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points doubles

Envoyé par space 
points doubles
il y a dix années
<latex> Bonjour,

Existe-t-il une méthode pour trouver les points doubles? J\'ai un arc paramétré :

$x(t)=t^3-4t$
$y(t)=t^2-t$

Malheureusement rechercher des points double avec me donne un système de degré 3 avec 2 inconnues...

ou alors avec :

$x(t)=sin(2t)$
$y(t)=sin(3t)$

C\'est encore pire à cause des modulos. Y\'a une méthode?

Merci,

Re: points doubles
il y a dix années
<latex> La technique : tu connais la somme et le produits de $u$ et de $v$, $u \neq v$, donc tu les connais ou sinon tu aboutis à une contradiction (ce sont les cas qu'on rencontre souvent en exo).
En calculant, tu arrives à :
$$u^3-v^3-4(u-v)=0$$
et
$$u^2-v^2-(u-v)=0$$.
Ensuite tu utilises des identités remarquables et tu divises par $u-v$ ...
Re: points doubles
il y a dix années
avatar
<latex> Pour compléter ce qu'écrit Vassia Pupkin, posant $s = u + v$ et $p = uv$ tu parviens, sauf erreur au système résolvant :
$$\left\{\begin{array}{rcl}0 &= &s^2 - p - 4 \\
1 &= &s \end{array}\right.$$
ce qui n'est pas la mer à boire.

Bruno
Re: points doubles
il y a dix années
<latex> Bonjour Space smiling smiley

Aaahh !, les exos de sup : c'est bon pour l'entretien ça (-:. Donc on veut que notre point $\displaystyle{M\left(t\right)}$ passe deux fois par un même point $\displaystyle{\left(x;y\right)}$ en deux instants différents $\displaystyle{t_1\neq t_2}$, soit : $\displaystyle{x=t_1^3-4t_1=t_2^3-4t_2\Leftrightarrow t_1^3-t_2^3=4\left(t_1-t_2\right)\Leftrightarrow \left(t_1-t_2\right)\left(t_1^2+t_1t_2+t_2^2\right)=4\left(t_1-t_2\right)}$ $\displaystyle{\overset{t_1\neq t_2}{\Longleftrightarrow}t_1^2+t_1t_2+t_2^2=4}$ pour l'abscisse et $\displaystyle{y=t_1^2-t_1=t_2^2-t_2\Leftrightarrow t_1^2-t_2^2=t_1-t_2\Leftrightarrow \left(t_1-t_2\right)\left(t_1+t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\overset{t_1\neq t_2}{\Longleftrightarrow}t_1+t_2=1}$ pour l'ordonnée $\displaystyle{\Rightarrow t_1^2+2t_1t_2+t_2^2=1}$, d'où $\displaystyle{t_1^2+t_1t_2+t_2^2=4\Leftrightarrow t_1^2+2t_1t_2+t_2^2-t_1t_2=4\Leftrightarrow 1-t_1t_2=4\Leftrightarrow t_1t_2=-3}$. On a la résolution classique du couple de nombre dont on connait la somme et le produit ; on a $\displaystyle{t_1\left(1-t_1\right)=-3\Leftrightarrow t_1^2-t_1-3=0\Leftarrow t_1=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}$ d'où $\displaystyle{t_2=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}$. Tout ceci se confirme sur un dessin !. J'attaque le deuxième ou pas ?

@mitiés,

Greensmile.

J-69

Si seulement tous nos soucis se résumaient à un calcul simple à effectuer...
Re: points doubles
il y a dix années
Merci à tous,

OK ct juste calculatoire alors... le truc c'est qu'ils me demandent de prouver que y'a une unique solution avant... je vois pas trop comment prouver l'unicité...

Greensmile > wow tout en latex en plus merci :)

> les exos de sup

non de licence : le niveau baisse :)

> J'attaque le deuxième ou pas ?

Je dis pas non :)
Re: points doubles
il y a dix années
Rebonsoir Space smiling smiley

L'approche à avoir : se restreindre au plus petit intervalle de temps possible nécessaire, qui s'obtient par des conditions de symétries et de périodicité, puis refaire le même type de recherche en résolvant dans cet intervalle ; par symétrie, on retrouve les autres points. Une illustration ne fait pas de mal : ça aide (-:
Cette courbe ne porterait-elle pas le nom d'arc de Lissajoux par hasard ?
Un phy spé qui torche des exos de maths de licence ?, cherchez l'erreur... smiling smiley

@mitiés,

Greensmile.

J-69

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