déterminant en dimension infinie.

Manu4 · November 2002

J'ai deux questions qui sont connexes :

1/ Peut-on définir le déterminant d'endomorphismes définis sur un espace de dimension infinie $ E$ sur $ k=\R$ ou $ \C$ ?

2/ Toujours avec un même espace vectoriel $ E$ de dimension infinie, le groupe $ GL_n^+(E)$, s'il est défini, est-il connexe, ou sinon combien a-t-il des composantes connexes.

Si vous avez des éléments de réponse, merci.
Manu

D. · November 2002

Je n'ai pas de réponse mais j'ai une remarque : dans GLn+(E) n désigne la dimension de l'espace E.
En tout cas si le groupe existe on ne le désigne pas par GLn+(E).

mathieu8 · November 2002

Hello, je donne un élément de réponse à la première question, qui est la plus intéressante. Construire un morphisme non trivial de GL(E) dans k* (où k est un corps et E un k-ev de dimension infinie) est a priori une question purement algébrique qui ne depend d'aucune topologie. C'est cela dit intéressant, et je pense qu'il y en a beaucoup, et que l'on ne peut en construire sans l'axiome du choix : remarque en effet que le déterminant classique est construit à partir de la n-ième puissance extérieure de E, n étant la dimension de E, qui est 1-dimensionnelle. Or ici un tel argument n'a aucune chance de fonctionner. Plus 'catégoriquement', le groupe GL(E) purement algébrique, en dimension infinie, contient déjà des gros sous-groupes qui sont des limites projectives de GL(V) pour V de dimension finie, Sans autre restriction topologique, construire des morphismes d'une limite projective infinie de groupes vers un autre groupe est quelque chose de malaisé qui dépend fortement de l'axiome du choix ; c'est par exemple pour éviter cela et pour ne considérer que les morphismes 'naturels' que l'on étudie les groupes profinis, avec leur topologie d'espace compact.
Amicalement.

PS : la réponse est donc : non, il n'y a pas de déterminant 'canonique' en dimension infinie ; il n'existe pas non plus de morphisme de GL(E) dans k* qui teste l’inversibilité des automorphismes.
mathieu

Manu4 · November 2002

Merci pour vos réponses. Je ne connais pas la notion de limite projective dont parle mathieu mais je comprends très bien maintenant qu'il n'y a pas de réponse triviale au problème de la construction d'une application déterminant sur un espace de dimension infinie.

Je m'excuse pour le $ n$ qui s'est glissé derrière le $ Gl$, c'était évidemment involontaire.
Manu.

Richard André-Jeannin3 · November 2002

On pourrait penser définir un déterminant d'ordre infini comme la limite (lorsque n tend vers l'infini) des déterminants obtenus en gardant les n premières lignes et les n premières colonnes.
Si l'on prend une matrice diagonale infinie telle que a(i,i)=2^(-i), elle correspond à un isomorphisme. Mais si le déterminant était défini comme la limite des déterminants, il serait nul. On aurait donc un isomorphisme avec un déterminant nul, ce qui ne donne pas une généralisation bien intéressante.

mathieu8 · November 2002

Hello,
Richard, ta suggestion pose problème : en effet la limite n'est pas forcément finie, et de plus les matrices extraites dont tu parles peuvent etre non inversibles même si le morphisme global est un isomorphisme.
Cela dit, j'ai répondu un peu hâtivement à la question sans reflechir.
Je n'ai pas beaucoup plus réfléchi, mais il me semble a priori qu'il est tout à fait possible que GL(E) soit égal à son groupe dérivé, plus précieusement que tout isomorphisme de E soit de la forme xyx^(-1)y^(-1), pour x,y deux isomorphismes, ce qui n'est évidemment pas le cas en dimension finie (on obtient SLn). Cela impliquerait évidemment que tout morphisme de GL(E) dans k* est trivial, donc qu'il n'y a pas du tout de déterminant... Si j'ai un peu de temps à l'occasion j'y réfléchirai plus.
Cordialement.

Florestan · February 2012

Voir la thèse:
http://www.nek.lu.se/NEKARE/cv/reffgen2003.pdf

sur la définition de déterminants en dimension infinie pour certaines classes d'opérateurs.

C. de Pluquaire · February 2012

Bonne nuit,

Une thèse d'autant plus intéressante qu'elle se lit facilement, surtout la 1ère partie en dim. finie; elle devrait intéresser pas mal de gens.
Toutefois, les déterminants de Fredholm à un oral d'agrégation, je ne le recommanderais pas.

Bien cordialement.

Ajout: j'ai oublié de signaler que dans les dernières pages il est question de la fonction $\zeta$, de ses zéros et des valeurs propres d'opérateurs en dim. infinie. Bien entendu, je suis bien incapable de dire si c'est intéressant ou pas. A vous d'aller voir.

déterminant en dimension infinie.

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