points doubles

La technique : tu connais la somme et le produits de $u$ et de $v$, $u \neq v$, donc tu les connais ou sinon tu aboutis à une contradiction (ce sont les cas qu'on rencontre souvent en exo).
En calculant, tu arrives à :
$$u^3-v^3-4(u-v)=0$$
et
$$u^2-v^2-(u-v)=0$$.
Ensuite tu utilises des identités remarquables et tu divises par $u-v$ ...

Bonjour Space :-)

Aaahh !, les exos de sup : c'est bon pour l'entretien ça (-:. Donc on veut que notre point $\displaystyle{M\left(t\right)}$ passe deux fois par un même point $\displaystyle{\left(x;y\right)}$ en deux instants différents $\displaystyle{t_1\neq t_2}$, soit : $\displaystyle{x=t_1^3-4t_1=t_2^3-4t_2\Leftrightarrow t_1^3-t_2^3=4\left(t_1-t_2\right)\Leftrightarrow \left(t_1-t_2\right)\left(t_1^2+t_1t_2+t_2^2\right)=4\left(t_1-t_2\right)}$ $\displaystyle{\overset{t_1\neq t_2}{\Longleftrightarrow}t_1^2+t_1t_2+t_2^2=4}$ pour l'abscisse et $\displaystyle{y=t_1^2-t_1=t_2^2-t_2\Leftrightarrow t_1^2-t_2^2=t_1-t_2\Leftrightarrow \left(t_1-t_2\right)\left(t_1+t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\overset{t_1\neq t_2}{\Longleftrightarrow}t_1+t_2=1}$ pour l'ordonnée $\displaystyle{\Rightarrow t_1^2+2t_1t_2+t_2^2=1}$, d'où $\displaystyle{t_1^2+t_1t_2+t_2^2=4\Leftrightarrow t_1^2+2t_1t_2+t_2^2-t_1t_2=4\Leftrightarrow 1-t_1t_2=4\Leftrightarrow t_1t_2=-3}$. On a la résolution classique du couple de nombre dont on connait la somme et le produit ; on a $\displaystyle{t_1\left(1-t_1\right)=-3\Leftrightarrow t_1^2-t_1-3=0\Leftarrow t_1=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}$ d'où $\displaystyle{t_2=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}$. Tout ceci se confirme sur un dessin !. J'attaque le deuxième ou pas ?

@mitiés,

Greensmile.

J-69

Si seulement tous nos soucis se résumaient à un calcul simple à effectuer...

Rebonsoir Space :-)

L'approche à avoir : se restreindre au plus petit intervalle de temps possible nécessaire, qui s'obtient par des conditions de symétries et de périodicité, puis refaire le même type de recherche en résolvant dans cet intervalle ; par symétrie, on retrouve les autres points. Une illustration ne fait pas de mal : ça aide (-:
Cette courbe ne porterait-elle pas le nom d'arc de Lissajoux par hasard ?
Un phy spé qui torche des exos de maths de licence ?, cherchez l'erreur... :-)

@mitiés,

Greensmile.

J-69