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Banach Steinhaus et séries de Fourier

Envoyé par e=mc3 
e=mc3
Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
<latex> Réf. Gourdon analyse p400

Soit la forme linéaire $l_n: C_{2\pi}\longrightarrow \C$

telle que:$l_n(f)=\sum_{p=-n}^{p=n}c_p(f)$ où les $c_p(f)$ désignent les coef. de Fourier de la fonction $2\pi$ périodique.

on montre facilement que $l_n(f)=\frac{1}{2\pi}\in_{-\pi}^{\pi}\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin(t/2)}f(t)dt$

et que $\vert\vert l_n \vert\vert\leq l_n(1)$

Je dis que de plus il est évident que cette borne est atteinte pour la fonction constante égale à 1 et donc que
$\vert\vert l_n \vert\vert= l_n(1)$

Je dois commettre un erreur, sinon pourquoi Gourdon se complique -t-il en introduisant une fonction $f_\epsilon(t)=\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin((2n+1)t/2)+\epsilon}$ en faisant tendre $\epsilon$ vers 0? Il doit bien y avoir une raison qui m'échappe.
Pitou
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
<latex> Ouais c'est bizarre... Surtout que la fonction $f_{\varepsilon}$ n'est întégrable, si ?

D'ailleurs ça doit plutôt être $f_{\varepsilon}=\frac{\sin((2n+1)t/2)}{\sin(t/2)+\varepsilon}$.
Said
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
Bonjour

Attention il y a une valeur absolue!
Said
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
<latex> En resumé

Soit $f\in L^1(X)$ on cherche une suite de fonctions $(f_n)_n$de $\in L^{\infty}(X)$ telle que $\int_X f_nf d\mu $ converge vers $\int_X\vert f\vert d\mu$

il suffit de prendre $f_n(x)=\frac {f(x)}{\vert f(x)\vert +\frac{1}{n}}$ (qui tend vers le signe de $f(x)$)et appliquer le theo conv dominée.

Said
Said
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
<latex> Pour e=mc3


l'oubli de la valeur absolue m'a rappelé un exercice qu'on s'est posé ici et je ne sais pas est ce quelqu'un a repondu ou pas , bref l'exercice est le suivant:

$f_n(x)=1_{[-n,n]}\frac{sinx}{x}$

Montrer $\exists M>0$ telle que$\forall n \in \N$ $\vert\vert F(f_n)\vert\vert_{\infty}\leq M$

où $F$ est la transformation de Fourier


Said
e=mc3
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
Et alors Said?
Said
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
<!--latex-->Je te demande est ce que tu as reussi a le faire<BR>
e=mc3
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
<latex> Merci Said

Nos messages ont dû se croiser.

Tu avais effectivement raison concernant la valeur absolue. Je devrais m'acheter une autre paire de lunette ou bien réapprendre à lire.

On a en fait $\vert\vert l_n \vert\vert\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert \frac{sin((2n+1)t/2)}{sin(t/2)}\vert dt$

et la fonction constante ne marche pas. Tout irait bien si le rapport des sinus était positif, mais la présence du (2n+1) aun numérateur l'empêche.

Concernant ta question il faudrait retrouver le post.
Said
Re: Banach Steinhaus et séries de Fourier
il y a treize années
<!--latex-->je l'ai remonté , il s'agit du post de francis<BR>
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