erroné...
J'ai exprimé l'intégrale sous la notation car le sinus cardinal est une fonction à décroissance rapide. J'ai ensuite exprimé le carré du sinus cardinal comme la transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions portes, appliqué la transformation au cosinus ce qui me donne une expression de l'intégrale en fonction de la distribution delta de Dirac et de mon produit de convolution mais ensuite je sèche...
Si quelqu'un peut m'aider...
Merci d'avance
Bonjour à tous,
tout est dans le titre.
Soit à calculer : $$\int_{-\infty}^{+\infty} \Big(\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\Big)^2 \cos(\pi x) dx$$
J'étais tombé sur 4 sur pi au carré mais je ne retrouve plus comment j'avais fait et je pense que c'était erroné...
J'ai exprimé l'intégrale sous la notation car le sinus cardinal est une fonction à décroissance rapide. J'ai ensuite exprimé le carré du sinus cardinal comme la transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions portes, appliqué la transformation au cosinus ce qui me donne une expression de l'intégrale en fonction de la distribution delta de Dirac et de mon produit de convolution mais ensuite je sèche...
Si quelqu'un peut m'aider...
Merci d'avance
Réponses
-
Désolé pour le double post, effacez le précédent.
-
Le sinus cardinal est à décroissance rapide?
Hum...
Si je trouve ca bizarre c'est peut-etre que je confond "à décroissance rapide" avec autre chose. -
Bonsoir
$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{sin(\pi x)}{\pi x})^2 e^{i \pi xy} dx$
est la transformation inverse de fourier $(x\longrightarrow \frac{sin(\pi x)}{\pi x})^2$ qui est la transf de fourrie du produit de convolution $1_{[-\pi,\pi]}*1_{[-\pi,\pi]}$ (modulo des cstes a determiner)
Nous sommes dans les bonnes conditions pour appliquer l'inversion(sans passer par les distributions)
le bon y donne le resultat -
Plus precisement on a :
$$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{sin(\pi x)}{\pi x})^2 e^{i xy} dx=
1_{[-\pi,\pi]}*1_{[-\pi,\pi]}(y)$$ ppartout (continuité donc partout)
Et en particulier en $y=\pi$
on a $\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{sin(\pi x)}{\pi x})^2 cos(\pi x) dx=1_{[-\pi,\pi]}*1_{[-\pi,\pi]}(\pi)$
Said -
Merci beaucoup pour les réponses, je crois que l'intégrale donne 1/2.
@ bientôt -
Bonjour
J'aimerais savoir comment on calcule l'intégrale de sinx /(x(1+x.x)) sur R à l'aide de la transformation de Fourier.
Et merci -
bonjour
la transformée de Fourier sur R de sint/[t(1+t²)] se décompose en
intégrale sur R de sint.sin(tx).dt/[t(1+t²) et intégrale sur R de sint.costx.dt/[t(1+t²)
la convergence ne pose pas de problème quelle que soit x
la première intégrale est nulle puisque la fonction à intégrer est impaire en t
la seconde intégrale est égale à 2 fois l'intégrale sur R+ de sint.costx.dt/[t(1+t²)]
puisque la fonction à intégrer est paire en t
et cette intégrale I(x) est fonction paire en x ce qui permet de limiter l'étude à x > 0
tu décomposes t/[t(1+t²)] = 1/t - t/(1+t²) et aussi la forme trigonométrique sint.cos(tx) = (1/2)[sint(1+x)/2 + sint(1-x)/2]
en utilisant les résultats de l'intégrale de Dirichlet et de l'intégrale de Laplace (dérivée par rapport à x) il vient:
I(x) = pi - (pi/2)[exp(-1/2 - x/2) + exp(-1/2 + x/2)] soit encore (avec ch cosinus hyperbolique)
I(x) = pi - pi.ch(x/2)/(rac(e)) dont nous vérifions la parité en x
cordialement -
Bonjour,
Apres IPP et linearisation des SIn/Cos je trouve : I = 1
fjaclot; -
Re-Bonjour,
Erreur de ma part, le resultat est I = 1/2 (comme annonce par Leo) et non pas 1.
BRgds.
fjaclot;
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres