comment faire pour demontrer sin(a+b)

Bonsoir,

En 1ère S, je dirais avec le produit scalaire, en TS avec les nb complexes et les formules d'Euler... quel est ton niveau ?

avec les exponentielles en identifiant partie rélle et partie imaginaire...

Bonsoir,
personnellement la première fois que j'ai vu ces formules (au Maroc), on les a abordées avec les rotations . Ainsi en effectuant le produit matricel de deux matrices de rotations d'angles $\alpha_1$ et $\alpha_2$, on trouve la matrice de la rotation d'angle $\alpha_1+\alpha_2$.
Quant à l'utilisatoin des formules d'Euler, je ne trouve pas ça juste puisque ces formulent utilisent implicitement la formile de Moivre qui elle même utilise les formules que vous cherchez.
Qu'en pensez-vous?
Simoh

Je trouve que vos preuves sont plus des conséquences du résulats et qu'elle peut paraitre de bonnes preuves mais bing, il faut quand même travailler un peu plus. Je pense pas me gourrer en disant que l'on peut prouver ça avec de la bonne vieille géométrie plane sur le cercle unité : thalès et/ou pithagore...

Bonsoir,

Une autre façon pour démontrer les formules de trigo (c'est un peu
tiré par les cheveux mais bon...) :
f(b)=sin(a+b) est solution de l'équa dif :
y''+y=0
donc f(b)=u sin(b)+ vcos(b)
en b=0 v=sin(a)
en b=-a on a alors u=cos(a) (ou en prenant la dérivé en 0)...

Eric 2

C'est bien plus difficile de montrer sin'=cos et consort que les formules sin(a+b) et consort surtout de manière géométrique

Pas de problèmes : j'avais aussi cette démonstration...
Mais les autres peuvent servir d'exercices ppour d'autres notions...
Et puis il est toujours bon d'avoir plein de points de vue... (voir les x démonstrations de Pythagore)
jl

Bonsoir à tous;

Dans la preuve de Terquem (Cf post du Date: 02-18-05 01:35) , il fallait lire
"2° Soient un triangle ABC et Aa, Bb, Cc, les trois hauteurs (on fera la figure), on a l'équation évidente,
AC Bb = Aa Ba + Aa aC" au lieu " Ac Bb = Aa Ba + Aa aC".
En fait, Terquem exprime de 2 manière différentes l'aire du triangle (en fait le double de cette aire): AC Bb d'une part et Aa Ba + Aa aC = Aa BC d'autre part.
Ensuite, il divise par AC AB d'où directement la relation
sin (B+C) = ....
Terquem procède de même géométriquement pour cos (B+C). Remarque : on peut le déduire de la formule sin (B+C) en dérivant par rapport à B par exemple.
Cordialement. NV

Moi j'aime bien les preuves simples, alors je dirai comme en premiere, avec le produit scalaire.

Bonsoir;

Je souhaiterais avoir, si possible, les références de l'ouvrage de 1836 évoqué par Jean Emile. Auteur ? Niveau ? Merci. Cordialement. NV

Pour Norbert Verdier :

Traité élémentaire de mathématiques ,
par M. l'abbé Pinault,
édité par Gaume Frères , libraires ,
5 rue do Pot-de-Fer ,
Paris 1836

On peut voir le problème de cette manière : mais d'où viennent les fonctions circulaires ?
En définissant par exemple $Arctan(x)$ par l'intégrale $\int_{0}^{x} \frac {1}{1+t^2}.dt$, on peut ensuite définir $tan$, et donc $cos$ et $sin$. Il est ensuite possible de démontrer les propriétés algébriques de ces applications. (J'ai vu ça dans le bouquin de sup de Monier.)
Mais chacun a sa manière de voir ..

@+

Tu utilises les deux formules primaires du produit scalaire...Au niveau seconde, ya deux définitions connues :

Soit un repère trigo (O, i, j)

--> --> -->
avec angle(i, OM) = a donc OM (cos a;sin a)
--> --> -->
et angle (i, ON) = b ON (cos b,sin b)

a < b
et OM=ON=1

définitions (dans un repère orthonormal direct)
--> -->
OM . ON = ||OM||.||ON||.cos(b-a)

et

--> -->
OM . ON = x x' + y y' = cos a cos b + sin a sin b

Et voilà, c'est pas sorcier...Si le pauvre étudiant en 3ème que je suis y arrive, vous devriez y arriver ;-)

Se pose toujours la question de qu-est-ce qui est admis qu'est-ce qui ne l'est pas AVANT de commencer une preuve. La notion de sinus et de cosinus est une notion de collège (enfin l'était il n'y a pas si longtemps). Les notions de rotations (tourner) le sont presque aussi, pas tellement le reste.

La plupart des preuves (enfin j'imagine, je ne les ai pas consultées) évoquées ci-dessus seraient valables à condition de les rédiger de manière qu'elles aient l'air de n'admettre presque rien, ça peut se faire en éliminant leur coupure dans une certaine mesure.

Par exemple, il est probablement vrai que la démonstration avec les nombres complexes est la meilleure, à condition d'opérer une traduction presque mot à mot:

multiplication->composition de rotations

et d'introduire les similitudes notion qui elle aussi est presque "collège-soluble", de sorte que

$(\C, +, \times)$ devienne $(Similitudes, "+" , composition)$

L'abstrait qui nait alors ne doit pas être un "inconvénient" même si on sait qu'humainement c'en est un pour les gens (c'est souvent un refus ou un malentendu d'ailleurs), c'est la seule petite concession à faire à la science.

Bon, j'essaie cet exercice de traduction:

$exp( i[a+b] ) = exp(ia)\times exp(ib)$

ce qui donne:

$cos(a+b) + isin(a+b) = [cos(a)+isin(a)] \times [cos(b)+isin(b)] = (cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)) + i (cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a))$

dont les formules résutent par le théorème $\forall x,y,u,v$ dans $\R: x+iy=u+iv$ => $x=u$ et $y=v$

Maintenant, je fais un copier-coller et je remplace:

touner d'un angle (a+b) = tourner d'un angle a puis tourner d'un angle b

ce qui donne:

l'effet abscisse de tourner de (a+b) + l'effet ordonnée de tourner de (a+b) = (l'effet abscisse de tourner de a + l'effet ordonnée de tourner de a ) suivi de (l'effet abscisse de tourner de b + l'effet ordonnée de tourner b) = [effet abscisse de tourner de a suivi de effetabscisse de tourner de b] + [effet abscisse de tourner de a suivi de effet ordonnée de tourner de b ] + [effet ordonnée de tourner de a suivi de effet abscisse de tourner de a] + [effet ordonnée de tourner de a suivi de effet ordonnée de tourner de b]

On obtient donc:
1) effet abscisse de tourner de (a+b) = [effet abscisse de tourner de a]suivi de [effet abscisse de tourner de b] - [effet ordonnée de tourner de a][effet ordonnée de tourner de b]
et
2) effet ordonnée de tourner de (a+b) = [effet abscisse de tourner de a]suivi de [effet ordonnée de tourner de b] + [effet abscisse de tourner de b][effet ordonnée de tourner de a]

Les signes "=" en couleur ne sont pas justifiés de manière évidente ici parce que c'est juste une traduction, mais au moins, on retrouve exactement les deux endroits où il reste à justifier quelque chose (et qui est assez intuitif en fait)